ფულის რეალური (მიმდინარე) ღირებულების განმარტებები

ფინანსურ გამოთვლებში საჭიროა სხვადასხვა ოდენობის თანხის შედარება დროის სხვადასხვა მომენტში. ამიტომ საკმაოდ ხშირად ჩნდება რეალური (მიმდინარე) ღირებულების განსაზღვრის საჭიროება (ამჟამინდელი ღირებულება - PV)ფული, რომელიც ემსახურება სხვადასხვა პროექტებისა და ინვესტიციების მომგებიანობის შედარების საფუძველს გარკვეული პერიოდის განმავლობაში.

ამჟამინდელი ღირებულება არის მომავალი შემოსულობების ან მოგების ფულადი ღირებულება, რომელიც კორექტირებულია დისკონტირების განაკვეთებზე (კაპიტალიზაცია).

ფორმალური თვალსაზრისით, ფასდაკლების განაკვეთი - ეს არის საპროცენტო განაკვეთი, რომელიც გამოიყენება მომავალი მოგების (ფულადი ნაკადების და მოგების) შესამცირებლად არსებულ ღირებულებამდე. დისკონტის განაკვეთი გამოიხატება ერთეულის პროცენტულად ან წილად. დისკონტის განაკვეთის ზედა დონე თეორიულად შეიძლება იყოს 100%-ზე მეტი (1-ზე მეტი), ხოლო ქვედა დონე განისაზღვრება ეკონომიკური ფაქტორებით. ეკონომიკური თვალსაზრისით, დისკონტის განაკვეთი- კონკრეტულ საინვესტიციო პროექტში ინვესტიციისთვის კაპიტალის მოზიდვის ხარჯების საზომი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დისკონტის განაკვეთი არის ინვესტორების მიერ ინვესტირებულ კაპიტალზე მოსალოდნელი ანაზღაურების მაჩვენებელი, თუ არსებობს ალტერნატიული შესაძლებლობები საინვესტიციო ობიექტებში მსგავსი რისკის მქონე საინვესტიციო ობიექტებში. ამასთან დაკავშირებით, დისკონტის განაკვეთის ქვედა დონე ე.წ "უსაფრთხო" განაკვეთი.არსებითად, ეს არის საპროცენტო განაკვეთი, რომლითაც ინვესტორები გასესხებდნენ ფულს, თუ არ არსებობდა მისი დაბრუნების საშიშროება, ან რომლითაც ისინი სესხულობდნენ ფულს, თუ მათი გირაო იმდენად ძლიერი იყო, რომ კრედიტორები ჩათვლიდნენ გადაუხდელობის შანსებს უმნიშვნელოდ. .

განვითარებულ საბაზრო ეკონომიკაში „რისკებისგან თავისუფალ“ განაკვეთი არის პროცენტი აშშ-ს მთავრობის მიერ გარანტირებულ ფასიან ქაღალდებზე ან სახაზინო ობლიგაციებსა და ობლიგაციებზე მიმდინარე შემოსავალზე. ზოგიერთ მსხვილ პროექტში, რომელიც მოიცავს დაფინანსებას როგორც საშინაო, ასევე უცხოური კაპიტალიდან, „უსაფრთხო“ განაკვეთის დონე აღებულია LIBOR-ის განაკვეთით (საპროცენტო განაკვეთი, რომლითაც ბანკები სთავაზობენ ერთმანეთს დეპოზიტებს ევროპის სავალუტო ბაზარზე). უკრაინის პირობებისთვის, „უსაფრთხო“ განაკვეთის დონის დადგენის საკითხი ერთმნიშვნელოვნად არ შეიძლება განისაზღვროს. ამის ერთ-ერთი მთავარი მიზეზი არის ქვეყანაში ჩამოყალიბებული კაპიტალის ბაზრის არარსებობა.

მიმდინარე ღირებულების გამოსათვლელად, თქვენ უნდა განსაზღვროთ დისკონტის განაკვეთი, რომელიც ითვალისწინებს კონკრეტული პროექტის ან ინვესტიციის რისკს. არსებობს მარტივი წესი:

რისკინიშნავს მაღალ დისკონტის განაკვეთს (კაპიტალიზაციას), დაბალი რისკი ნიშნავს დაბალ დისკონტის განაკვეთს.

ზოგადად, ფასდაკლების განაკვეთების შესაფასებლად გამოიყენება შემდეგი: პრინციპები:

ორი მომავალი ქვითრიდან, უფრო მაღალი ფასდაკლების განაკვეთი იქნება ის, რომელიც მოგვიანებით ჩამოვა;

რაც უფრო დაბალია რისკის გარკვეული დონე, მით უფრო დაბალი უნდა იყოს დისკონტის განაკვეთი; თუ ბაზარზე საერთო საპროცენტო განაკვეთები იზრდება, ასევე იზრდება დისკონტირებული განაკვეთები; რისკი შეიძლება შემცირდეს, თუ არის ბიზნესის ზრდის პერსპექტივა, შემცირდეს სხვა...

ფულის ამჟამინდელი ღირებულების გაანგარიშება ხორციელდება დისკონტირების პროცესის გამოყენებით, რაც შედგენის საპირისპიროა.

ფასდაკლებით - ეს არის ვალის საწყისი ან მიმდინარე ოდენობის პოვნა (PV)ცნობილი საბოლოო თანხის მიხედვით (FV)%რომელიც გარკვეული დროის შემდეგ უნდა დაბრუნდეს (P).ანუ დისკონტირება არის სხვადასხვა წლების ეკონომიკური მაჩვენებლების დროთა განმავლობაში შესადარებელ ფორმამდე აყვანის პროცესი.

ისინი ამბობენ: თანხა FV არის დისკონტირებული, ხოლო სხვაობა FV - PV ეწოდება დისკონტს და აღინიშნება D.

საბაზრო პირობებში, დისკონტირების პრობლემა ძალიან ხშირად ჩნდება ორ საწარმოს, სხვადასხვა ბიზნეს სუბიექტს შორის ხელშეკრულებების პირობების შემუშავებისას და კუპიურების, აქციების, ობლიგაციების და სხვა ფასიანი ქაღალდების მიმდინარე საბაზრო ღირებულების განსაზღვრისას.

