მათემატიკური ეკონომიკის ლექციები. მათემატიკური ეკონომიკის კურსის ამოცანების კრებული. გამოყენებითი მათემატიკა ეკონომიკაში

18.01.2022

ეკონომიკური ურთიერთობები მოიცავს ადამიანის ცხოვრების ყველა სფეროს. მათი ნიმუშების შესწავლა უძველესი დროიდან იკავებდა ფილოსოფოსთა გონებას. თანდათანობითი განვითარება სოფლის მეურნეობა, გართულებას შეუწყო ხელი კერძო საკუთრების გაჩენამ ეკონომიკური ურთიერთობებიდა პირველი ეკონომიკური სისტემების მშენებლობა. მეცნიერულად ტექნიკური პროგრესი, რომელმაც განსაზღვრა ხელით შრომიდან მანქანურ შრომაზე გადასვლა, ძლიერი ბიძგი მისცა წარმოების კონსოლიდაციას და, შესაბამისად, გაფართოებას. ეკონომიკური კავშირებიდა სტრუქტურები. თანამედროვე სამყაროში ეკონომიკა სულ უფრო მეტად განიხილება სხვა დაკავშირებულ სოციალურ მეცნიერებებთან ერთად. კერძოდ, ორი მიმართულების შეერთებაზე არის სხვადასხვა გადაწყვეტილებები, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში.

თავად ეკონომიკის ფუნდამენტური მიმართულება ჩამოყალიბდა მხოლოდ მეცხრამეტე საუკუნის შუა ხანებში, თუმცა მრავალი ქვეყნის მეცნიერებმა საუკუნეების განმავლობაში შექმნეს სპეციალური სკოლები, რომლებიც სწავლობდნენ კანონებს. ეკონომიკური ცხოვრებახალხის. მხოლოდ ამ დროს, გარდა ხარისხობრივი შეფასებისა, თუ რა ხდებოდა, მეცნიერებმა დაიწყეს ეკონომიკაში მიმდინარე მოვლენების შესწავლა და შედარება. კლასიკური ეკონომიკის განვითარებამ ხელი შეუწყო გამოყენებითი დისციპლინების ჩამოყალიბებას, რომლებიც სწავლობენ ეკონომიკური სისტემების ვიწრო სფეროებს.

ეკონომიკური თეორიის შესწავლის მთავარი საგანია ძიება ოპტიმალური გადაწყვეტილებებიორგანიზაციის სხვადასხვა დონის ეკონომიკისთვის, მზარდი მოთხოვნის დაკმაყოფილების თვალსაზრისით, შეზღუდული რესურსებით. ეკონომისტები თავიანთ კვლევაში სხვადასხვა მეთოდს იყენებენ. მათ შორის ყველაზე ხშირად გამოიყენება შემდეგი:

მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ ზოგადი ელემენტები ან განზოგადოთ ცალკეული სტრუქტურები. მათ უწოდებენ ანალიზისა და სინთეზის მეთოდებს.
ინდუქცია და დედუქცია შესაძლებელს ხდის განიხილოს პროცესების დინამიკა კონკრეტულიდან ზოგადამდე და პირიქით.
სისტემური მიდგომა ხელს უწყობს ეკონომიკის ცალკეული ელემენტის სტრუქტურის დანახვას და მის გაანალიზებას.
პრაქტიკაში ფართოდ გამოიყენება აბსტრაქციის მეთოდი. ის საშუალებას გაძლევთ განასხვავოთ შესწავლილი ობიექტი ან ფენომენი მისი ურთიერთობებისა და გარე ფაქტორებისგან.
როგორც სხვა მეცნიერებებში, მათემატიკის ენა ხშირად გამოიყენება ეკონომიკაში, რაც ხელს უწყობს შესასწავლი ეკონომიკის ელემენტების ვიზუალურად ჩვენებას, ასევე ანალიზის ჩატარებას ან ტენდენციების საჭირო პროგნოზის ფორმირებას.

მათემატიკური ეკონომიკის არსი

თანამედროვე ეკონომიკა გამოირჩევა მის მიერ შესწავლილი სისტემების სირთულით. როგორც წესი, ერთი ეკონომიკური აგენტი ბევრ ურთიერთობაში შედის ერთდროულად და ყოველდღიურად. თუ ჩვენ ვსაუბრობთსაწარმოს შესახებ, მისი შიდა და გარე ურთიერთქმედებების რაოდენობა ათასობითჯერ იზრდება. ეკონომისტებისა და მეცნიერების წინაშე არსებული კვლევითი და ანალიტიკური ამოცანების გასაადვილებლად გამოიყენება მათემატიკის ენა. მათემატიკური ხელსაწყოების შემუშავება შესაძლებელს ხდის ამოცანების გადაჭრას, რომლებიც სცილდება ეკონომიკურ თეორიაში გამოყენებული სხვა მეთოდების ძალას.

მათემატიკური ეკონომიკა ეკონომიკური თეორიის გამოყენებითი დარგია. მისი მთავარი არსი მდგომარეობს მათემატიკური მეთოდების, საშუალებებისა და ინსტრუმენტების გამოყენებაში ეკონომიკური სისტემების აღწერის, შესწავლისა და ანალიზისთვის. თუმცა, ამ დისციპლინას აქვს თავისი სპეციფიკა. ის არ სწავლობს ეკონომიკური მოვლენებიროგორც ასეთი, მაგრამ ეხება მათემატიკურ მოდელებთან დაკავშირებულ გამოთვლებს.

შენიშვნა 1

მათემატიკური ეკონომიკის მიზანს, ისევე როგორც გამოყენებული სფეროების უმეტესობას, შეიძლება ეწოდოს ობიექტური ინფორმაციის ფორმირება და პრაქტიკული პრობლემების გადაწყვეტის ძიება. იგი სწავლობს, უპირველეს ყოვლისა, რაოდენობრივ და ხარისხობრივ მაჩვენებლებს, ასევე ეკონომიკური აგენტების ქცევას დინამიკაში.

წინაშე მდგარი გამოწვევები მათემატიკური ეკონომიკა, არის შემდეგი:

პროცესებისა და ფენომენების აღწერის მათემატიკური მოდელების აგება ეკონომიკური სისტემებიოჰ.
ეკონომიკური ურთიერთობების სხვადასხვა სუბიექტის ქცევის შესწავლა.
დახმარების გაწევა დროთა განმავლობაში გეგმების, პროგნოზების და სხვადასხვა სახის ღონისძიებების შედგენასა და შეფასებაში.
მათემატიკური და სტატისტიკური სიდიდეების ანალიზის ჩატარება.

გამოყენებითი მათემატიკა ეკონომიკაში

მათემატიკური ეკონომიკა თავისი სოციალური მნიშვნელობით საკმაოდ ახლოსაა მათემატიკასთან. თუ ამ დისციპლინას განვიხილავთ მათემატიკური მეცნიერების პერსპექტივიდან, მაშინ მისთვის ეს არის გამოყენებითი მიმართულება. გამოყენებითი მათემატიკა შესაძლებელს ხდის რთული ეკონომიკური სისტემების ცალკეული ელემენტების გათვალისწინებას და გაანალიზებას, რადგან ეს ასეა ფართო ფუნქციონირება, ფუნდამენტური მათემატიკური ცოდნის საფუძველზე. მათემატიკის ასეთმა შესაძლებლობებმა ხელი შეუწყო მათემატიკური ეკოლოგიის, სოციოლოგიის, ლინგვისტიკისა და ფინანსური მათემატიკის გაჩენას.

განვიხილოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური მეთოდები, რომლებიც გამოიყენება ეკონომიკური სისტემების შესწავლისას:

ოპერაციების კვლევა ეხება სისტემებში პროცესების და ფენომენების შესწავლას. ეს მოიცავს ანალიტიკურ მუშაობას და მიღებული შედეგების პრაქტიკული გამოყენების ოპტიმიზაციას.
მათემატიკური მოდელირება მოიცავს მეთოდთა და ინსტრუმენტთა ფართო სპექტრს, რაც შესაძლებელს ხდის მეცნიერებისა და ეკონომისტების წინაშე არსებული პრობლემების გადაჭრას. ყველაზე ხშირად გამოიყენება თამაშების თეორია, სერვისის თეორია, გრაფიკის თეორია და ინვენტარის თეორია.
ოპტიმიზაცია მათემატიკაში ეხება ექსტრემალური მნიშვნელობების ძიებას, როგორც მაქსიმუმს, ასევე მინიმუმს. ამ მიზნებისათვის ჩვეულებრივ გამოიყენება ფუნქციების გრაფიკები.

ზემოთ ჩამოთვლილი მათემატიკის მეთოდები შესაძლებელს ხდის ეკონომიკაში არსებული სტატისტიკური სიტუაციების, ან პროცესების მოკლევადიან პერიოდებში შესწავლას. როგორც ცნობილია, ამჟამად მთავარი მიზანი ეკონომიკური სუბიექტებიარის გრძელვადიანი წონასწორობის პოვნა. ამ კვლევებში მნიშვნელოვანი ფაქტორია დროის ფაქტორი, რომლის გათვალისწინება შესაძლებელია ალბათობის თეორიისა და გამოთვლებისთვის ოპტიმალური ამონახსნების თეორიის გამოყენებით.

შენიშვნა 2

ამრიგად, მათემატიკა და ეკონომიკა ერთმანეთთან მჭიდრო კავშირშია. დინამიკა ეკონომიკური სტრუქტურებიჩვეულებრივია მათი მათემატიკური მოდელების მოწყობა, რომლებიც შემდეგ შეიძლება დაიყოს ცალკეულ ქვეამოცნებებად და გამოიყენონ ყველა შესაძლო მეთოდი. ეკონომიკური ანალიზი, ასევე მათემატიკური გამოთვლები. ეკონომიკურ სფეროში გადაწყვეტილების მიღება საკმაოდ რთული ქმედებაა, რადგან ის დაკავშირებულია არსებული ინფორმაციის არასრულყოფილებასა და არასრულყოფილებასთან. გამოყენება მათემატიკური მოდელირებასაშუალებას გაძლევთ შეამციროთ მენეჯმენტის გადაწყვეტილებების რისკი.

