მათემატიკური ეკონომიკა. კოლემაევი V.A. შესავალი მათემატიკური ეკონომიკაში

09.10.2021

ეკონომიკური ურთიერთობები მოიცავს ადამიანის ცხოვრების ყველა სფეროს. მათი ნიმუშების შესწავლა ანტიკურ ფილოსოფოსთა გონებას იკავებდა. თანდათანობითი განვითარება სოფლის მეურნეობა, კერძო საკუთრების გაჩენამ ხელი შეუწყო ეკონომიკური ურთიერთობების გართულებას და პირველი ეკონომიკური სისტემების აგებას. Სამეცნიერო - ტექნიკური პროგრესი, რომელმაც განსაზღვრა ხელით შრომიდან მანქანურ შრომაზე გადასვლა, ძლიერი ბიძგი მისცა წარმოების კონსოლიდაციას და, შესაბამისად, ეკონომიკური კავშირებისა და სტრუქტურების გაფართოებას. თანამედროვე სამყაროში ეკონომიკა სულ უფრო მეტად განიხილება სხვა დაკავშირებულ სოციალურ მეცნიერებებთან ერთად. კერძოდ, ორი მიმართულების შეერთების ადგილზე არის სხვადასხვა გადაწყვეტილებები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრაქტიკაში.

ეკონომიკის მიმართ ფუნდამენტური ტენდენცია ჩამოყალიბდა მხოლოდ მეცხრამეტე საუკუნის შუა ხანებში, თუმცა მრავალ ქვეყანაში მეცნიერებმა საუკუნეების განმავლობაში შექმნეს სპეციალური სკოლები, რომლებიც სწავლობდნენ ხალხის ეკონომიკური ცხოვრების ნიმუშებს. მხოლოდ ამ დროს, გარდა ხარისხობრივი შეფასებისა, თუ რა ხდებოდა, მეცნიერებმა დაიწყეს ეკონომიკაში რეალური მოვლენების გამოკვლევა და შედარება. კლასიკური ეკონომიკის განვითარებამ ხელი შეუწყო გამოყენებითი დისციპლინების ჩამოყალიბებას, რომლებიც სწავლობენ ეკონომიკური სისტემების ვიწრო სფეროებს.

ეკონომიკური თეორიის შესწავლის მთავარი საგანია ორგანიზაციის სხვადასხვა დონის ეკონომიკისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტილებების ძიება შეზღუდული რესურსების პირობებში მზარდი მოთხოვნის დაკმაყოფილების თვალსაზრისით. ეკონომისტები თავიანთ კვლევაში იყენებენ სხვადასხვა მეთოდს. მათ შორის ყველაზე ხშირად გამოიყენება შემდეგი:

მეთოდები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ შეაფასოთ ზოგადი ელემენტები, ან განაზოგადოთ ცალკეული სტრუქტურები. მათ უწოდებენ ანალიზისა და სინთეზის მეთოდებს.
ინდუქცია და დედუქცია შესაძლებელს ხდის განიხილოს პროცესების დინამიკა კონკრეტულიდან ზოგადამდე და პირიქით.
სისტემატური მიდგომა ხელს უწყობს ეკონომიკის ცალკეული ელემენტის, როგორც სტრუქტურის დანახვას და მის გაანალიზებას.
პრაქტიკაში ფართოდ გამოიყენება აბსტრაქციის მეთოდი. ეს საშუალებას გაძლევთ განასხვავოთ შესწავლილი ობიექტი ან ფენომენი მისი ურთიერთობებისა და გარე ფაქტორებისგან.
როგორც სხვა მეცნიერებებში, მათემატიკის ენა ხშირად გამოიყენება ეკონომიკაში, რაც ხელს უწყობს ეკონომიკის შესწავლილი ელემენტების ვიზუალურად ჩვენებას, ასევე ტენდენციების საჭირო პროგნოზის გაანალიზებას ან ფორმირებას.