დისკონტირების პრაქტიკული გამოყენება ფულადი ნაკადების ამჟამინდელი ღირებულების დასადგენად მოითხოვს დისკონტირების მოდელის შესაბამის ფინანსურ და მათემატიკურ ფორმალიზებას - დისკონტის აბსოლუტური ღირებულების განსაზღვრას. ფულადი ნაკადების ანალიზისა და დროთა განმავლობაში მათი ღირებულების ცვლილების საჭიროებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას შემდეგი: ფასდაკლების მოდელები:ანუიტეტების მარტივი დისკონტირება (გადადებული ან წინასწარი ანუიტეტი) - დეტალურად იქნება განხილული პუნქტში 4.4.

მარტივი ფასდაკლება(ერთჯერადი ფასდაკლება)გააცნობიეროს ფინანსური და მათემატიკური მოდელი მომავალი ფულადი ნაკადების ამჟამინდელი ღირებულების გამოსათვლელად, რომლის მიღებაც მოსალოდნელია ერთხელ მკაფიოდ განსაზღვრულ პერიოდში. მარტივი დისკონტირების შედეგი არის ინდივიდუალური მომავალი ფულადი ნაკადის მიმდინარე ღირებულება (PV).

შერწყმისა და ფასდაკლების პროცესები მჭიდროდ ურთიერთდაკავშირებულიერთად. მიმდინარე მნიშვნელობის განსაზღვრა (დისკონტირება) არის შედგენის პირდაპირი საპირისპირო, ანუ ეს რაოდენობები ხასიათდება შებრუნებული ურთიერთობით:

ამრიგად, თუ ჩვენ ვიცით ფულის მომავალი ღირებულების მაჩვენებელი (RU),შემდეგ დისკონტირების გამოყენებით შეგვიძლია გამოვთვალოთ მათი მიმდინარე ღირებულება (RU).

ფასდაკლება ხორციელდება გამოყენებით ფასდაკლების ფაქტორი (დისკონტის ფაქტორი, a1).

მოდით განვსაზღვროთ ფასდაკლების განაკვეთი დ,შემდეგი კავშირის მსგავსად:

ფულის რეალური ღირებულება შეიძლება განისაზღვროს პროცენტის გაანგარიშების მარტივი ან რთული სქემის საფუძველზე.

(4.15) მიმართებით და შედგენისა და დისკონტირების ფუნქციებს შორის ურთიერთობის გათვალისწინებით, წარმოგიდგენთ ფორმულას ფულის მიმდინარე ღირებულების დასადგენად დისკონტის განაკვეთის გამოყენების შემთხვევაში. მარტივი ინტერესის სქემისთვის:

სად RU-მომავალი ფულადი ნაკადების მიმდინარე ღირებულება; RU- მომავალი ფულადი ნაკადების აბსოლუტური ღირებულება; პ- დაგეგმვის პერიოდში ინტერვალების რაოდენობა; r - დისკონტის განაკვეთი (გამოხატული ათობითი წილადის სახით); კაო -ფასდაკლების ფაქტორი მარტივი პროცენტის გამოყენებისას (გამოხატული ათობითი წილადის სახით).

მაგალითი. რა თანხა უნდა ჩადოს ინვესტორმა სადეპოზიტო ანგარიშზე, რომ მეოთხე წლის ბოლოს 25000 თამაში მიიღოს, თუ საპროცენტო განაკვეთი 16%-ია და ისინი დაითვლება მარტივი სქემით?

ინფლაციის გათვალისწინებისას, როგორც სამომავლო ღირებულების დადგენის შემთხვევაში, შედეგის კორექტირება ხდება მისი საპროგნოზო დონის (IPR) გათვალისწინებით:

სად / არის საპროგნოზო ინფლაციის მაჩვენებელი;

დისკონტირება რთული პროცენტის გამოყენებით არის საკმაოდ გავრცელებული გზა ფულის მიმდინარე ღირებულების დასადგენად, რომელიც გამოიყენება არა მხოლოდ ფინანსურ მენეჯმენტში, არამედ ინვესტიციების დიზაინში და ბიზნესის ღირებულების განსაზღვრაში.

დღევანდელი ღირებულების განსაზღვრის პრობლემა რთული პროცენტის სქემის მიხედვითამოხსნათ ფორმულით 4.19:

სადაც ---- არის ფასდაკლების ფაქტორი. ეკონომიკური ფასდაკლების ფაქტორი

არის ის, რომ მისი ღირებულება შეესაბამება ერთი ფულადი ერთეულის მიმდინარე ღირებულებას, რომელიც მიიღება n პერიოდის ბოლოს ნაერთი პროცენტით r. მისი ღირებულება დამოკიდებულია მთელი პერიოდის ხანგრძლივობასა და საჭირო დისკონტირების განაკვეთზე.

მაგალითი. ვთქვათ, ვინმეს სურს 4 წელიწადში 1000 თამაში ჰქონდეს, პრესტიჟულ უნივერსიტეტში ბავშვის სწავლისთვის გადახდის ოდენობა გამოტოვებული. თუ საშუალო სადეპოზიტო განაკვეთი 15%-ია, რამდენი უნდა შეიტანოს ბანკში?

თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ მომავალი ფულადი ნაკადების მიმდინარე ღირებულება ფინანსური ცხრილის გამოყენებით (დანართი B),რომელიც შეიცავს დისკონტის განაკვეთის აბსოლუტურ მნიშვნელობას საპროცენტო განაკვეთის დონისა და დაგეგმვის პერიოდში ინტერვალების რაოდენობის მიხედვით. დღევანდელი ღირებულების ცხრილი დაზოგავს დიდ ძალისხმევას მისი სხვადასხვა ფაქტორების გამოთვლაში. ეს ცხრილი, მაგალითად, გვიჩვენებს, რომ ღირებულება მცირდება, როდესაც იზრდება დროის პერიოდი და ასევე, როდესაც იზრდება დისკონტის განაკვეთი.

დანართი Bმოცემულია მხოლოდ ის ფაქტორების მნიშვნელობები, რომლებიც, თუ გამრავლდება მომავალ მნიშვნელობაზე, იძლევა დღევანდელ მნიშვნელობას. შესაბამისად, ფინანსური ცხრილის მონაცემების გათვალისწინებით დანართი Bდღევანდელი მნიშვნელობა გამოითვლება ფორმულით 4.20:

სად PVIF-მიმდინარე მნიშვნელობის ფაქტორი (გამრავლება), რომლის სტანდარტული მნიშვნელობები მოცემულია ცხრილის მიმდინარე მნიშვნელობის ფაქტორის მნიშვნელობებში (დანართი B).