განათლების ფედერალური სააგენტო

სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი

__________________________________________________________________

საინფორმაციო სისტემების დეპარტამენტი

მათემატიკური ეკონომიკა

Ლექციის ჩანაწერები

სპეციალობის მესამე კურსის სტუდენტებისთვის

"გამოყენებითი ინფორმატიკა (ეკონომიკაში)"

ტვერი 2009 წ

1. შეფასების მეთოდები საინვესტიციო პროექტები

ამჟამად განვითარებულ ქვეყნებში საბაზრო ეკონომიკასაინვესტიციო პროექტების გაანალიზებისას, ლოგიკაზე დაფუძნებული დისკონტირების ტექნიკის ფართო გამოყენება დაიწყო საერთო ინტერესი. აქედან გამომდინარე, ამ განყოფილებაში მოცემულია ამ მეთოდების გამოყენების არსი და უპირატესობები.

^ 1.1 წმინდა მიმდინარე ღირებულების გამოთვლის მეთოდი

წმინდა მიმდინარე ღირებულება გამოითვლება როგორც სხვაობა
შემოსავლებისა და ხარჯების ნაკადები დისკონტირებული დროის ერთ მომენტამდე
პროექტის მიხედვით:

სადაც CF INt არის ფულადი სახსრების შემოდინება t პერიოდისთვის;

CF OFt - ფულადი სახსრების გადინება t პერიოდისთვის;

R - დისკონტის განაკვეთი;

N- ცხოვრების ციკლიპროექტი.

იმ შემთხვევებში, როდესაც ინვესტიცია არის ერთჯერადი ინვესტიცია საწყის პერიოდში, NPV-ის გამოთვლის ფორმულა იქნება შემდეგი:

სადაც C 0 არის კაპიტალის ინვესტიცია ნულოვანი პერიოდის განმავლობაში.

ამ კრიტერიუმის გამოყენება გადაწყვეტილების მიღებისას საკმაოდ მარტივია. დადებითი NPV მნიშვნელობა გვიჩვენებს შემოსავლის ოდენობას, რომელსაც ინვესტორი მიიღებს საჭირო დონეს ზემოთ. იმ შემთხვევაში, როდესაც NPV ნულის ტოლია, ინვესტორი არა მხოლოდ აბრუნებს თავის კაპიტალს, არამედ ზრდის მას დისკონტის განაკვეთით განსაზღვრული ოდენობით. შედეგად მიღებული უარყოფითი NPV მნიშვნელობა მიუთითებს, რომ პროექტი უარყოფილი უნდა იყოს.

უნდა აღინიშნოს, რომ NPV მაჩვენებელი დროთა განმავლობაში დანამატია. ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ შეაჯამოთ დღევანდელი წმინდა ღირებულებები სხვადასხვა პროექტები, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია საინვესტიციო პორტფელის ოპტიმალურობის გაანალიზებისას.

^ 1.2 ინვესტიციის ანაზღაურების ინდექსის გამოთვლის მეთოდი

მომგებიანობის ინდექსი არის დისკონტირებული მოგებისა და პროექტის დანახარჯების თანაფარდობა. ანუ, მაგალითად, ერთჯერადი ინვესტიციებთან დაკავშირებით, გაანგარიშება ხდება ფორმულის მიხედვით:

იმ შემთხვევაში, როდესაც PI>1-ის ღირებულება, პროექტი მომგებიანია. თუ PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

ამ ინდიკატორის უპირატესობა NPV ინდიკატორთან შედარებით არის მისი ფარდობითი. აქედან გამომდინარე, მისი გამოყენება მარტივია, როდესაც საჭიროა ერთი პროექტის არჩევა ალტერნატიულიდან, რომლებსაც აქვთ დაახლოებით იგივე NPV მნიშვნელობები, ასევე ინვესტიციების პორტფელის ფორმირებისას მაქსიმალური ჯამური NPV ღირებულებით.

ეს პრობლემა მაშინ ჩნდება, როცა რამდენიმე მიმზიდველი საინვესტიციო პროექტია ასარჩევად, მაგრამ შეზღუდული ფინანსური რესურსების გამო ინვესტორი ყველა პროექტში ერთდროულად ვერ მიიღებს მონაწილეობას. შემდეგ PI გამოითვლება თითოეული პროექტისთვის და პროექტები ფასდება PI-ს კლებადობით. საინვესტიციო პორტფელი მოიცავს პირველ მ-პროექტებს, რომლებიც მთლიანობაში შეიძლება სრულად დაფინანსდეს.

თუ მომდევნო პროექტი შეიძლება დაიყოს, ის ასევე შედის პორტფელში მის იმ ნაწილში, რომლის დაფინანსებაც შესაძლებელია.

^ 1.3 ინვესტიციის ანაზღაურების კოეფიციენტის გამოთვლის მეთოდი

ანაზღაურების შიდა განაკვეთი არის საპროცენტო განაკვეთი, რომლის დროსაც პროექტის წმინდა მიმდინარე ღირებულება ნულის ტოლია:

სადაც IRR არის უკუგების მაჩვენებელი (დაბრუნების შიდა მაჩვენებელი).

IRR მნიშვნელობა გვიჩვენებს ხარჯების მაქსიმალურ დასაშვებ ფარდობით დონეს, რომელიც შეიძლება ამა თუ იმ გზით იყოს დაკავშირებული განსახილველ პროექტთან. მაგალითად, თუ პროექტი მთლიანად ფინანსდება სესხით, მაშინ IRR ღირებულება მიუთითებს ბანკის საპროცენტო განაკვეთის ზედა ზღვარზე, რომლის ზემოთაც პროექტი წამგებიანი იქნება.

IRR-ის დასადგენად გამოიყენება ან გამოთვლითი ან გამოთვლითი გრაფიკული მეთოდები. პირველ შემთხვევაში, ფულადი სახსრების წლიური ნაკადები (მოთხოვნილი კაპიტალის ინვესტიციების გათვალისწინებით) დისკონტირდება სხვადასხვა საცდელი დისკონტის განაკვეთებით ერთი პროცენტით. ეს წარმოქმნის მთელ რიგ შესაბამის წმინდა ამჟამინდელ მნიშვნელობებს, რომელთა უმცირესი დადებითი მნიშვნელობა მიუთითებს უკუგების ზუსტ კოეფიციენტზე, რომელიც უნდა იქნას გათვალისწინებული.

გაანგარიშება-გრაფიკული მეთოდის გამოყენება გამოწვეულია იმით, რომ დაბრუნების განაკვეთები გამოსახულია კოორდინატთა სისტემაზე ვერტიკალური ღერძის გასწვრივ, ხოლო წმინდა დღევანდელი მნიშვნელობები გამოსახულია ჰორიზონტალური ღერძის გასწვრივ. შემდეგ გამოითვლება ორი NPV მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება ანაზღაურების ნებისმიერ ორ მაჩვენებელს. ამ ორ წერტილს შორის გავლებულია სწორი ხაზი, რომლის გადაკვეთის წერტილი ვერტიკალურ ღერძთან არის დაბრუნების სავარაუდო შიდა მაჩვენებელი. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ მიღებული მნიშვნელობა უნდა შემოწმდეს ნულზე და საჭიროების შემთხვევაში კორექტირება უნდა მოხდეს.

^ 1.4 დისკონტირებული ანაზღაურებადი პერიოდის განსაზღვრის მეთოდი

დისკონტირებული ანაზღაურებადი პერიოდი გაგებულია, როგორც დროის პერიოდი, რომლის განმავლობაშიც ინვესტორი სრულად ანაზღაურებს თავდაპირველ ხარჯებს, ამასთან უზრუნველყოფს მომგებიანობის საჭირო დონეს:

სადაც T არის დისკონტირებული ანაზღაურებადი პერიოდი;

PV არის ინვესტიციის მიმდინარე ღირებულება.

ეს მეთოდი ერთ-ერთი უმარტივესი და ყველაზე გავრცელებულია, მაგრამ, როგორც წესი, გამოიყენება პროექტის შესახებ დამატებითი ინფორმაციის მისაღებად იმ შემთხვევებში, როდესაც მთავარია ინვესტიცია რაც შეიძლება მალე ანაზღაურდეს. გარდა ამისა, მეთოდი მოსახერხებელია მაღალი რისკის მქონე პროექტების გაანალიზებისას, ვინაიდან რაც უფრო მოკლეა ანაზღაურებადი პერიოდი, მით ნაკლებია სარისკო პროექტი.

^ 2. საინვესტიციო პროექტების შეფასების მეთოდების გამოყენების თავისებურებები

ზემოთ აღწერილი მეთოდები სრულად მოქმედებს დამოუკიდებელი საინვესტიციო პროექტების ანალიზისას. ანუ ამ მეთოდების კრიტერიუმები მხოლოდ მაშინ არ ეწინააღმდეგება ერთმანეთს.

კონკურენტი პროექტების გაანალიზებისას ჩნდება განსხვავებული სიტუაცია, რომლის გათვალისწინების მნიშვნელობა განისაზღვრება საწარმოებს შორის კონკურენციის გაზრდის სურვილით, რათა შემცირდეს პროექტების ღირებულება კომპანიების შიდა რეზერვების გამოყენებით. გარდა ამისა, მსგავსი ვითარება შეიძლება წარმოიშვას მძიმე ფინანსური შეზღუდვების პირობებში.

განვიხილოთ ორი პროექტი, რომლებიც ერთმანეთს ეჯიბრებიან. მოდით გამოვთვალოთ პროექტების წმინდა მიმდინარე ღირებულება, ისევე როგორც მათი შიდა ანაზღაურება, იმ პირობით, რომ დისკონტის განაკვეთი იქნება 11%.

ცხრილი 1

პროექტი	СF წელიწადში (მილიონი რუბლი)					NPV r=11%	IRR
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV r=11%	IRR
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

როგორც ცხრილი 1-დან ჩანს, X1 პროექტის NPV იქნება 33,5 მილიონი რუბლი, რაც აშკარად სასურველია X2 პროექტის NPV - 22,4 მილიონი რუბლი. თუმცა, თუ ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ შემოსავლის შიდა კოეფიციენტზე, მაშინ უპირატესობა უნდა მიენიჭოს პროექტ X2-ს IRR = 35% პროექტის X1-ის 26.7%-ის წინააღმდეგ. ამრიგად, NPV და IRR კრიტერიუმები ეწინააღმდეგება ერთმანეთს, მიუხედავად იმისა, რომ ორივე მეთოდი ეფუძნება იმავე ფორმულას.