მათემატიკური ეკონომიკის არსი

თანამედროვე ეკონომიკა გამოირჩევა მის მიერ შესწავლილი სისტემების სირთულით. როგორც წესი, ერთი ეკონომიკური აგენტი ბევრ ურთიერთობაში შედის ერთდროულად და ყოველდღიურად. თუ ვსაუბრობთ საწარმოზე, მაშინ მისი შიდა და გარე ურთიერთქმედებების რაოდენობა ათასობითჯერ იზრდება. ეკონომისტებისა და მეცნიერების წინაშე არსებული კვლევითი და ანალიტიკური ამოცანების გასაადვილებლად გამოიყენება მათემატიკის ენა. მათემატიკური ხელსაწყოების შემუშავება შესაძლებელს ხდის ამოცანების გადაჭრას, რომლებიც სცილდება ეკონომიკურ თეორიაში გამოყენებული სხვა მეთოდების ძალას.

მათემატიკური ეკონომიკა არის ეკონომიკური თეორიის გამოყენებითი სფერო. მისი მთავარი არსი ეკონომიკური სისტემების აღწერის, შესწავლისა და ანალიზის მათემატიკური მეთოდების, საშუალებებისა და ინსტრუმენტების გამოყენებაშია. თუმცა, ამ დისციპლინას აქვს თავისი სპეციფიკა. ის არ სწავლობს ეკონომიკური მოვლენებიროგორც ასეთი, მაგრამ ეხება მათემატიკურ მოდელებთან დაკავშირებულ გამოთვლებს.

შენიშვნა 1

მათემატიკური ეკონომიკის მიზანს, ისევე როგორც უმეტეს მიმართულებებს, შეიძლება ეწოდოს ობიექტური ინფორმაციის ფორმირება და პრაქტიკული პრობლემების გადაწყვეტილებების ძიება. იგი სწავლობს, პირველ რიგში, რაოდენობრივ, ხარისხობრივ მაჩვენებლებს, ასევე ეკონომიკური აგენტების ქცევას დინამიკაში.

მათემატიკური ეკონომიკის წინაშე მდგარი გამოწვევები შემდეგია:

პროცესებისა და ფენომენების აღწერის მათემატიკური მოდელების აგება ეკონომიკური სისტემები.
ეკონომიკური ურთიერთობების სხვადასხვა სუბიექტის ქცევის შესწავლა.
გეგმების, პროგნოზების, დინამიკაში სხვადასხვა სახის ღონისძიებების მშენებლობასა და შეფასებაში დახმარების განხორციელება.
მათემატიკური და სტატისტიკური მნიშვნელობების ანალიზის ჩატარება.

გამოყენებითი მათემატიკა ეკონომიკაში

მათემატიკური ეკონომიკა თავისი სოციალური მნიშვნელობით საკმაოდ ახლოსაა მათემატიკასთან. თუ ამ დისციპლინას განვიხილავთ მათემატიკური მეცნიერების მხრიდან, მაშინ მისთვის ეს არის გამოყენებითი მიმართულება. გამოყენებითი მათემატიკა შესაძლებელს ხდის განიხილოს და გაანალიზოს ყველაზე რთული ეკონომიკური სისტემების ცალკეული ელემენტები, რადგან მას აქვს ფართო ფუნქციონირება, რომელიც დაფუძნებულია ფუნდამენტურ მათემატიკურ ცოდნაზე. მათემატიკის ასეთმა შესაძლებლობებმა ხელი შეუწყო მათემატიკური ეკოლოგიის, სოციოლოგიის, ლინგვისტიკის და ფინანსური მათემატიკის გაჩენას.

განვიხილოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური მეთოდები, რომლებიც გამოიყენება ეკონომიკური სისტემების შესწავლისას:

ოპერატიული კვლევა ეხება სისტემებში პროცესებისა და ფენომენების შესწავლას. ეს მოიცავს ანალიტიკურ მუშაობას და მიღებული შედეგების პრაქტიკაში გამოყენების ოპტიმიზაციას.
მათემატიკური მოდელირება მოიცავს მეთოდთა და ინსტრუმენტთა ფართო სპექტრს, რაც შესაძლებელს ხდის მეცნიერებისა და ეკონომისტების წინაშე არსებული პრობლემების გადაჭრას. ყველაზე ხშირად გამოიყენება თამაშების თეორია, სერვისის თეორია, დაგეგმვის თეორია და ინვენტარის თეორია.
ოპტიმიზაცია მათემატიკაში ეხება ექსტრემალური მნიშვნელობების ძიებას, როგორც მაქსიმუმს, ასევე მინიმუმს. ამ მიზნებისათვის ჩვეულებრივ გამოიყენება ფუნქციის გრაფიკები.