მაგალითი. ვთქვათ, რომ გსურთ განსაზღვროთ 1000 დოლარის ამჟამინდელი ღირებულება ამიერიდან; თქვენ იმედოვნებთ 10%-იანი წლიური რისკის დონეს, რომელიც დაკავშირებულია პროექტის განხორციელებასთან.

როგორც დანართ A-დან ჩანს, ფაქტორების მნიშვნელობა იზრდება დროთა განმავლობაში და რთული პროცენტის ზრდასთან ერთად. მაშასადამე, თუ ეს ფაქტორები ჩანაცვლდება ბოლო განტოლების მნიშვნელში, $1000 ამჟამინდელი ღირებულება 3 წელიწადში იქნება:

$ 1000/(1+0,10)* = $ 751

როგორ გაჩნდა ეს ღირებულება? უბრალოდ გამრავლებით (1.10 x 1.10 x 1.10= 1.33) და ამ ფაქტორის გამოყენებით ფასდაკლებით: $1000/1.33 = $751

ბოლო მაგალითში, სადაც ამოცანა იყო 1000 აშშ დოლარის ამჟამინდელი ღირებულების დადგენა 3 წელიწადში, საკმარისი იყო წლების რაოდენობა და შესაბამისი დღევანდელი ღირებულების საპროცენტო ფაქტორი (PVIF) შევხედოთ გამოყენებული დისკონტის განაკვეთის მიხედვით. როგორც B დანართშია ნაჩვენები, ეს ფაქტორი არის 0,751. 3 წელიწადში 1000$-ის ამჟამინდელი ღირებულების მისაღებად, 10%-იანი ფასდაკლებით, გაამრავლეთ ფაქტორების მნიშვნელობები არსებული ღირებულების ჯამზე ($1000*(0751=751$). თქვენ იგივე შედეგი მიიღეთ გრძელი გამოთვლების გაკეთებით.

თუ პროცენტის დარიცხვა იგეგმება წელიწადში ერთხელ,შემდეგ გაანგარიშება ხორციელდება ფორმულის მიხედვით 4.21:

სად თ- დარიცხვების რაოდენობა წელიწადში, ერთეული.

უწყვეტად დარიცხული პროცენტისახსრების ღირებულება განისაზღვრება ფორმულით 4. 22:

ამჟამინდელი ღირებულება არის ფულის ოდენობა, რომელიც, მიმდინარე წელს მოცემული საპროცენტო განაკვეთით ჩადებული, გგაიზრდება // მომავალში საჭირო ან სასურველ დონეზე. დღევანდელი ღირებულება ერთადერთი სწორი გზაა მომავალი გადახდის ნაკადების დღევანდელ ფულში გადასაყვანად.

ცხადია, თუ თქვენ გაქვთ ორი განსხვავებული პროექტი ერთი და იგივე განხორციელების პერიოდით და ხარჯებით, მაგრამ განსხვავებული რისკფაქტორებით, მაშინ შეგიძლიათ განსაზღვროთ მათი რეალური ღირებულება და შეადაროთ რომელი უფრო მიზანშეწონილია აირჩიოთ. გარკვეულ პროექტებში ან ინვესტიციებში ინვესტიციის მიზანშეწონილობის შეფასება ეფუძნება მიმდინარე ღირებულების კონცეფციას. ეს ყველაფერი მოდის სამომავლო შემოსავლების დისკონტირებაზე, რისკისა და მომავლის გაურკვევლობის დონის მიხედვით. დღევანდელი ღირებულების მეთოდი ამის საშუალებას გაძლევთ.

მაგალითი. ვთქვათ, კომპანია იმედოვნებს, რომ მომდევნო ოთხი წლის განმავლობაში მიიღებს შემდეგ თანხებს: 1 წელი - 1000 ათასი თამაში; მე-2 წელი -1200 ათასი UAH; მე-3 წელი -1500 ათასი UAH; მე-4 წელი - 900 ათასი UAH.

მთლიანი ფულადი ნაკადების მიმდინარე ღირებულება არის ფულადი სახსრების ნაკადების ღირებულების მარტივი ჯამი ყოველი წლისთვის. თუ დისკონტის განაკვეთი არის 10%, ფულადი სახსრების მიმდინარე ღირებულება 4 წლის განმავლობაში უდრის 3642,43 ათასი UAH:

ფულადი სახსრების მიმდინარე ღირებულება 4 წლის განმავლობაში არის 3642,43 ათასი UAH.

დღევანდელი ღირებულების ცხრილი (დანართი B)აშკარად ზოგავს ფინანსისტებს დიდ დროს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ როდესაც ფასდაკლების განაკვეთი მცირდება, არსებული ღირებულების ღირებულება იზრდება, როდესაც განაკვეთები იზრდება, ღირებულება ეცემა. აქედან გამომდინარე, ნათელი უნდა იყოს, რომ მიმდინარე ღირებულების კონცეფცია მნიშვნელოვანი ფაქტორია საინვესტიციო გადაწყვეტილებებისა და ინვესტიციების მიღებისას.

NPV (აბრევიატურა ინგლისურად - Net Present Value), რუსულად ამ მაჩვენებელს აქვს სახელის რამდენიმე ვარიაცია, მათ შორის:

• წმინდა მიმდინარე ღირებულება (შემოკლებით NPV) არის ყველაზე გავრცელებული სახელი და აბრევიატურა, Excel-ში ფორმულაც კი ზუსტად ასე ჰქვია;
• წმინდა მიმდინარე ღირებულება (შემოკლებით NPV) - სახელწოდება განპირობებულია იმით, რომ ფულადი ნაკადები დისკონტირებულია და მხოლოდ ამის შემდეგ ჯამდება;
• წმინდა მიმდინარე ღირებულება (შემოკლებით NPV) - სახელწოდება გამოწვეულია იმით, რომ დისკონტირების გამო საქმიანობიდან მიღებული ყველა შემოსავალი და ზარალი, როგორც იქნა, შემცირებულია ფულის მიმდინარე ღირებულებამდე (ბოლოს და ბოლოს, ეკონომიკის თვალსაზრისით, თუ ჩვენ გამოვიმუშავებთ 1000 რუბლს და შემდეგ რეალურად მივიღებთ იმაზე ნაკლებს, ვიდრე იგივე თანხას მივიღებთ, მაგრამ ახლა).