წარმოქმნილი პრობლემა ადვილად გადაიჭრება, თუ უფრო დეტალურად განვიხილავთ IRR კრიტერიუმის არსს, რომლის გაანგარიშება ითვალისწინებს პროექტის შუალედური შემოსავლის რეინვესტირების შესაძლებლობას, რაც უზრუნველყოფს IRR-ის ტოლ მომგებიანობას. მაგრამ ნამდვილად შესაძლებელია თუ არა ასეთი ანაზღაურების უზრუნველყოფა, თუ რეინვესტიციის სარგებელი ნაკლებია IRR-ზე? როგორც მაგალითის შემდგომი განხილვა აჩვენებს, არა.

გამოვთვალოთ ინვესტორის შემოსავლის აბსოლუტური მნიშვნელობა მეოთხე წლის ბოლოს, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროექტების სამომავლო ღირებულება, იმ პირობით, რომ რეინვესტირების მაჩვენებელი იქნება 11%.

FV(X1) = 110+ 15* (1 + 0.11) = 126.65 მილიონი რუბლი,

FV(X2) = 20 + 15*(1 + 0,11) + 15*(1 + 0,11) 2 +40*(1 + 0,11) 3 = 109,84 მილიონი რუბლი.

მოდით განვსაზღვროთ ამ ოპერაციის მომგებიანობა შემდეგი ურთიერთობის საფუძველზე:

არაერთმა მკვლევარმა, IRR კრიტერიუმის ნაკლოვანებების გათვალისწინებით, შესთავაზა სხვა კრიტერიუმის გამოყენება - MIRR (მოდიფიცირებული IRR). MIRR არის მოსალოდნელი შემოსავალი იმ პირობით, რომ პროექტის ყველა შუალედური შემოსავალი რეინვესტირდება ანაზღაურების მოცემული კურსით.

მაგიდა 2

როგორც მე-2 ცხრილიდან ჩანს, MIRR კრიტერიუმის გამოყენება ხსნის წინააღმდეგობას პროექტის განხორციელების შედეგების აბსოლუტურ და ფარდობით ინდიკატორებს შორის. ახლა კითხვა მოხსნილია: უპირატესობა უნდა მიენიჭოს X1 პროექტს. გარდა ამისა, მომავალში, ორი კონკურენტი პროექტის შედარებისას, NPV საუკეთესო კრიტერიუმად უნდა ჩაითვალოს.

მოყვანილი მაგალითები ეფუძნებოდა წინააღმდეგობებს NPV და IRR კრიტერიუმებს შორის პროექტების გაანალიზებისას იგივე რაოდენობის კაპიტალის ინვესტიციით. აქედან გამომდინარე, ასევე აუცილებელია განიხილოს სხვადასხვა საინვესტიციო მოცულობის კონკურენტი პროექტების ანალიზის მაგალითი.

ცხრილი 3

პროექტი	СF წელიწადში (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

მე-3 ცხრილში წარმოდგენილი მონაცემების ანალიზი აჩვენებს, რომ IRR და MIRR კრიტერიუმები მიუთითებს X3 პროექტზე, ხოლო NPV კრიტერიუმი, რომელიც მთავარ კრიტერიუმად იქნა აღებული წინა მაგალითში, აშკარად დგას X2 პროექტის მხარეს. ანუ ამ ვითარებაში წარმოიშვა პროექტების არაპროპორციულობის პრობლემა (მასშტაბის პრობლემა). აქედან გამომდინარე, საბოლოო გადაწყვეტილების მიღება შესაძლებელია მხოლოდ CFo (ХЗ) და CFo (X2) შორის განსხვავების შესაძლო ჩართვის გაანალიზების შემდეგ. ჩვენს მაგალითში, ეს განსხვავება 45 მილიონი რუბლია.

დავუშვათ, რომ გვაქვს ამ თანხების ინვესტიციის შესაძლებლობა შემდეგნაირად:

ცხრილი 4

პროექტი	СF წელიწადში (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

ახლა ჩვენ უნდა გავარკვიოთ რა არის სასურველი - პროექტები X3 და X4 თუ პროექტი X2?

ცხრილი 5

პროექტი	CF წელიწადში (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

მე-5 ცხრილში ასახული შედეგების გათვალისწინებით, სრულიად ცხადი ხდება, რომ ინვესტორი უარს იტყვის X2 პროექტზე ორი X3 და X4 პროექტის განხორციელების სასარგებლოდ. უნდა აღინიშნოს, რომ საბოლოო არჩევანი მაინც X1 პროექტი იქნება:

ცხრილი 6

პროექტი	CF წელიწადში (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

თუმცა, შეიძლება იყოს სიტუაციები, როდესაც X3 და X4 პროექტების გარდა, აღარ არსებობს პროექტები დადებითი NPV-ით. ამ შემთხვევაში, აუცილებელია ფოკუსირება არა ანაზღაურებაზე, არამედ NPV-ზე.

უნდა აღინიშნოს, რომ მასშტაბის პრობლემა შეიძლება წარმოიშვას NPV – PI ბმულის შემთხვევაშიც. ამ შემთხვევაში, გადაწყვეტის მეთოდი მსგავსი იქნება.

ამრიგად, შეგვიძლია შემდეგი დასკვნის გაკეთება: მიზანშეწონილია საინვესტიციო პროექტების ანალიზი ერთდროულად რამდენიმე მეთოდის გამოყენებით, რაც მოგვცემს საშუალებას მივიღოთ დამატებითი მნიშვნელოვანი ინფორმაცია მათ შესახებ.

^ 3. პროექტების გაანალიზებისას ინფლაციის გათვალისწინება

ინფლაციის გავლენის გათვალისწინება შესაძლებელია მომავალი მოგების ან დისკონტის განაკვეთის მის ინდექსზე კორექტირებით. ამ შემთხვევაში, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ შემდეგი დამოკიდებულება:

სადაც r nom არის ნომინალური საპროცენტო განაკვეთი;

R რეალური - რეალური საპროცენტო განაკვეთი;

λ არის ზოგადი ინფლაციის მაჩვენებელი.

მცირე ღირებულებებისთვის რდა λ ფორმულა (7) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

R nom ≈ r eal + λ (8)

დისკონტის განაკვეთად შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ნომინალური, ასევე რეალური საპროცენტო განაკვეთები. არჩევანი დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ იზომება პროექტის ფულადი ნაკადი. თუ ფულადი ნაკადები წარმოდგენილია რეალურ პირობებში (მუდმივი ფასებით), მაშინ დისკონტირებისთვის გამოყენებული უნდა იყოს რეალური საპროცენტო განაკვეთი.

თუმცა რეალური საპროცენტო განაკვეთების გამოყენება და ფულადი სახსრების მუდმივ ფასებში გაანგარიშება არ იძლევა სტრუქტურულ ინფლაციას. ასეთ შემთხვევებში, გამოთვლები უნდა განხორციელდეს მიმდინარე ფასებში:

თუმცა, ამ უკანასკნელ შემთხვევაში საჭიროა ფასების ზრდის პროგნოზირების შესაძლებლობა.

^ 4. რისკის გათვალისწინება ერთი პროექტის გაანალიზებისას

ანალიზი ერთი პროექტის რისკის გათვალისწინებით ტარდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საინვესტიციო პროექტი დამოუკიდებელია. ამ შემთხვევაში სავსებით საკმარისია ორი ინდიკატორის გამოყენება: მოსალოდნელი ანაზღაურება და დაბრუნების სტანდარტული გადახრა (RMS), რომლებიც მთლიანად განსაზღვრავს ნორმალურ განაწილებას.

მოსალოდნელი შემოსავალი გამოითვლება შემდეგნაირად:

(11)

სადაც R i არის მომგებიანობა i-ე სცენარისთვის;

P i - i-ე ვარიანტის მიხედვით მოვლენების განვითარების ალბათობა;

N არის განხილული ვარიანტების რაოდენობა.

ამრიგად, ცხადია, რომ მოსალოდნელი შემოსავალი არის ყველაზე სავარაუდო ანაზღაურება პროექტზე, ხოლო სტანდარტული გადახრა, რომელიც ზომავს მოსალოდნელი შემოსავლის დისპერსიას, არის პროექტის რისკის მაჩვენებელი:

სხვადასხვა მოსალოდნელი შემოსავლის მქონე აქტივების რისკების შედარებისას, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ცვალებადობის კოეფიციენტი (ანუ ფარდობითი დისპერსიის საზომი):

(13)

ცხადია, რაც უფრო მაღალია სტანდარტული გადახრა და CV, მით უფრო მაღალია რისკი. მაგალითად, განიხილეთ ცხრილში 7-ში წარმოდგენილი შემთხვევითი ნიმუშის მონაცემები:

ცხრილი 7

პროექტი	რ		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
X2	11,0%	3,32	0,30
X3	12,2%	2,68	0,22

ამ მაგალითში პროექტი X2 არის ყველაზე ნაკლებად მომგებიანი და ამავდროულად ყველაზე სარისკო, შესაბამისად, ის დაუყოვნებლივ უნდა იქნას უარყოფილი და შემდგომი არჩევანი დამოკიდებული იქნება ინვესტორის დამოკიდებულებაზე რისკის მიმართ. თუ უარყოფითი იქნება, HZ პროექტი განხორციელდება. თუ ინვესტორი რისკებისადმი მიდრეკილია, უპირატესობა მიენიჭება XI პროექტს.

პრაქტიკა აჩვენებს, რომ ინვესტორები მუნიციპალური მოხელეების დონეზე ცდილობენ აირჩიონ მინიმალური რისკი. ამრიგად, ჩვენს შემთხვევაში, KhZ პროექტი მიიღება საინვესტიციოდ.

^ 5. რისკის გათვალისწინება პროექტის პორტფელის გაანალიზებისას

როგორც წესი, რისკის არასისტემური ნაწილის შესამცირებლად გამოიყენება დივერსიფიკაცია, რომელიც ეფუძნება ეფექტური პორტფელის შექმნას მისი აქტივების კორელაციის ანალიზით. უნდა აღინიშნოს, რომ აქ ყოველი ახალი ინვესტიცია უნდა განიხილებოდეს მიმდინარე პორტფელის გათვალისწინებით.

განვიხილოთ სამი პროექტისგან შემდგარი პორტფელის რისკის გამოთვლის მეთოდოლოგია მე-7 ცხრილში წარმოდგენილი მონაცემების მაგალითზე და ასევე იმ პირობით, რომ თითოეული პროექტი მიიღებს დაბანდებული თანხის მესამედს.

პორტფელის ანაზღაურება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(14)

სადაც R k არის k-ე პროექტის მოსალოდნელი მომგებიანობა;

X k არის k-ე პროექტში ჩადებული სახსრების წილი;

M არის პორტფოლიოში არსებული პროექტების რაოდენობა.