ზემოთ ჩამოთვლილი მათემატიკის მეთოდები შესაძლებელს ხდის ეკონომიკაში არსებული სტატისტიკური სიტუაციების, ან პროცესების მოკლევადიან პერიოდებში შესწავლას. მოგეხსენებათ, ამჟამად ეკონომიკური სუბიექტების მთავარი მიზანი გრძელვადიანი წონასწორობის პოვნაა. ამ კვლევებში მნიშვნელოვანია დროის ფაქტორი, რომლის გათვალისწინება შესაძლებელია გამოთვლებისთვის ალბათობის თეორიის, ოპტიმალური ამოხსნის თეორიის გამოყენებით.

შენიშვნა 2

ამრიგად, მათემატიკა და ეკონომიკა მჭიდრო კავშირშია ერთმანეთთან. ჩვეულებრივია ეკონომიკური სტრუქტურების დინამიკის ჩაცმა მათემატიკური მოდელებით, რომლებიც შემდეგ შეიძლება დაიყოს ცალკეულ ქვეამოცნებებად და გამოიყენოს ყველა შესაძლო მეთოდი. ეკონომიკური ანალიზი, ასევე მათემატიკური გამოთვლები. ეკონომიკურ სფეროში გადაწყვეტილების მიღება საკმაოდ რთული ქმედებაა, რადგან ის დაკავშირებულია არსებული ინფორმაციის არასრულყოფილებასა და არასრულყოფილებასთან. მათემატიკური მოდელირების გამოყენება შესაძლებელს ხდის მენეჯერული გადაწყვეტილებების რისკის შემცირებას.

მათემატიკური ეკონომიკა არის თეორიული და გამოყენებითი მეცნიერება, რომლის საგანია ეკონომიკური ობიექტების მათემატიკური მოდელები და პროცესები და მათი შესწავლის მეთოდები.

მათემატიკური მეცნიერებების გაჩენა უდავოდ დაკავშირებული იყო ეკონომიკის საჭიროებებთან. საჭირო იყო, მაგალითად, გაერკვია, რამდენი მიწა უნდა დათესილიყო მარცვლეულით, რათა გამოეკვება ოჯახი, როგორ გაეზომა ნათესი ველი და შეაფასო მომავალი მოსავალი.

წარმოების განვითარებასთან და მის გართულებასთან ერთად გაიზარდა ეკონომიკის მოთხოვნილებები მათემატიკურ გამოთვლებშიც. თანამედროვე წარმოება არის მრავალი საწარმოს მკაცრად დაბალანსებული ნამუშევარი, რომელიც უზრუნველყოფილია მათემატიკური ამოცანების უზარმაზარი რაოდენობის გადაწყვეტით. ამ სამუშაოს უჭირავს ეკონომისტების, დამგეგმარების და ბუღალტერების უზარმაზარი არმია და გამოთვლებს ახორციელებს ათასობით ელექტრონული კომპიუტერი. ასეთ ამოცანებს შორისაა საწარმოო გეგმების გაანგარიშება და სამშენებლო უბნების ყველაზე ხელსაყრელი ადგილმდებარეობის განსაზღვრა და ყველაზე ეკონომიური სატრანსპორტო მარშრუტების არჩევა და ა.შ. მათემატიკური ეკონომიკა ასევე ეწევა უკვე ცნობილი ეკონომიკური ფენომენების ფორმალიზებულ მათემატიკური აღწერას, ამოწმებს სხვადასხვა ჰიპოთეზებს ეკონომიკურ სისტემებზე, რომლებიც აღწერილია გარკვეული მათემატიკური ურთიერთობებით.

განვიხილოთ ორი მარტივი მაგალითი, რომლებიც ასახავს მათემატიკური მოდელების გამოყენებას ამ მიზნით.