NPV არის მოგების მაჩვენებელი, რომელსაც მიიღებენ საინვესტიციო პროექტის მონაწილეები. მათემატიკურად, ეს მაჩვენებელი გვხვდება ფულადი სახსრების წმინდა ნაკადების ფასდაკლებით (მიუხედავად იმისა, უარყოფითია თუ დადებითი).

წმინდა მიმდინარე ღირებულება შეიძლება მოიძებნოს პროექტის ნებისმიერი პერიოდის განმავლობაში მისი დაწყებიდან (5 წლის განმავლობაში, 7 წლის განმავლობაში, 10 წლის განმავლობაში და ა.შ.) გაანგარიშების საჭიროებიდან გამომდინარე.

რისთვის არის საჭირო

NPV არის პროექტის ეფექტურობის ერთ-ერთი ინდიკატორი, IRR, მარტივი და ფასდაკლებით ანაზღაურების პერიოდთან ერთად. საჭიროა, რომ:

1. გააცნობიეროს რა შემოსავალს მოიტანს პროექტი, პრინციპში ანაზღაურდება თუ წამგებიანია, როდის შეძლებს ანაზღაურებას და რა თანხას მოიტანს დროის კონკრეტულ მომენტში;
2. საინვესტიციო პროექტების შედარება (თუ არის რამდენიმე პროექტი, მაგრამ არ არის საკმარისი ფული ყველასთვის, მაშინ მიიღება პროექტები ფულის შოვნის ყველაზე დიდი შესაძლებლობით, ანუ ყველაზე მაღალი NPV).

გაანგარიშების ფორმულა

ინდიკატორის გამოსათვლელად გამოიყენება შემდეგი ფორმულა:

• CF - წმინდა ფულადი ნაკადების ოდენობა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში (თვე, კვარტალი, წელი და ა.შ.);
• t არის პერიოდი, რომლისთვისაც მიღებულია ფულადი სახსრების წმინდა ნაკადი;
• N არის იმ პერიოდების რაოდენობა, რომლებზეც გამოითვლება საინვესტიციო პროექტი;
• i არის ფასდაკლების განაკვეთი, რომელიც გათვალისწინებულია ამ პროექტში.

გაანგარიშების მაგალითი

NPV ინდიკატორის გაანგარიშების მაგალითის განსახილველად, ავიღოთ გამარტივებული პროექტი მცირე საოფისე შენობის მშენებლობისთვის. საინვესტიციო პროექტის მიხედვით, დაგეგმილია შემდეგი ფულადი ნაკადები (ათასი რუბლი):

სტატია	1 წელი	2 წელი	3 წელი	4 წელი	5 წელი
ინვესტიციები პროექტში	100 000
საოპერაციო შემოსავალი		35 000	37 000	38 000	40 000
Საოპერაციო ხარჯები		4 000	4 500	5 000	5 500
ფულადი სახსრების წმინდა ნაკადი	- 100 000	31 000	32 500	33 000	34 500

პროექტის ფასდაკლების განაკვეთი არის 10%.

ფორმულაში ჩანაცვლებით ფულადი სახსრების წმინდა ნაკადების მნიშვნელობებით თითოეული პერიოდისთვის (სადაც მიიღება უარყოფითი ფულადი ნაკადი, ჩვენ ვსვამთ მას მინუს ნიშნით) და მათი კორექტირება დისკონტის განაკვეთის გათვალისწინებით, მივიღებთ შემდეგ შედეგს:

NPV = - 100,000 / 1,1 + 31,000 / 1,1 2 + 32,500 / 1,1 3 + 33,000 / 1,1 4 + 34,500 / 1,1 5 = 3,089.70

იმის საილუსტრაციოდ, თუ როგორ გამოითვლება NPV Excel-ში, მოდით გადავხედოთ წინა მაგალითს ცხრილებში შეყვანით. გაანგარიშება შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით

1. Excel-ს აქვს NPV ფორმულა, რომელიც ითვლის წმინდა მიმდინარე ღირებულებას, ამისათვის თქვენ უნდა მიუთითოთ ფასდაკლების განაკვეთი (პროცენტის ნიშნის გარეშე) და ხაზგასმით აღვნიშნოთ ფულადი სახსრების წმინდა ნაკადის დიაპაზონი. ფორმულა ასე გამოიყურება: = NPV (პროცენტი; ფულადი სახსრების წმინდა ნაკადების დიაპაზონი).
2. თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ დამატებითი ცხრილი, სადაც შეგიძლიათ დააკლოთ ფულადი სახსრები და შეაჯამოთ იგი.

ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ჩვენ ვაჩვენეთ ორივე გამოთვლა (პირველი აჩვენებს ფორმულებს, მეორეში - გამოთვლის შედეგებს):

როგორც ხედავთ, გაანგარიშების ორივე მეთოდი იწვევს ერთსა და იმავე შედეგს, რაც ნიშნავს, რომ იმისდა მიხედვით, თუ რისი გამოყენება უფრო კომფორტულია, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი წარმოდგენილი გაანგარიშების ვარიანტი.

სადაც PV არის ფულის მიმდინარე ღირებულება,

FV - ფულის მომავალი ღირებულება,

n - დროის ინტერვალების რაოდენობა,

ი – ფასდაკლების განაკვეთი.

მაგალითი. რა თანხა უნდა ჩაირიცხოს ანგარიშზე, რომ ხუთი წლის განმავლობაში მიიღოთ 1000 რუბლი? (i=10%)

PV = 1000 / (1+0.1) ^ 5 = 620.92 რუბლი.

ამრიგად, ფულის მიმდინარე ღირებულების გამოსათვლელად, მისი ცნობილი მომავალი ღირებულება უნდა გავყოთ (1+i) n-ზე. არსებული ღირებულება საპირისპიროდ არის დაკავშირებული დისკონტის განაკვეთთან. მაგალითად, 1 წელიწადში მიღებული ფულადი ერთეულის ამჟამინდელი ღირებულება 8%-იანი საპროცენტო განაკვეთით არის

PV = 1/(1+0.08) 1 = 0.93,

და 10% პროცენტით

PV = 1/(1+0.1) 1 = 0.91.