ჩვენს მაგალითში:

რ პორტფოლიო = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

ჩვენს მაგალითში:

Cov 12 = 7.34 და Cov 13 = – 8,12.

ამრიგად, აშკარაა, რომ X1 და X2 პროექტების რენტაბელურობა იცვლება იმავე მიმართულებით, ხოლო პროექტების X1 და X3, ისევე როგორც X2 და X3 - საპირისპირო მიმართულებით. თუმცა, ვინაიდან კოვარიანტობის აბსოლუტური მნიშვნელობა ძნელია ინტერპრეტაცია, ინდიკატორებს შორის ურთიერთდამოკიდებულების ხარისხი გამოითვლება კორელაციის კოეფიციენტის გამოყენებით:

როდესაც r = +1, ინდიკატორები დროთა განმავლობაში იცვლება ზუსტად იმავე გზით, როდესაც r = -1, ნულოვანი კავშირი არ მიუთითებს;

ამ მაგალითში:

r 12 = 0.71, r 13 = -0.96 და r 23 = -0.6.

ცხადია, რისკის შესამცირებლად ყველაზე მიზანშეწონილი იქნება პროექტების X1 და X3 პორტფელის გაერთიანება. თუმცა, ამ შემთხვევაში, საჭიროა თავად პორტფელის რისკის გამოთვლა, პროექტებს შორის კორელაციის გათვალისწინებით:

გამოვთვალოთ პორტფელის რისკი (X1, X3) თანაბარი წილის ინვესტიციის პირობებში:

ამრიგად, ჩვენი პორტფელის რისკი მნიშვნელოვნად დაბალია, ვიდრე მისი შემადგენელი პროექტების რისკები და რ< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

მრავალი პროექტის პორტფელის შედგენის მეთოდოლოგია იგივეა, რაც ორი აქტივის პორტფელის შედგენისას.

ნახაზ 1-ში მოცემული ფართობით მითითებული პორტფოლიოების მთელი ნაკრებიდან აუცილებელია შეარჩიოთ ის პორტფელები, რომლებიც AB ხაზზეა - ისინი უზრუნველყოფენ მინიმალურ რისკს ყველაზე მაღალი მოსალოდნელი შემოსავლით. უფრო მეტიც, მათ შორის კონკრეტული არჩევანი დამოკიდებულია რისკისადმი ჩვენს დამოკიდებულებაზე. გრაფიკულად, არჩევანი რისკსა და ანაზღაურებას შორის გამოიხატება ინდიფერენტულობის მრუდებით, რომელთა უნიკალური ნაკრები არსებობს თითოეული ინდივიდისთვის იმ პიროვნების პრეფერენციების თვალსაზრისით რისკისა და ანაზღაურების მიმართ.

ნახ.1 ოპტიმალური პორტფელის არჩევის პრობლემა.

სწორ ხაზს, რომელიც გადის რისკისგან თავისუფალ აქტივზე დაბრუნების წერტილიდან AB შესაძლო პორტფელის მრუდის ტანჯულობის წერტილამდე, ეწოდება კაპიტალის ბაზრის ხაზს (CML) და ასახავს არჩევანს რისკის ანაზღაურების სისტემაში. წერტილი C ნახ. ამგვარად, 1 ასახავს ბაზრის პორტფელის რისკს და ანაზღაურებას. სარგებლიანობის უმაღლეს დონეს ინვესტორი მიიღწევა იმ წერტილში, როდესაც მისი რისკი-ანაზღაურების გულგრილობის მრუდი ეხება კაპიტალის ბაზრის ხაზს. თუ ინვესტორი უპირატესობას ანიჭებს სიზუსტეს, მაშინ ეს წერტილი განთავსდება ბაზრის პორტფელის მარცხნივ (C-დან მარცხნივ); ინვესტორი ინვესტიციას ახორციელებს როგორც ურისკო, ისე სარისკო აქტივებში და, შედეგად, მის პორტფელს აქვს დაბალი რისკი და დაბალი ანაზღაურება. თუ ინვესტორი უფრო რისკებისადმი მიდრეკილია, ტანგენციური წერტილი იქნება ბაზრის პორტფელის მარჯვნივ (C-დან მარჯვნივ); თანხები ინვესტირდება უფრო სარისკო აქტივებში და პორტფელს აქვს უფრო დიდი რისკი და მეტი ანაზღაურება.

მრავალი აქტივისგან შემდგარი ოპტიმალური პორტფელის პოვნის პრობლემა, პრინციპში, შეიძლება გადაწყდეს შერჩევის პროცედურით - ჩვენ ვეძებთ პორტფელს, რომელსაც აქვს ყველაზე მაღალი მოსალოდნელი ანაზღაურება რისკის მოცემულ დონეზე. თუმცა, პრაქტიკაში მიზანშეწონილია კაპიტალის განაწილების პრობლემის გადაჭრა ხაზოვანი პროგრამირების კვადრატული ვერსიის გამოყენებით.

მოდით განვსაზღვროთ პორტფელში i-ე აქტივის წილი ღირებულების მიხედვით:

სადაც CF OFt max არის საინვესტიციო პროგრამის მაქსიმალური დასაშვები ზომა t პერიოდისთვის.

განვიხილოთ რისკის შემაჯამებელი მაჩვენებელი:

ობიექტური ფუნქცია (20), რომელიც ამცირებს საბოლოო პორტფოლიოს რისკს, სადაც პორტფელში მონაწილეობის კრიტერიუმია ორობითი ცვლადი X i, რომლის ერთეულის ღირებულება მიუთითებს პორტფელში i-ე პროექტის შესვლაზე და ნულოვანი მნიშვნელობა მიუთითებს I-ე პროექტის ინვესტირებაზე უარს, ასე გამოიყურება:

შეზღუდვებით:

სადაც NPV min არის პორტფელის მინიმალური მისაღები წმინდა მიმდინარე ღირებულების ზომა;

Tn - საინვესტიციო პროგრამის საწყისი პერიოდი;

Tk - საინვესტიციო პროგრამის დასკვნითი პერიოდი;

V k - კონკურენტი პროექტების ვექტორი;

V - კონკურენტი პროექტების ვექტორების ნაკრები;

N l - წინა პორტფელის პროექტების რაოდენობა, რომელთა T k აღემატება შემადგენელი პორტფელის T n-ს.

ცხადია, ობიექტური ფუნქციის (20) გამოთვლისას გამოიყენება დისპერსიულ-კოვარიანსული მატრიცის (19) მხოლოდ ის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე და მის ქვემოთ, რაც გამოწვეულია შემაკავებელი პირობის გამოყენებით წყობილ მარყუჟში. სვეტები, და რადგან არსებობს ორი კოვარიანსი თითოეული შესაძლო წყვილი პროექტისთვის, შემოღებულია გაორმაგების ფაქტორი წყობილი მარყუჟის მნიშვნელობებისთვის.

ამრიგად, ოპტიმიზაციის ამოცანაა იმის დადგენა, თუ რომელი პროექტები უნდა იქნას მიღებული ინვესტიციისთვის, რათა მოსალოდნელი შემოსავლის ოდენობა და რისკის დონე ოპტიმალურად შეესაბამებოდეს ინვესტორის მიზნებს, რომლებიც განისაზღვრება ობიექტური ფუნქციის მიმართულებით და შეზღუდვების სიმრავლით:

1. რისკი, რომელიც იზომება პორტფელის დისპერსიით (RMS), მინიმუმამდეა დაყვანილი.

2. შემოსავალი პორტფელიდან, მიღებული პროექტების მოსალოდნელი წმინდა დღევანდელი ღირებულებების დანამატის ინდიკატორის ტოლი, არ უნდა იყოს საწყის საინვესტიციო პერიოდზე დისკონტირებული ღირებულებით განსაზღვრულ საჭირო თანხაზე.

3. წლიური ინვესტიციების ჯამური მოცულობები არ შეიძლება აღემატებოდეს საინვესტიციო პროგრამის თითოეული წლისათვის ცალ-ცალკე მოცემულ პერიოდში დადგენილ ხელმისაწვდომი (გამოყოფილი) სახსრების ლიმიტს.

4. პორტფოლიოში შეიძლება შევიდეს მხოლოდ ერთი პროექტი, რომელიც წარმოადგენს კონკურენტ პროექტების იმავე ჯგუფს.

5. ახალი პორტფელის შედგენა ხდება მის შემადგენლობაში წინა პორტფელის იმ პროექტების სავალდებულო ჩართვის გათვალისწინებით, რომლის საინვესტიციო პროგრამის შესრულების ვადა აღემატება საინვესტიციო პროგრამის დაწყების პერიოდს. ახალი პორტფოლიო.

6. განსახილველი პროექტები არ ექვემდებარება ფრაგმენტაციას.

აღწერილი პრობლემა მოიცავს მთელ რიგ შეზღუდვებს უთანასწორობის სახით, ძირითადად აწესებს ლიმიტებს ინვესტიციებისთვის გარკვეული მიმართულებით. წინააღმდეგ შემთხვევაში, არ შეიძლება გარანტირებული იყოს, რომ მიღებული გამოსავალი იქნება ეფექტურობის ზღვარზე. ამით ჩვენ შეიძლება მივიღოთ უფრო სარისკო პორტფელი, მაგრამ არ მოგვიწევს მთელი ჩვენი ფულის გამოყენება და/ან უფრო მაღალი შემოსავლის მიღებას შევძლებთ.

მიღებული პორტფელის მახასიათებლების გაანგარიშება და გამომავალი:

ბევრი შერჩეული პროექტი:

მოსალოდნელი წმინდა პორტფელის ღირებულება დღეს:

პორტფელის მოსალოდნელი დაბრუნება:

პროექტის პორტფელის რისკი:

ფინანსური რესურსების დაზოგვა:

არსებობს „რისკის“ ცნების სხვადასხვა განმარტება, ამიტომ, ზემოაღნიშნულის განზოგადებით, რისკის მიხედვით ჩვენ გავიგებთ სიტუაციას, როდესაც არსებობს გარკვეული მოქმედებების რამდენიმე შესაძლო შედეგი, ასევე არის საჭირო მონაცემები წარსული პერიოდებიდან, რაც შესაძლებელს ხდის გამოთვლას. ზოგიერთი დამოკიდებულება მომავალი შესაძლო შედეგების პროგნოზირებისთვის.

W. Sharp-ის მიერ შემუშავებული CAPM მოდელი (capital asset pricing model), რომელიც ფართოდ გამოიყენება პორტფელების შედგენისთვის, ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ მნიშვნელოვანია თითოეული ცალკეული აქტივის მხოლოდ სისტემატური რისკის გათვალისწინება. თუმცა, გ. მარკოვიცის ნაშრომებმა დაამტკიცა საერთო რისკის მთლიანობაში გათვალისწინების მნიშვნელობა. ამიტომ, წინა არგუმენტები სწორედ ამ წინაპირობას ეყრდნობოდა.

სისტემატური რისკი გამოწვეულია ისეთი ფაქტორებით, როგორიცაა ინფლაცია. ეკონომიკური კრიზისი, სხვა ზოგადი ბაზრის ფაქტორები.

არასისტემატური რისკის არსებობა დაკავშირებულია შემთხვევით მოვლენებთან, რომლებიც გავლენას ახდენენ კონკრეტულ აქტივებზე ან კომპანიებზე.

ბიბლიოგრაფია

ბარდ V.S. ფინანსური და საინვესტიციო კომპლექსი: თეორია და პრაქტიკა რუსეთის ეკონომიკის რეფორმის კონტექსტში. - M: ფინანსები და სტატისტიკა, 1998. - 304გვ.
ბოგატინ იუ.ვ., შვანდარ ვ.ა. საინვესტიციო ანალიზი: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის, ტრენინგი ეკონომიკაში; Bogatin Yu.V., Shvandar V.A.. - M.: UNITI, 2000. - 286 გვ.
ბოგატინ იუ.ვ., შვანდარ ვ.ა. ბიზნესისა და ინვესტიციების ეფექტურობის შეფასება: სახელმძღვანელო საბაკალავრო უნივერსიტეტებისთვის, ტრენინგი ეკონომიკაში - M: Finance, UNITY-DANA, 1999. - 256 გვ.
ბოჩაროვი ვ.ვ. ინვესტიციების მართვა: სახელმძღვანელო. - პეტერბურგი და სხვები: პეტრე, 2000. - 152გვ. - მოკლე კურსი.
ბროდსკი მ.ნ., ბროდსკი გ.მ. სამართალი და ეკონომიკა: საინვესტიციო კონსულტაცია; სანქტ-პეტერბურგის სახელმწიფო ეკონომიკისა და ფინანსების უნივერსიტეტის ეროვნული უსაფრთხოების საერთაშორისო აკადემია.ევროპა. - პეტერბურგი, 1999. - 488გვ.
ვახრინ პ.ი. ინვესტიციების ორგანიზაცია და დაფინანსება: (პრაქტიკული ამოცანების კრებული და კონკრეტული სიტუაციები): სახელმძღვანელო. - მ.: საინფორმაციო და განხორციელების ცენტრი "მარკეტინგი", 1999. - 149გვ.
იგოშინი ნ.ვ. ინვესტიციები მენეჯმენტისა და დაფინანსების: სახელმძღვანელო საბაკალავრო უნივერსიტეტებისთვის - M: Finance, UNITY, 1999. - 414 გვ.
კოვალევი ვ.ვ. ფინანსური ანალიზი. - მე-2 გამოცემა, შესწორებული და დამატებული - მ.: ფინანსები და სტატისტიკა, 1997. - 511 გვ.
კოლემაევი V.A. მათემატიკური ეკონომიკა. - მ.: ფინანსები და სტატისტიკა, 2003. - 206გვ.
Krushwitz L. ფინანსები და ინვესტიციები ფინანსების თეორიის ნეოკლასიკური საფუძვლები: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის: თარგმანი გერმანულიდან.. - სანკტ-პეტერბურგი. და სხვა: პეტრე, 2000. - 381გვ. - ძირითადი კურსი.
ლიმიტოვსკი M.A. საინვესტიციო და ფინანსური გადაწყვეტილებების შეფასების საფუძვლები. - მე-3 გამოცემა, დამატებითი და შესწორებული.. - M.: DeKA, 1998. - 231გვ.
საწარმოს ინვესტიციების ეფექტურობის შეფასება: მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები ორგანიზაციული ეკონომიკის დასაწერად. ტექნიკური სტუდენტების სადიპლომო პროექტის ნაწილები. სპეციალისტი.; ტვერის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი, ეკონომიკისა და მენეჯმენტის დეპარტამენტი. pr-vom შედგენილი V.A Nikolskaya, A.G. Bokicheva. - ტვერი, 2000. - 12გვ.
სალმანოვი ო.ნ. მათემატიკური ეკონომიკა Mathcad-ისა და Excel-ის გამოყენებით. BHV-Petersburg, 2003. – 464 გვ.
სერგეევი ი.ვ., ვერეტენნიკოვა ი.ი. ინვესტიციების ორგანიზება და დაფინანსება: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ ეკონომიკასა და სპეციალიზაციას; სერგეევი ი.ვ., ვერეტენიკოვა ი.ი. - მ.: ფინანსები და სტატისტიკა, 2000. - 271 გვ.
ჰოლტ რ.ნ., ბარნს ს.ბ. საინვესტიციო დაგეგმვა: [სახელმძღვანელო]: ინგლისურიდან თარგმნა - მ.: აკად.ნარ.ხოზ-ვა: დელო, 1994. - 118გვ.
ჩეტირკინი ე.მ. სამრეწველო ინვესტიციების ფინანსური ანალიზი; რუსეთის ფედერაციის მთავრობასთან არსებული ეროვნული ეკონომიკის აკადემიკოსი. - მ.: დელო, 1998. - 255გვ.
Sharp W.F., Alexander G.D. ინვესტიციები: თარგმანი ინგლისურიდან; მომზადებულია ფინანსური და მენეჯმენტის პერსონალის მომზადების ეროვნული ფონდის ფინანსური მხარდაჭერით, პროგრამის „საბანკო საქმიანობის“ ფარგლებში. - M.: INFRA-M, 1997. - 1024გვ.

პროგრამული უზრუნველყოფის და ინფორმაციის მხარდაჭერა

Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
მონახოვი A.V. ეკონომიკური ანალიზის მათემატიკური მეთოდები. // www. ჩემი მაღაზია. ru.
კოლემაევი V.A. მათემატიკური ეკონომიკის სახელმძღვანელო. // www. ჰუგაჰუგა. ru.

მაგნიტოგორსკი 2005 წ

ამოცანების კრებული კურსისთვის „მათემატიკური ეკონომიკა“. - მაგნიტოგორსკი: MaSU, 2005. – 184 გვ.

კრებულში მოცემულია მათემატიკური ეკონომიკის კურსში გამოყენებული ძირითადი კატეგორიებისა და დებულებების მიმოხილვა. წარმოდგენილია ტიპიური ამოცანების გადაჭრის მაგალითები და მოცემულია კითხვები შესწავლილ მასალაზე თვითშემოწმებისთვის. სახელმძღვანელოს მასალების გამოყენება შესაძლებელია კურსებში „ფინანსური მათემატიკა“, „ფინანსური ანალიზის მათემატიკური მეთოდები“, „ფინანსური მენეჯმენტი“, „ფინანსური ანალიზი“ და ა.შ.

ნაშრომი მიმართულია მასწავლებლებზე, კურსდამთავრებულებზე და სრულ განაკვეთზე და ნახევარ განაკვეთზე სტუდენტებზე, მკვლევარებზე და პრაქტიკოსებზე, რომლებიც სპეციალიზდებიან ფინანსური მენეჯმენტისა და საინვესტიციო პროექტების სფეროში, მათემატიკური მეთოდებისა და მოდელების გამოყენებაში ეკონომიკური სისტემებისა და ფენომენების შესწავლაში.

შემდგენელები. გ.ნ. ჩუსავიტინა,

ვ.ბ. ლაფშინა.

 ჩუსავიტინა გ.ნ., ლაფშინა ვ.ბ. 2005 წ

 მაგნიტოგორსკის სახელმწიფო უნივერსიტეტი, 2005 წ

შესავალი 5

თავი 1 მარტივი ინტერესი 7

1.1. განაკვეთების დადგენა და პროცენტის გამოთვლა 7

1.2. მარტივი საპროცენტო განაკვეთი 10

1.3. მარტივი ფასდაკლების კურსი 21

1.4. სესხის დაფარვისა და ამორტიზაციის ხარჯები 32

1.5. საშუალოების გამოთვლა 41

1.6. სავალუტო გადახდები 48

1.7. საშემოსავლო გადასახადი 53

1.8. ინფლაცია 56

1.9. გადახდების ჩანაცვლება და გაერთიანება 64

თავი 2 ნაერთის პროცენტი 73

2.1. რთული საპროცენტო განაკვეთი 73

2.2. კომპლექსური ფასდაკლების განაკვეთი 91

2.3. უწყვეტი მაჩვენებელი 101

2.4. შეფასების ეკვივალენტობა 107

2.5. ინფლაცია და შერწყმა და უწყვეტი პროცენტი 112

2.6. გადახდების ჩანაცვლება და მათი გადახდის ვადები 125

თავი 3 ანუიტეტები 132

3.1. მუდმივი ანუიტეტი 132

3.2. უწყვეტი და ცვლადი ანუიტეტები 148

3.3. წელზე მეტი ვადით ანუიტეტის შეფასება 157

შესავალი

„მათემატიკური ეკონომიკა“ ასე ჰქვია მათემატიკოსთა მიერ გამოგონილ დისციპლინას. ეკონომისტები ურჩევნიათ სხვა სახელს - "ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელები და მეთოდები". ეს სახელი ხშირად გვხვდება ეკონომიკის დეპარტამენტების სასწავლო გეგმებსა და სტანდარტებში. ჩვენი აზრით, ეს ორი სახელი თანაბრად ზუსტად გადმოსცემს საგნის შინაგან შინაარსს, სადაც ჰარმონიულად არის შერწყმული ეკონომიკური და მათემატიკური ასპექტები. სამწუხაროდ, პრაქტიკაში, EMM&M კურსის პროგრამა ხშირად შედგენილია "ოპერაციების კვლევისა და მათემატიკური პროგრამირების" ცალკეული სექციებიდან, რომლებიც, ჯერ ერთი, უკვე დასრულებულია ამ კურსამდე და მეორეც, შეიცავს გადაწყვეტილების მიღებისა და ოპტიმიზაციის მათემატიკურ მოდელებს, და არა ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელები, როგორც ასეთი.

მათემატიკური ეკონომიკა არის მეცნიერება, რომელიც იყენებს მათემატიკას, როგორც მეთოდს ეკონომიკური სისტემებისა და ფენომენების შესასწავლად.