ფულის მიმდინარე ღირებულება ასევე საპირისპიროდ არის დაკავშირებული მის მიღებამდე დროის პერიოდებთან.

ფულადი ნაკადების დისკონტირების განხილული პროცედურა შეიძლება გამოყენებულ იქნას საინვესტიციო გადაწყვეტილების მიღებისას. გადაწყვეტილების ყველაზე გავრცელებული წესი არის წმინდა მიმდინარე ღირებულების (NPV) წესი. მისი არსი იმაში მდგომარეობს, რომ საინვესტიციო პროექტში მონაწილეობა მიზანშეწონილია, თუ მისი განხორციელებიდან მომავალი ფულადი სახსრების ამჟამინდელი ღირებულება აღემატება საწყის ინვესტიციას.

მაგალითი. შესაძლებელია შემნახველი ობლიგაციების შეძენა 1000 რუბლის ნომინალური ღირებულებით. და დაფარვის ვადა 5 წელი 750 რუბლისთვის. კიდევ ერთი ალტერნატიული ინვესტიციის ვარიანტია თქვენი ფულის განთავსება საბანკო ანგარიშზე წლიური 8%-იანი საპროცენტო განაკვეთით. აუცილებელია შეფასდეს ობლიგაციების შეძენაში ინვესტიციის განხორციელების მიზანშეწონილობა.

NPV-ს საპროცენტო განაკვეთის სახით, ან უფრო ზოგადად, როგორც ანაზღაურების განაკვეთის გამოსათვლელად, აუცილებელია გამოიყენოს კაპიტალის შესაძლო ღირებულება. კაპიტალის პოტენციური ღირებულება არის უკუგების მაჩვენებელი, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნას სხვა საინვესტიციო გზებიდან. ჩვენს მაგალითში, ალტერნატიული ტიპის ინვესტიცია არის ფულის განთავსება დეპოზიტზე 8% სარგებელით.

შემნახველი ობლიგაცია უზრუნველყოფს ფულადი ქვითრებს 1000 რუბლის ოდენობით. 5 წლის შემდეგ. ამ ფულის დღევანდელი ღირებულება არის

PV = 1000/1.08^5 = 680.58 რუბლი.

ამრიგად, ობლიგაციების ამჟამინდელი ღირებულებაა 680,58 რუბლი, ხოლო ყიდვას სთავაზობენ 750 რუბლს. ინვესტიციის წმინდა მიმდინარე ღირებულება იქნება 680.58-750=-69.42 და ობლიგაციების შეძენაში ინვესტიცია არ არის მიზანშეწონილი.

NPV ინდიკატორის ეკონომიკური მნიშვნელობა არის ის, რომ იგი განსაზღვრავს პროექტის განხორციელების შედეგად ინვესტორის ფინანსური მდგომარეობის ცვლილებას. ამ მაგალითში, თუ ობლიგაცია შეძენილია, ინვესტორის სიმდიდრე შემცირდება 69,42 რუბლით.

NPV ინდიკატორი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას სესხის აღების სხვადასხვა ვარიანტების შესაფასებლად. მაგალითად, თქვენ უნდა ისესხოთ $5000. მანქანის შესაძენად. ბანკი გთავაზობთ სესხს წელიწადში 12%-ით. თქვენს მეგობარს შეუძლია ისესხოს $5,000, თუ მას მისცემ $9,000. 4 წლის შემდეგ. აუცილებელია სესხის აღების ოპტიმალური ვარიანტის განსაზღვრა. მოდით გამოვთვალოთ ამჟამინდელი ღირებულება $9000.

PV = 9000/(1+0.12)^4 = 5719.66$

ამრიგად, ამ პროექტის NPV არის 5000-5719.66= -719.66 დოლარი. ამ შემთხვევაში სესხის აღების საუკეთესო ვარიანტია ბანკის სესხი.

საინვესტიციო პროექტების ეფექტურობის გამოსათვლელად, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემოსავლის შიდა მაჩვენებელი (IRR). ანაზღაურების შიდა განაკვეთი არის დისკონტის განაკვეთის მნიშვნელობა, რომელიც ათანაბებს მომავალი შემოსავლების ამჟამინდელ ღირებულებას და ხარჯების ამჟამინდელ ღირებულებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, IRR უდრის საპროცენტო განაკვეთს, რომლის დროსაც NPV = 0.

ობლიგაციების შეძენის ზემოთ მოცემულ მაგალითში, IRR გამოითვლება შემდეგი განტოლებიდან

750 = 1000/(1+IRR)^5

IRR = 5.92%. ამრიგად, ობლიგაციების სარგებელი ვადის გასვლისას შეადგენს 5,92%-ს წელიწადში, რაც საგრძნობლად ნაკლებია საბანკო დეპოზიტის სარგებელზე.

როგორც უკვე გავარკვიეთ, დღევანდელი ფული უფრო ძვირია, ვიდრე მომავალი ფული. თუ შემოგვთავაზებენ ნულოვანი კუპონის ობლიგაციების შეძენას და ერთი წლის შემდეგ დაგვპირდებიან, რომ გამოისყიდიან ამ ფასიან ქაღალდს და გადაიხდიან 1000 მანეთს, მაშინ უნდა გამოვთვალოთ ამ ობლიგაციის ფასი, რომლითაც შევთანხმდებით მის ყიდვაზე. სინამდვილეში, ჩვენთვის ამოცანა მოდის 1000 რუბლის მიმდინარე ღირებულების დადგენაზე, რომელსაც ჩვენ მივიღებთ წელიწადში.

აწმყო ღირებულება მომავალი ღირებულების მეორე მხარეა.

დღევანდელი ღირებულება არის მომავალი ფულადი ნაკადების დისკონტირებული ღირებულება. ის შეიძლება გამოვიდეს მომავალი მნიშვნელობის განსაზღვრის ფორმულიდან:

სადაც RU არის მიმდინარე მნიშვნელობა; V- მომავალი გადახდები; G - დისკონტის განაკვეთი; ფასდაკლების კოეფიციენტი; P - წლების რაოდენობა.