ამრიგად, მათემატიკური ეკონომიკის შესწავლის ობიექტი (ან საგნობრივი სფერო) არის ეკონომიკა - როგორც ყოფიერების ნაწილი ან ადამიანის საქმიანობის ფართო არეალის ნაწილი.

სხვა მეცნიერებების მსგავსად, რომლებიც სწავლობენ ეკონომიკას მთლიანობაში ან მის კომპონენტებს, მათემატიკური ეკონომიკა იყენებს გარკვეულ მეთოდოლოგიას და აქვს თავისი სპეციფიკა. მათემატიკური ეკონომიკის სპეციფიკა, მისი მეთოდოლოგიური თავისებურება ის არის, რომ ის სწავლობს არა თვით ეკონომიკურ ობიექტებსა და მოვლენებს, არამედ მათ მათემატიკურ მოდელებს. მისი მიზანია ობიექტური ეკონომიკური ინფორმაციის მოპოვება და მნიშვნელოვანი პრაქტიკული მნიშვნელობის რეკომენდაციების შემუშავება. ფორმალურად, მათემატიკური ეკონომიკა შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც ეკონომიკური, ასევე მათემატიკური მეცნიერებები. პირველ შემთხვევაში, ეს უნდა გავიგოთ, როგორც ეკონომიკის ის განყოფილება, რომელიც შეისწავლის რაოდენობრივ და ხარისხობრივ კატეგორიებს, ასევე ეკონომიკური სუბიექტების ქცევით ასპექტებს. მათემატიკური ეკონომიკა მათემატიკის ერთ-ერთ მიმართულებად მიგვაჩნია, ჩვენ შეგვიძლია მივაკუთვნოთ იგი გამოყენებითი მათემატიკის იმ მონაკვეთებს, რომლებიც ეხება ოპტიმიზაციის პრობლემებს და გადაწყვეტილების მიღების პრობლემებს.

თავისი ბუნებით ეკონომიკა არის მათემატიკასთან ყველაზე ახლოს მყოფი სოციალური მეცნიერება. უკვე ეკონომიკის ცნების, მისი ძირითადი ამოცანების განმარტებაში, შეგიძლიათ ნახოთ მათემატიკური ცნებები და ტერმინოლოგია.

მართლაც, ეკონომიკა არის სოციალური მეცნიერება, რომელიც იყენებს შეზღუდული რესურსებს მოსახლეობის შეუზღუდავი მატერიალური მოთხოვნილებების მაქსიმალურად დაკმაყოფილების მიზნით. ეკონომიკური მეცნიერების ცენტრალური პრობლემები - ეკონომიკის რაციონალური მართვა, შეზღუდული რესურსების ოპტიმალური განაწილება, ეკონომიკური მართვის მექანიზმების შესწავლა, ეკონომიკური გამოთვლების მეთოდების შემუშავება - არსებითად მათემატიკური მეცნიერებების ფარგლებში გადაჭრილი პრობლემებია. მათემატიკის რაოდენობრივი და ხარისხობრივი მეთოდები საუკეთესო დამხმარე აპარატია ეკონომიკის ძირითად კითხვებზე პასუხების მისაღებად:

რა უნდა იყოს წარმოებული (ანუ რა საქონელი და მომსახურება უნდა იყოს წარმოებული და რა რაოდენობით)?

როგორ წარმოიქმნება საქონელი (ანუ ვის მიერ და რა რესურსებით და რა ტექნოლოგიით)?

ვისთვის არის განკუთვნილი ეს საქონელი (ანუ ვის მიერ და როგორ მოიხმარება ეს საქონელი)?

დაბოლოს, ეკონომიკური თეორიის ამოცანა, რომელიც დაკავშირებულია წარმოების, გაცვლისა და მოხმარების პროცესში ეკონომიკური მონაწილეების ქცევის სისტემატიზაციასთან, ინტერპრეტაციასთან და განზოგადებასთან, მიდის ოპტიმიზაციისა და გადაწყვეტილების მიღების მათემატიკურ პრობლემებამდე.

ზემოაღნიშნულის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვისაუბროთ მათემატიკური ეკონომიკის წინაშე მდგარი შემდეგი ძირითადი ამოცანების შესახებ:

ეკონომიკური ობიექტების, სისტემებისა და ფენომენების მათემატიკური მოდელების შემუშავება (ეკონომიკის ზოგადი და სპეციფიკური ამოცანები სხვადასხვა პირობებში, წინაპირობებსა და სხვადასხვა დონეზე);

ეკონომიკური მონაწილეების ქცევის შესწავლა (ოპტიმალური გადაწყვეტილებების არსებობის პირობები და მათი მახასიათებლები, აგრეთვე მათი გაანგარიშების მეთოდები მოხმარების მოდელებში, ფირმა, სრულყოფილი და არასრულყოფილი კონკურენცია და ა.შ.);

ეკონომიკის აღწერითი მოდელების შესწავლა (დაგეგმვის მოდელები, შეყვანა-გამომავალი, მზარდი ეკონომიკა, კეთილდღეობისა და ზრდის ეკონომიკა და სხვ.);

ეკონომიკური ღირებულებების ანალიზი და სტატისტიკური მონაცემები (ელასტიურობა, საშუალო და ზღვრული მნიშვნელობები, რეგრესული და კორელაციური ანალიზი და ეკონომიკური ფაქტორების და ინდიკატორების პროგნოზირება).

მათემატიკური ეკონომიკა არის თეორიული და გამოყენებითი მეცნიერება, რომლის საგანია ეკონომიკური ობიექტებისა და პროცესების მათემატიკური მოდელები და მათი კვლევის მეთოდები.

მათემატიკური მეცნიერებების გაჩენა უდავოდ დაკავშირებული იყო ეკონომიკის საჭიროებებთან. საჭირო იყო, მაგალითად, გაერკვია, რამდენი მიწა უნდა დათესო მარცვლეულით ოჯახის გამოსაკვებად, როგორ გავზომოთ ნათესი ველი და შევაფასოთ მომავალი მოსავალი.

წარმოების განვითარებასთან და მის გართულებასთან ერთად გაიზარდა მათემატიკური გამოთვლების ეკონომიკური საჭიროებაც. თანამედროვე წარმოება მრავალი საწარმოს მკაცრად დაბალანსებული ნამუშევარია, რაც უზრუნველყოფილია დიდი რაოდენობით მათემატიკური ამოცანების გადაჭრით. ამ სამუშაოს უჭირავს ეკონომისტების, დამგეგმავების და ბუღალტერების უზარმაზარი არმია და გამოთვლებს ახორციელებს ათასობით ელექტრონული კომპიუტერი. ასეთ ამოცანებს შორისაა საწარმოო გეგმების გამოთვლების განხორციელება, სამშენებლო პროექტების ყველაზე მომგებიანი განლაგების დადგენა და ყველაზე ეკონომიური სატრანსპორტო მარშრუტების არჩევა და ა.შ. მათემატიკური ეკონომიკა ასევე ეხება უკვე ცნობილი ეკონომიკური ფენომენების ფორმალიზებულ მათემატიკურ აღწერას, ამოწმებს სხვადასხვა ჰიპოთეზებს ეკონომიკურ სისტემებზე, რომლებიც აღწერილია გარკვეული მათემატიკური ურთიერთობებით.

მოდით შევხედოთ ორ მარტივ მაგალითს ამ მიზნებისათვის მათემატიკური მოდელების გამოყენების დემონსტრირებაში.

მოდით, პროდუქტის მიწოდება და მოთხოვნა ფასზე იყოს დამოკიდებული. წონასწორობისთვის, ფასი ბაზარზე ისეთი უნდა იყოს, რომ პროდუქტი გაიყიდოს და არ იყოს ჭარბი:

. (1)

მაგრამ თუ, მაგალითად, წინადადება დაგვიანებულია ერთი დროის ინტერვალით, მაშინ, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 1 (რომელიც აჩვენებს მოთხოვნისა და მიწოდების მრუდებს, როგორც ფასის ფუნქციებს), ფასზე მოთხოვნა აღემატება მიწოდებას. და რადგან მიწოდება მოთხოვნაზე ნაკლებია, ფასი იზრდება და პროდუქტი იყიდება 1-ის ფასში. ამ ფასში მიწოდება იზრდება; ახლა მიწოდება მოთხოვნაზე მეტია და მწარმოებლები იძულებულნი არიან გაყიდონ საქონელი 1-ის ფასში, რის შემდეგაც მიწოდება ეცემა და პროცესი მეორდება. შედეგი არის ეკონომიკური ციკლის მარტივი მოდელი. ნელ-ნელა ბაზარი წონასწორობამდე მიდის: მოთხოვნა, ფასი და მიწოდება დგინდება დონეზე.

ბრინჯი. 1 შეესაბამება (1) განტოლების ამოხსნას თანმიმდევრული მიახლოებების მეთოდით, რომელიც განსაზღვრავს ამ განტოლების ფესვს, ე.ი. წონასწორული ფასი და მიწოდებისა და მოთხოვნის შესაბამისი ღირებულება.

განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი - დანაზოგის "ოქროს წესი". საწარმოს მიერ საბოლოო პროდუქტების გამომუშავების ოდენობა (რუბლით) დროის მომენტში განისაზღვრება შრომის ხარჯებით, რომლის პროდუქტიულობა დამოკიდებულია მისი აღჭურვილობის გაჯერების ხარისხის თანაფარდობაზე შრომის ხარჯებთან. ამის მათემატიკური აღნიშვნაა:

. (2)

საბოლოო პროდუქტები ნაწილდება აღჭურვილობის მოხმარებაზე და დაგროვებაზე. თუ დაგროვებისკენ მიმავალი გამომავალი წილს ავღნიშნავთ, მაშინ

ეკონომიკაში მას დაზოგვის განაკვეთს უწოდებენ. მისი ღირებულება ნულსა და ერთს შორისაა.

დროის ერთეულზე, აღჭურვილობის მოცულობა იცვლება დაგროვების რაოდენობით

. (4)

დაბალანსებული ეკონომიკური ზრდის პირობებში, მისი ყველა კომპონენტი იზრდება ერთი და იგივე ზრდის ტემპით. რთული პროცენტის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

, , , .

თუ შემოვიყვანთ მნიშვნელობებს, რომლებიც ახასიათებს მოხმარებას, აღჭურვილობის მოცულობას და გამომუშავებას თითო მუშაკზე, მაშინ ურთიერთობების სისტემა (2) - (4) გარდაიქმნება სისტემაში.