ზემოთ მოცემულ მაგალითში ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ობლიგაციების ფასი ამ ფორმულის გამოყენებით. ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ფასდაკლების განაკვეთი. დისკონტის განაკვეთი აღებულია, როგორც სარგებელი, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნეს ფინანსურ ბაზარზე მსგავსი რისკის მქონე ნებისმიერ ფინანსურ ინსტრუმენტში ფულის ინვესტიციით (საბანკო დეპოზიტი, ანგარიშსწორება და ა.შ.). თუ გვაქვს შესაძლებლობა განვათავსოთ სახსრები ბანკში, რომელიც იხდის წელიწადში 15%-ს, მაშინ ჩვენთვის შეთავაზებული ობლიგაციების ფასი

ამრიგად, ამ ობლიგაციების შეძენის შემდეგ 869 რუბლი. და როდესაც მივიღეთ 1000 რუბლი წელიწადში, როდესაც ის დაფარულია, ჩვენ გამოვიმუშავებთ 15%.

განვიხილოთ მაგალითი, როდესაც ინვესტორმა უნდა გამოთვალოს საწყისი დეპოზიტის თანხა. თუ ოთხი წლის შემდეგ ინვესტორს სურს მიიღოს ბანკიდან 15000 რუბლი თანხა. თუ საბაზრო საპროცენტო განაკვეთი არის 12% წელიწადში, რა თანხა უნდა ჩადოს მან საბანკო ანაბარში? Ისე,

მიმდინარე ღირებულების გამოსათვლელად მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ფასდაკლების ცხრილები, რომლებიც აჩვენებენ ფულადი ერთეულის მიმდინარე ღირებულებას, რომელიც მოსალოდნელია რამდენიმე წელიწადში. ფასდაკლების ფაქტორების ცხრილი, რომელიც აჩვენებს ფულადი ერთეულის ამჟამინდელ ღირებულებას, წარმოდგენილია დანართ 2-ში. ამ ცხრილის ფრაგმენტი მოცემულია ქვემოთ (ცხრილი 4.4).

ცხრილი 4.4. ფულადი ერთეულის ამჟამინდელი ღირებულება, რომელიც მიიღება შემდეგ და წლების შემდეგ

	წლიური საპროცენტო განაკვეთი

მაგალითად, გსურთ განსაზღვროთ 500 აშშ დოლარის ამჟამინდელი ღირებულება, რომელიც მოსალოდნელია მიღებულ შვიდ წელიწადში 6%-იანი ფასდაკლებით. მაგიდაზე 4.4 მწკრივის (7 წელი) და სვეტის (6%) გადაკვეთაზე ვხვდებით ფასდაკლების კოეფიციენტს 0.665. ამ შემთხვევაში, 500$-ის ამჟამინდელი ღირებულება უდრის 500 0,6651 = 332,5$-ს.

თუ პროცენტის გადახდა ხდება უფრო ხშირად, ვიდრე წელიწადში ერთხელ, მაშინ მიმდინარე ღირებულების გამოთვლის ფორმულა იცვლება ისევე, როგორც ჩვენ გავაკეთეთ მომავალი ღირებულების გამოთვლებით. როდესაც პროცენტი წელიწადში რამდენჯერმე დარიცხულია, მიმდინარე ღირებულების განსაზღვრის ფორმულას აქვს ფორმა

ოთხწლიანი დეპოზიტის განხილულ მაგალითში, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ დეპოზიტზე პროცენტი ერიცხება კვარტალურად. ამ შემთხვევაში, ოთხი წლის განმავლობაში 15000 დოლარის მისაღებად ინვესტორმა თანხა უნდა შეიტანოს

ამრიგად, რაც უფრო ხშირად ერიცხება პროცენტი, მით უფრო დაბალია მიმდინარე მნიშვნელობა მოცემული საბოლოო შედეგისთვის, ე.ი. შეერთების სიხშირესა და აწმყო ღირებულებას შორის ურთიერთობა საპირისპიროა მომავალი მნიშვნელობისთვის.

პრაქტიკაში, ფინანსური მენეჯერები მუდმივად აწყდებიან ვარიანტების არჩევის პრობლემას, როდესაც საჭიროა სხვადასხვა დროს ფულადი სახსრების ნაკადების შედარება.

მაგალითად, ახალი ობიექტის მშენებლობის დაფინანსების ორი ვარიანტი არსებობს. მშენებლობის მთლიანი პერიოდი ოთხი წელია, მშენებლობის სავარაუდო ღირებულება 10 მილიონი რუბლია. კონტრაქტისთვის კონკურსში მონაწილეობს ორი ორგანიზაცია, რომლებიც გვთავაზობენ სამუშაოს ანაზღაურების შემდეგ პირობებს წლის მიხედვით (ცხრილი 4.5).

ცხრილი 4.5. მშენებლობის სავარაუდო ღირებულება, მილიონი რუბლი.

	ორგანიზაცია ა	ორგანიზაცია IN

მშენებლობის სავარაუდო ღირებულება იგივეა. თუმცა, მათი განხორციელების დროს ხარჯები არათანაბრად ნაწილდება. ორგანიზაცია ა ხარჯების ძირითადი ოდენობა (40%) გაწეულია მშენებლობის ბოლოს და ორგანიზაცია IN - საწყის პერიოდში. რა თქმა უნდა, მომხმარებლისთვის უფრო მომგებიანია გადახდის ხარჯების მიკუთვნება პერიოდის ბოლოს, ვინაიდან თანხები დროთა განმავლობაში ცვდება.

იმისათვის, რომ შევადაროთ ფულადი ნაკადები სხვადასხვა დროს, აუცილებელია ვიპოვოთ მათი ღირებულება შემცირებული დროის მიმდინარე მომენტამდე და შევაჯამოთ მიღებული მნიშვნელობები.

გადახდების ნაკადის ამჟამინდელი ღირებულება (RU) გამოითვლება ფორმულით

სად არის ფულადი ნაკადები წელიწადში; ტ - წლის სერიული ნომერი; G - ფასდაკლების განაკვეთი.

თუ განხილულ მაგალითში r = 15%, მაშინ ორი ვარიანტისთვის არსებული მნიშვნელობების გამოთვლის შედეგები ასე გამოიყურება (ცხრილი 4.6).