, , . (5)

ამ მიმართებებიდან მეორე, მოცემული ზრდის ტემპებისა და მოხმარების დროს, განსაზღვრავს კაპიტალი-შრომის თანაფარდობას, როგორც მრუდისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილს ნახ. 2. ეს ხაზები, რა თქმა უნდა, იკვეთება, ვინაიდან ფუნქცია, თუმცა მონოტონურად, იზრდება, რაც ნიშნავს გამომუშავების ზრდას შრომის აღჭურვილობის დონის მატებასთან ერთად, მაგრამ უფრო და უფრო ცალსახად, ე.ი. ეს არის ჩაზნექილი ფუნქცია. ეს უკანასკნელი გარემოება ასახავს იმ ფაქტს, რომ ერთ მუშაკზე აღჭურვილობის დამატებითი ზრდა, მისი დატვირთვის გაზრდის გამო, სულ უფრო და უფრო ნაკლებად ეფექტური ხდება („შემცირების კანონი“). მრუდების ოჯახი შეესაბამება დაგროვების სიჩქარის სხვადასხვა მნიშვნელობებს. სეგმენტის სიგრძე, როგორც (5) ფორმულიდან ჩანს, უდრის მოხმარებას. (ნახ. 2 წერტილში) საერთოდ არ არის მოხმარება - მთელი წარმოება მიდის აღჭურვილობის დაგროვებაზე. მოდით ახლა შევამციროთ დაგროვების მაჩვენებელი. მაშინ მოხმარება (სიგრძე) აღარ იქნება ნული, თუმცა ეკონომიკური ზრდის ტემპი (სწორი ხაზის დახრილობის კუთხე) იგივე რჩება. ორდინატის მქონე წერტილში, რომლისთვისაც მრუდის ტანგენსი სწორი ხაზის პარალელურია, მოხმარება მაქსიმალურია. იგი შეესაბამება ოჯახის მრუდს გარკვეული დაგროვების სიჩქარით, რომელსაც ეწოდება "ოქროს დაგროვების მაჩვენებელი".

ლეონიდ ვიტალიევიჩ კანტოროვიჩი
(1912-1986)

ლ.ვ.კანტოროვიჩი არის საბჭოთა მათემატიკოსი და ეკონომისტი, ხაზოვანი პროგრამირებისა და სოციალისტური ეკონომიკის ოპტიმალური დაგეგმვის თეორიის შემქმნელი, აკადემიკოსი, ნობელის პრემიის ლაურეატი.

ლ.ვ.კანტოროვიჩი დაიბადა სანქტ-პეტერბურგში, ექიმის ოჯახში. მისი შესაძლებლობები უჩვეულოდ ადრე გამოვლინდა. უკვე 4 წლის ასაკში ის თავისუფლად ფლობდა მრავალნიშნა რიცხვებს, შვიდი წლის ასაკში დაეუფლა ქიმიის კურსს უფროსი ძმის სახელმძღვანელოს გამოყენებით. 14 წლის ასაკში გახდა პეტერბურგის უნივერსიტეტის სტუდენტი. 1930 წელს, როდესაც უნივერსიტეტი დაამთავრა, ლ.ვ.კანტოროვიჩი უკვე ცნობილი მეცნიერი იყო, წამყვან საერთაშორისო მათემატიკურ ჟურნალებში გამოქვეყნებული ათეული ნაშრომის ავტორი, ხოლო 20 წლის ასაკში იყო მათემატიკის პროფესორი.

1935 წელს მეცნიერმა შემოიტანა და შეისწავლა ფუნქციური სივრცეების კლასი, რომლებშიც წესრიგის მიმართება განისაზღვრება მათი ელემენტების გარკვეული ნაკრებისთვის. ასეთი სივრცეების თეორია, რომელსაც ეწოდება კანტოროვიჩის სივრცეები, ან -სივრცეები, არის ფუნქციური ანალიზის ერთ-ერთი მთავარი განყოფილება. ბოლოდროინდელმა მუშაობამ, რომელიც დაკავშირებულია კონტინიუმის ამოცანის ამოხსნასთან, დაადგინა სივრცეების ადგილი ყველაზე ფუნდამენტურ მათემატიკურ სტრუქტურებს შორის.

ლ.ვ.კანტოროვიჩი გამოირჩეოდა მისი საოცარი უნარით დაენახა პრობლემის არსი კონკრეტულ პრობლემაში და თეორიის შექმნით, ზოგადი მეთოდის მიცემა მსგავსი პრობლემების ფართო კლასის გადასაჭრელად. ეს განსაკუთრებით ნათლად გამოიკვეთა მის ნაშრომებში გამოთვლითი მათემატიკისა და მათემატიკური ეკონომიკის შესახებ.

30-იანი წლების დასაწყისში. ლ.ვ.კანტოროვიჩი იყო ერთ-ერთი პირველი დიდი მეცნიერი, რომელიც დაინტერესდა გამოთვლითი მათემატიკით. ამ მეცნიერების თანამედროვე გარეგნობა დიდწილად მისმა ნაშრომებმა განაპირობა. მათ შორისაა ფუნდამენტური და კლასიკური მონოგრაფია „უმაღლესი ანალიზის მიახლოებითი მეთოდები“; გამოთვლითი მეთოდები, რომლებიც მის სახელს ატარებს; ფუნქციური ანალიზის საფუძველზე აგებული სავარაუდო მეთოდების ზოგადი თეორია (სახელმწიფო პრემია 1949 წ.); მუშაობა ავტომატურ პროგრამირებაზე, რომელიც განხორციელდა კომპიუტერული ეპოქის გარიჟრაჟზე და მრავალი თანამედროვე იდეის მოლოდინში, და ბოლოს, არაერთი გამოგონება კომპიუტერული ტექნოლოგიების სფეროში.

1939 წელს ლენინგრადში გამოიცა მცირე ბროშურა „წარმოების ორგანიზებისა და დაგეგმვის მათემატიკური მეთოდები“, რომელიც რეალურად შეიცავდა გამოყენებითი მათემატიკის ახალ განყოფილებას, რომელსაც მოგვიანებით ხაზოვანი პროგრამირება უწოდეს (იხ. გეომეტრია). მისი დაწერის მიზეზი იყო კონკრეტული საწარმოო დავალება. გააცნობიერა სოციალისტურ ეკონომიკაში ვარიაციული და ოპტიმალური ცნებების ძირითადი მნიშვნელობა, ისეთი მნიშვნელოვანი ინდიკატორები, როგორიცაა ფასი, რენტა, ეფექტურობა, მან დაიწყო ოპტიმალური დაგეგმვის თეორიის შემუშავება, რომელიც შემდგომში მიენიჭა ლენინის (1965) და ნობელის (1975). ) პრიზები.

წიგნი "რესურსების საუკეთესო გამოყენების ეკონომიკური გაანგარიშება", რომელიც აყალიბებს ამ თეორიას, დაიწერა ლენინგრადის ბლოკადის პირობებში და დასრულდა უკვე 1942 წელს.

ამ კვლევების განსაკუთრებული მნიშვნელობის გაცნობიერებით, მეცნიერი დაჟინებით ცდილობდა მათი შედეგების პრაქტიკულ გამოყენებას. თუმცა, ნაშრომი 1959 წლამდე არ გამოქვეყნებულა და მაშინაც მას თავს დაესხნენ ორთოდოქსი პოლიტეკონომისტები. ლ.ვ.კანტოროვიჩის წიგნმა ჩამოაყალიბა საბჭოთა ეკონომისტთა მთელი თაობის შეხედულებები. იქ პირველად გამოთქმული ბევრი იდეა განხორციელდა პერესტროიკის დროს.

ოლიმპიადის შემდეგ საინტერესოა პრობლემების გადაჭრის გზების განხილვა.

მათემატიკური ეკონომიკის რთული პრობლემაა თეორიისა და პრაქტიკის შედარება: ეკონომიკური ინდიკატორების გაზომვა უკიდურესად რთულია - ისინი არ იზომება ლაბორატორიულ პირობებში, დაკვირვება შეიძლება განხორციელდეს ძალიან იშვიათად (გაიხსენეთ აღწერები!), ისინი ტარდება სხვადასხვა პირობებში. და შეიცავს უამრავ უზუსტობას. ამიტომ ძნელია სხვა მეცნიერებებში დაგროვილი საზომი გამოცდილების გამოყენება და საჭიროა სპეციალური მეთოდების შემუშავება.

მათემატიკური ეკონომიკის განვითარებამ გამოიწვია მრავალი მათემატიკური თეორიის გაჩენა, რომლებიც გაერთიანებულია სახელწოდებით „მათემატიკური პროგრამირება“ (ხაზოვანი პროგრამირების შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ სტატიაში „გეომეტრია“).

ეკონომიკაში მათემატიკური მეთოდების გამოყენების საკითხები განვითარდა საბჭოთა მათემატიკოსის ლ.ვ.კანტოროვიჩის ნაშრომებში, რომელსაც მიენიჭა ლენინის და ნობელის პრემიები.

ეკონომიკის მთავარი მიზანი- საზოგადოების სამომხმარებლო საქონლით უზრუნველყოფა. ეკონომიკაში არსებობს სტაბილური რაოდენობრივი შაბლონები, ამიტომ მათი ფორმალიზებული მათემატიკური აღწერა შესაძლებელია.

Საგანი აკადემიური დისციპლინის - ეკონომიკისა და მისი განყოფილებების შესწავლა.

ელემენტი - ეკონომიკური ობიექტების მათემატიკური მოდელები.

მეთოდი - ეკონომიკის, როგორც რთული დინამიური სისტემის სისტემური ანალიზი.

მოდელი - ეს არის ობიექტი, რომელიც ცვლის ორიგინალს, ასახავს ორიგინალის ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს და თვისებებს ამ კვლევისთვის.

მოდელს, რომელიც არის მათემატიკური ურთიერთობების ერთობლიობა, ეწოდება მათემატიკური.

სიმულაციური ელემენტები

სისტემა - არის ურთიერთდაკავშირებული ელემენტების ერთობლიობა, რომლებიც ერთობლივად ახორციელებენ გარკვეულ მიზნებს.

სუპერსისტემა - სისტემის გარშემო არსებული გარემო, რომელშიც სისტემა მუშაობს.

ქვესისტემა - ელემენტების ქვეჯგუფი, რომლებიც ახორციელებენ მიზნებს სისტემის მიზნებთან შესაბამისობაში (ქვესისტემას შეუძლია სისტემის მიზნების ნაწილის განხორციელება).