ცხრილი 4.6.

არსებული ღირებულების კრიტერიუმიდან გამომდინარე, ორგანიზაციის მიერ შემოთავაზებული დაფინანსების ვარიანტი A, ორგანიზაციის შეთავაზებაზე იაფი აღმოჩნდა IN. ამ პირობებში, კლიენტი, რა თქმა უნდა, ამჯობინებს კონტრაქტის გადაცემას ორგანიზაციას ა (სხვა რამ თანაბარია).

წმინდა მიმდინარე ღირებულება არის ყველა პროგნოზირებული ფულადი ნაკადის მიმდინარე ღირებულებების ჯამი, დისკონტის განაკვეთის გათვალისწინებით.

წმინდა მიმდინარე ღირებულების (NPV) მეთოდი შემდეგია.
1. ხარჯების მიმდინარე ღირებულება (Io) განისაზღვრება, ე.ი. გადაწყვეტილია საკითხი, თუ რამდენი ინვესტიცია უნდა იყოს რეზერვირებული პროექტისთვის.
2. გამოითვლება პროექტიდან მომავალი ფულადი შემოსავლების მიმდინარე ღირებულება, რისთვისაც შემოსავალი ყოველი წლის CF (ფულადი ნაკადები) მცირდება მიმდინარე თარიღამდე.

გაანგარიშების შედეგები აჩვენებს, რა თანხის ინვესტიცია დასჭირდება ახლა დაგეგმილი შემოსავლის მისაღებად, თუ შემოსავლის განაკვეთი იქნება ბარიერული განაკვეთის ტოლი (ინვესტორისთვის, საპროცენტო განაკვეთი ბანკში, ურთიერთდახმარების ფონდში და ა.შ. საწარმო, მთლიანი კაპიტალის ფასი ან რისკების მეშვეობით). ყველა წლის შემოსავლის მიმდინარე ღირებულების შეჯამებით, ვიღებთ პროექტის შემოსავლის მთლიან მიმდინარე ღირებულებას (PV):

3. საინვესტიციო ხარჯების ამჟამინდელი ღირებულება (Io) შედარებულია შემოსავლის მიმდინარე ღირებულებასთან (PV). მათ შორის განსხვავება არის შემოსავლის წმინდა მიმდინარე ღირებულება (NPV):

NPV აჩვენებს ინვესტორის წმინდა მოგებას ან წმინდა ზარალს პროექტში ფულის ინვესტიციიდან ბანკში ფულის შენახვასთან შედარებით. თუ NPV > 0, მაშინ შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ინვესტიცია გაზრდის საწარმოს სიმდიდრეს და ინვესტიცია უნდა განხორციელდეს. NPV-ზე

წმინდა მიმდინარე ღირებულება (NPV) არის ერთ-ერთი მთავარი ინდიკატორი, რომელიც გამოიყენება ინვესტიციების ანალიზში, მაგრამ მას აქვს რამდენიმე უარყოფითი მხარე და არ შეიძლება იყოს ინვესტიციის შეფასების ერთადერთი საშუალება. NPV ზომავს ინვესტიციის ანაზღაურების აბსოლუტურ მნიშვნელობას და სავარაუდოა, რომ რაც უფრო დიდია ინვესტიცია, მით მეტია წმინდა მიმდინარე ღირებულება. აქედან გამომდინარე, შეუძლებელია ამ ინდიკატორის გამოყენებით სხვადასხვა ზომის მრავალჯერადი ინვესტიციის შედარება. გარდა ამისა, NPV არ განსაზღვრავს იმ პერიოდს, რომლის განმავლობაშიც ინვესტიცია ანაზღაურდება.

თუ პროექტის მომავალ განხორციელებასთან დაკავშირებული კაპიტალური ინვესტიციები განხორციელდება რამდენიმე ეტაპად (ინტერვალებით), მაშინ NPV მაჩვენებელი გამოითვლება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

, სად

CFt - ფულადი სახსრების შემოდინება t პერიოდში;

r - ბარიერული განაკვეთი (დისკონტის განაკვეთი);
n არის პერიოდების საერთო რაოდენობა (ინტერვალები, ნაბიჯები) t = 1, 2, ..., n (ან ინვესტიციის ხანგრძლივობა).

როგორც წესი, CFt-სთვის t მნიშვნელობა მერყეობს 1-დან n-მდე; იმ შემთხვევაში, როდესაც CFO > 0 ითვლება ძვირადღირებულ ინვესტიციად (მაგალითად: გარემოსდაცვითი პროგრამისთვის გამოყოფილი თანხები).

Განსაზღვრული:როგორც ყველა პროგნოზირებულის მიმდინარე მნიშვნელობების ჯამი, ბარიერული განაკვეთის (დისკონტის განაკვეთის), ფულადი ნაკადების გათვალისწინებით.

ახასიათებს:ინვესტიციის ეფექტურობა აბსოლუტურ სიდიდეებში, მიმდინარე ღირებულებაში.

სინონიმები:წმინდა დღევანდელი ეფექტი, წმინდა მიმდინარე ღირებულება, წმინდა მიმდინარე ღირებულება.

აკრონიმი: NPV

ხარვეზები:არ ითვალისწინებს ინვესტიციის ზომას, არ არის გათვალისწინებული რეინვესტირების დონე.

დასაშვებობის კრიტერიუმები: NPV >= 0 (რაც მეტი მით უკეთესი)

შედარების პირობები:ორი ინვესტიციის სწორად შესადარებლად, მათ უნდა ჰქონდეთ იგივე საინვესტიციო ხარჯები.

მაგალითი No1. წმინდა მიმდინარე ღირებულების გაანგარიშება.
ინვესტიციის მოცულობა 115000 დოლარია.
საინვესტიციო შემოსავალი პირველ წელს: $32,000;
მეორე წელს: $41000;
მესამე წელს: $43,750;
მეოთხე წელს: $38,250.
ბარიერის ზომა არის 9.2%

მოდით გამოვთვალოთ ფულადი ნაკადები მიმდინარე ღირებულებების სახით:
PV 1 = 32000 / (1 + 0.092) = 29304.03 $
PV 2 = 41000 / (1 + 0.092) 2 = 34382.59 $
PV 3 = 43750 / (1 + 0.092) 3 = 33597.75 $
PV 4 = 38250 / (1 + 0.092) 4 = 26899.29 $

NPV = (29304.03 + 34382.59 + 33597.75 + 26899.29) - 115000 = 9183.66 დოლარი

პასუხი: წმინდა მიმდინარე ღირებულება არის $9,183.66.

NPV (წმინდა მიმდინარე ღირებულება) ინდიკატორის გამოთვლის ფორმულა ცვლადი ბარიერის სიჩქარის გათვალისწინებით:

NPV - წმინდა მიმდინარე ღირებულება;
CFt - სახსრების შემოდინება (ან გადინება) t პერიოდში;
ეს არის ინვესტიციების (დანახარჯების) ოდენობა t-ე პერიოდში;
ri - ბარიერული განაკვეთი (დისკონტის განაკვეთი), ერთეულის წილადები (პრაქტიკულ გამოთვლებში, ნაცვლად (1+r) t, (1+r 0)*(1+r 1)*...*(1+r t) გამოიყენება, რადგან ბარიერული მაჩვენებელი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ინფლაციისა და სხვა კომპონენტების გამო);

N არის პერიოდების მთლიანი რაოდენობა (ინტერვალები, ნაბიჯები) t = 1, 2, ..., n (ჩვეულებრივ, ნულოვანი პერიოდი გულისხმობს ინვესტიციის განსახორციელებლად გაწეულ ხარჯებს და პერიოდების რაოდენობა არ იზრდება).

მაგალითი No2. NPV ცვლადი ბარიერის სიჩქარით.
ინვესტიციის ზომა - $12800.

მეორე წელს: $5185;
მესამე წელს: $6270.

მეორე წელს 10,7%;
მესამე წელს 9,5%.
განსაზღვრეთ საინვესტიციო პროექტის წმინდა მიმდინარე ღირებულება.

n =3.
მოდით გამოვთვალოთ ფულადი ნაკადები მიმდინარე ღირებულებების სახით:
PV 1 = 7360 / (1 + 0,114) = 6066,82 $
PV 2 = 5185 / (1 + 0,114) / (1 + 0,107) = 4204,52 $
PV 3 = 6270 / (1 + 0,114) / (1 + 0,107) / (1 + 0,095) = 4643,23 $

NPV = (6066.82 + 4204.52 + 4643.23) - 12800 = 2654.57 დოლარი

პასუხი: წმინდა მიმდინარე ღირებულება არის $2,654.57.

წესი, რომლის მიხედვითაც, ერთი და იგივე ხარჯების მქონე ორი პროექტიდან, დიდი NPV-ის მქონე პროექტი შეირჩევა ყოველთვის არ მოქმედებს. პროექტი, რომელსაც აქვს დაბალი NPV, მაგრამ მოკლე ანაზღაურებადი პერიოდი, შეიძლება იყოს უფრო მომგებიანი, ვიდრე პროექტი მაღალი NPV.

მაგალითი No3. ორი პროექტის შედარება.
ორივე პროექტის ინვესტიციის ღირებულება 100 რუბლია.
პირველი პროექტი 1 წლის ბოლოს 130 რუბლს უდრის მოგებას, ხოლო მეორე 140 რუბლს 5 წლის შემდეგ.
გამოთვლების სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ბარიერის განაკვეთები ნულის ტოლია.
NPV 1 = 130 - 100 = 30 რუბლი.
NPV 2 = 140 - 100 = 40 რუბლი.

მაგრამ ამავდროულად, IRR მოდელის გამოყენებით გამოთვლილი წლიური მომგებიანობა იქნება 30% პირველი პროექტისთვის, ხოლო 6,970% მეორესთვის. ნათელია, რომ პირველი საინვესტიციო პროექტი მიიღება, მიუხედავად დაბალი NPV.

ფულადი ნაკადების წმინდა მიმდინარე ღირებულების უფრო ზუსტად დასადგენად გამოიყენება შეცვლილი წმინდა მიმდინარე ღირებულების (MNPV) მაჩვენებელი.

მაგალითი No4. Მგრძნობელობის ანალიზი.
ინვესტიციის მოცულობა 12800 დოლარია.
პირველი წლის საინვესტიციო შემოსავალი: $7,360;
მეორე წელს: $5185;
მესამე წელს: $6270.
ბარიერის ზომა პირველ წელს 11.4%;
მეორე წელს 10,7%;
მესამე წელს 9,5%.
გამოთვალეთ, როგორ იმოქმედებს წმინდა მიმდინარე ღირებულებაზე საინვესტიციო შემოსავლის 30%-იანი ზრდა?

წმინდა მიმდინარე ღირებულების საწყისი ღირებულება გამოითვლება მაგალითში No2 და უდრის NPV ex = 2654.57.

მოდით გამოვთვალოთ ფულადი ნაკადები მიმდინარე ღირებულებების სახით, მგრძნობელობის ანალიზის მონაცემების გათვალისწინებით:
PV 1 ah = (1 + 0.3) * 7360 / (1 + 0.114) = 1.3 * 6066.82 = 7886.866 $
PV 2 ah = (1 + 0,3) * 5185 / (1 + 0,114)/(1 + 0,107) = 1,3 * 4204,52 = 5465,876 $
PV 3 ah = (1 + 0,3) * 6270 / (1 + 0,114)/(1 + 0,107)/(1 + 0,095) = 1,3 * 4643,23 = 6036,199 $

მოდით განვსაზღვროთ ცვლილება წმინდა მიმდინარე ღირებულების: (NPV ach - NPV out) / NPV out * 100% =
= (6036,199 - 2654,57) / 2654,57 * 100% = 127,39%.
უპასუხე. საინვესტიციო შემოსავლის 30%-ით ზრდამ განაპირობა წმინდა მიმდინარე ღირებულების 127.39%-იანი ზრდა.

Შენიშვნა.ფულადი ნაკადების დისკონტირება დროში ცვალებადი ბარიერული განაკვეთით (დისკონტის განაკვეთი) შეესაბამება „მეთოდური მითითებები No. VK 477...“ პუნქტი 6.11 (გვ. 140).

Წმინდა მიმდინარე ღირებულება

Copyright © 2003-2011 Altair Software Company-ის მიერ. პოტენციური პროგრამები და პროექტები.