ეკონომიკური სისტემა: გამოყოფს რესურსებს, აწარმოებს პროდუქტებს, ავრცელებს სამომხმარებლო საქონელს და ახორციელებს დაგროვებას.

ეროვნული ეკონომიკის სუპერსისტემა- ბუნება, მსოფლიო ეკონომიკა და საზოგადოება.

ეკონომიკის ძირითადი ქვესისტემები- საწარმოო და საფინანსო-საკრედიტო.

ეკონომიკის, როგორც მოდელირების ობიექტის თავისებურებები

ტექნიკური მოდელების მსგავსი მოდელები ეკონომიკაში შეუძლებელია, რადგან შეუძლებელია ეკონომიკის ზუსტი ასლის შექმნა და ეკონომიკური პოლიტიკის ვარიანტების შემუშავება ამ ასლზე.

ეკონომიკაში, ექსპერიმენტების შესაძლებლობები შეზღუდულია, რადგან მისი ყველა ნაწილი მჭიდროდ არის დაკავშირებული.

ეკონომიკის პირდაპირ ექსპერიმენტებს აქვს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მხარეები.

დადებითი მხარე- მაშინვე თვალსაჩინოა მიმდინარე ეკონომიკური პოლიტიკის მოკლევადიანი შედეგები.

უარყოფითი მხარე- შეუძლებელია მიღებული გადაწყვეტილებების საშუალო და გრძელვადიანი შედეგების პირდაპირ განჭვრეტა.

ამრიგად, სწორი ეკონომიკური გადაწყვეტილებების შემუშავებისთვის აუცილებელია გავითვალისწინოთ როგორც მთელი წარსული გამოცდილება, ასევე გამოთვლების შედეგად მიღებული შედეგები მოცემული ეკონომიკური მდგომარეობის ადეკვატური მათემატიკური მოდელების გამოყენებით.

მათემატიკური მოდელების შემუშავება შრომატევადი, მაგრამ ძალიან პერსპექტიულია. ამრიგად, კეინსის მოდელი, რომელიც ასახავს საბაზრო ეკონომიკის უნარს, მოერგოს შემაშფოთებელ გავლენებს, აშენდა 1929-1933 წლების კრიზისის შთაბეჭდილების ქვეშ. თუმცა, ამ მოდელის გამოყენება ომისშემდგომი კრიზისის დასაძლევად გერმანიასა და იაპონიაში ძალიან წარმატებული იყო და მას "ეკონომიკური სასწაული" უწოდეს.

განვიხილოთ ეკონომიკის სტრუქტურა, როგორც მათემატიკური მოდელირების ობიექტი

ეკონომიკა არის რთული სისტემა, რომელიც შედგება საწარმოო და არასაწარმოო (ფინანსური) უჯრედებისგან (ეკონომიკური ერთეულებისგან), რომლებიც წარმოებით, ტექნოლოგიურ და (ან) ორგანიზაციულ და ეკონომიკურ კავშირში არიან ერთმანეთთან.

ეკონომიკურ სისტემასთან მიმართებაში საზოგადოების თითოეული წევრი ორმაგ როლს ასრულებს: ერთის მხრივ, როგორც მომხმარებელი, მეორე მხრივ, როგორც მუშა.

შრომის გარდა, მატერიალური რესურსები არის ბუნებრივი რესურსები და წარმოების საშუალებები

მატერიალური წარმოების ყველა სექტორი ქმნის მთლიან შიდა პროდუქტს (მშპ).

IN ბუნებრივიმთლიანი შიდა პროდუქტის ფორმა - შრომის და სამომხმარებლო საქონლის საშუალებები,

ღირებულების სახით - ძირითადი საშუალებების (ამორტიზაციის ფონდი) და ახლად შექმნილი ღირებულების (ეროვნული შემოსავალი) გასხვისების კომპენსაციის ფონდი.

მთლიანი შიდა პროდუქტის შექმნის პროცესში იწარმოება და კვლავ მოიხმარება შუალედური პროდუქტი.

ავტორი მასალაშემადგენლობა, შუალედური პროდუქტი არის შრომის ობიექტები, რომლებიც გამოიყენება მიმდინარე წარმოების მოხმარებისთვის, მათი ღირებულება მთლიანად გადაირიცხება მშპ-ში შემავალი შრომის საშუალებების ან სამომხმარებლო საქონლის ღირებულებაში.

მათემატიკის გამოყენება ეკონომიკაში იძლევა საშუალებას:

1. ეკონომიკური ცვლადების და ობიექტების უმნიშვნელოვანესი კავშირების გამოყოფა და ფორმალურად აღწერა;

2. ობიექტის შესახებ ახალი ცოდნის მიღება;

3. შეაფასეთ ფაქტორების და ცვლადების პარამეტრების დამოკიდებულების ტიპი, გამოიტანეთ დასკვნები.

რა არის ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელი?

ეს არის ეკონომიკური ფენომენების გამარტივებული ფორმალური აღწერა.

ეკონომიკური ობიექტის მათემატიკური მოდელი არის მისი წარმოდგენა განტოლებათა, უტოლობების, ლოგიკური მიმართებებისა და გრაფიკების სახით.

მოდელები შესაძლებელს ხდის ეკონომიკური ობიექტის ფუნქციონირების თავისებურებების იდენტიფიცირებას და, ამის საფუძველზე, პროგნოზირებს ობიექტის ქცევას მომავალში, როდესაც პარამეტრები შეიცვლება.

მოდელის აგების ეტაპები:

1. ჩამოყალიბებულია კვლევის საგანი და მიზნები;

2. ეკონომიკურ სისტემაში იდენტიფიცირებულია სტრუქტურული ან ფუნქციური ელემენტები, რომლებიც შეესაბამება ამ მიზანს;

3. გამოვლენილია ამ ელემენტების ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისობრივი მახასიათებლები;

4. ელემენტების ურთიერთობა აღწერილია სიტყვიერად და ხარისხობრივად;

5. შემოღებულია სიმბოლური აღნიშვნები ეკონომიკური ობიექტის მახასიათებლებზე და ჩამოყალიბებულია მათ შორის ურთიერთობები;

6. გამოთვლები ტარდება მოდელის გამოყენებით და შედეგების ანალიზი;

მოდელის სტრუქტურა:

მოდელის ასაგებად აუცილებელია ეგზოგენური და ენდოგენური ცვლადები და პარამეტრების დადგენა.

ეგზოგენური ცვლადები– მითითებულია მოდელის გარეთ, ე.ი. ცნობილია გამოთვლების დროს.

ენდოგენური ცვლადები– განისაზღვრება მოდელის გამოყენებით გამოთვლების დროს.

Პარამეტრები არის განტოლებების კოეფიციენტები.

ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელების კლასები

ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელები იყოფა შემდეგ კლასებად:

1. განზოგადების დონით

ა. მაკროეკონომიკური - აღწერეთ ეკონომიკა მთლიანობაში, აკავშირებთ აგრეგირებულ მაჩვენებლებს: მშპ, მოხმარება, ინვესტიციები, დასაქმება. მაკრომოდელები ასახავს მთელი ეკონომიკური სისტემის ან მისი საკმაოდ დიდი ქვესისტემების ფუნქციონირებას და განვითარებას. მაკრომოდელებში ეკონომიკური უჯრედები განუყოფლად ითვლება.

ბ. მიკროეკონომიკა - აღწერს ეკონომიკის სტრუქტურული და ფუნქციური კომპონენტების ურთიერთქმედებას. მიკრომოდელები - ბიზნეს ერთეულებისა და მათი გაერთიანებების ფუნქციონირება. მიკრომოდელებში ბიზნეს ერთეული შეიძლება ჩაითვალოს კომპლექსურ სისტემად.

2. აბსტრაქციის დონის მიხედვით

ა. თეორიული - საშუალებას გაძლევთ შეისწავლოთ ეკონომიკის ზოგადი თვისებები ფორმალური შენობიდან გამოტანით. გამოიყენება ეკონომიკის ზოგადი თვისებების და მისი ელემენტების შესასწავლად (მოთხოვნისა და მიწოდების მოდელები)

ბ. გამოყენებითი - შესაძლებელს ხდის კონკრეტული ეკონომიკური სუბიექტის ფუნქციონირების პარამეტრების შეფასებას და გადაწყვეტილების მიღების რეკომენდაციების შემუშავებას. გამოიყენება კონკრეტული ეკონომიკური ობიექტების პარამეტრების შესაფასებლად. ეს მოიცავს ეკონომეტრიულ მოდელებს, რომლებიც იყენებენ მათემატიკური სტატისტიკის მეთოდებს.

3. წონასწორობისა და ზრდის მოდელები

ა. წონასწორობა – აღწერითი (აღწერითი) მოდელები. ისინი აღწერენ ეკონომიკის მდგომარეობას, როდესაც ყველა ძალის შედეგი, რომელიც ცდილობს ეკონომიკა ამ მდგომარეობიდან გამოიყვანოს, არის ნული. მაგალითი - ლეონტიევის მოდელი (შეყვანა-გამომავალი),

ბ. ზრდის მოდელები შექმნილია იმის დასადგენად, თუ როგორ უნდა განვითარდეს ეკონომიკა გარკვეული კრიტერიუმების მიხედვით. მაგალითი - სოლოუ, სამუელსონ-ჰიქსის მოდელი

4. დროის ფაქტორის გათვალისწინებით.

ა. სტატიკური - აღწერს ობიექტის მდგომარეობას კონკრეტულ მომენტში ან დროის მონაკვეთში.

ბ. დინამიური - მოიცავს ურთიერთობებს ცვლადებს შორის დროთა განმავლობაში. ჩვეულებრივ გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებების აპარატი.

5. შემთხვევითობის ფაქტორის გათვალისწინებით.

ა. დეტერმინისტული - ვივარაუდოთ მკაცრი ფუნქციური კავშირები მოდელის ცვლადებს შორის.

ბ. სტოქასტური - დაუშვით შემთხვევითი გავლენა ინდიკატორებზე და გამოიყენეთ ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა.

საკონტროლო კითხვები

1. რა არის ეკონომიკურ-მათემატიკური მოდელირება? მისი ადგილი ეკონომიკურ ანალიზსა და პროგნოზირებაში.

2. მოდელირების ეტაპები. მოდელის ფაქტორები.

3. ეკონომიკური და მათემატიკური მოდელების კლასები.

მსგავსი სტატიები