დაე, საქონლის მოთხოვნა და მიწოდება დამოკიდებული იყოს ფასზე. წონასწორობისთვის, საბაზრო ფასი უნდა იყოს ისეთი, რომ პროდუქტი გაიყიდოს და არ იყოს ჭარბი:

. (1)

მაგრამ თუ, მაგალითად, წინადადება დაგვიანებულია ერთი დროის ინტერვალით, მაშინ, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 1 (სადაც მოთხოვნისა და მიწოდების მრუდები ნაჩვენებია როგორც ფასის ფუნქციები), ფასზე მოთხოვნა აღემატება მიწოდებას. და რადგან მიწოდება მოთხოვნაზე ნაკლებია, ფასი იზრდება და საქონელი ყიდულობს ფასში. ამ ფასში მიწოდება იზრდება; ახლა მიწოდება მოთხოვნაზე მეტია და მწარმოებლები იძულებულნი არიან გაყიდონ საქონელი ფასში, რის შემდეგაც მიწოდება ეცემა და პროცესი მეორდება. შედეგი არის მარტივი ბიზნეს ციკლის მოდელი. ნელ-ნელა ბაზარი ბალანსდება: მოთხოვნა, ფასი და მიწოდება დგინდება დონეზე.

ბრინჯი. 1 შეესაბამება (1) განტოლების ამოხსნას თანმიმდევრული მიახლოებების მეთოდით, რომელიც განსაზღვრავს ამ განტოლების ფესვს, ე.ი. წონასწორული ფასი და მიწოდებისა და მოთხოვნის შესაბამისი ღირებულება.

განვიხილოთ უფრო რთული მაგალითი – დაგროვების „ოქროს წესი“. საწარმოს საბოლოო პროდუქტების გამომუშავების ღირებულება (რუბლით) დროის მომენტში განისაზღვრება შრომის ხარჯებით, რომლის პროდუქტიულობა დამოკიდებულია მისი აღჭურვილობის გაჯერების ხარისხის თანაფარდობაზე შრომის ხარჯებთან. ამის მათემატიკური აღნიშვნაა:

. (2)

საბოლოო პროდუქტი ნაწილდება აღჭურვილობის მოხმარებაზე და დაგროვებაზე. თუ ჩვენ აღვნიშნავთ გამომუშავების წილს, რომელიც მიდის დაგროვებამდე , მაშინ

ეკონომიკაში მას დაგროვების სიჩქარეს უწოდებენ. მისი ღირებულება ნულსა და ერთს შორისაა.

დროის ერთეულისთვის, აღჭურვილობის მოცულობა იცვლება დაგროვების რაოდენობით

. (4)

ეკონომიკის დაბალანსებული ზრდის პირობებში, მისი ყველა კომპონენტი იზრდება ერთი და იგივე ზრდის ტემპით. რთული პროცენტის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

, , , .

თუ შემოვიყვანთ მნიშვნელობებს, რომლებიც ახასიათებს მოხმარებას, აღჭურვილობის მოცულობას და გამომუშავებას თითო მუშაკზე, მაშინ სისტემაში შევა ურთიერთობების სისტემა (2) - (4).

, , . (5)

ამ კოეფიციენტებიდან მეორე, ზრდის ტემპებისა და მოხმარების გათვალისწინებით, განსაზღვრავს კაპიტალი-შრომის თანაფარდობას, როგორც მრუდისა და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილს ნახ. 2. ეს ხაზები აუცილებლად იკვეთება, ვინაიდან ფუნქცია, თუმცა მონოტონურად, იზრდება, რაც ნიშნავს გამომუშავების ზრდას სამუშაო ძალის მატებასთან ერთად, მაგრამ უფრო ნაზად, ე.ი. ეს არის ჩაზნექილი ფუნქცია. ეს უკანასკნელი გარემოება ასახავს იმ ფაქტს, რომ ერთ მუშაკზე აღჭურვილობის დამატებითი ზრდა, მისი დატვირთვის გაზრდის გამო, სულ უფრო და უფრო ნაკლებად ეფექტური ხდება („სასარგებლო სარგებლობის შემცირების კანონი“). მრუდების ოჯახი შეესაბამება დაგროვების სიჩქარის სხვადასხვა მნიშვნელობებს. სეგმენტის სიგრძე, როგორც (5) ფორმულიდან ჩანს, უდრის მოხმარებას. პუნქტში (ნახ. 2) საერთოდ არ არის მოხმარება - მთელი წარმოება მიდის აღჭურვილობის დაგროვებაზე. ახლა შევამციროთ დაგროვების მაჩვენებელი. მაშინ მოხმარება (სიგრძე) უკვე ნულოვანი იქნება, თუმცა ეკონომიკის ზრდის ტემპი (სწორი ხაზის დახრილობა) იგივე რჩება. ორდინატის წერტილში, რომლისთვისაც მრუდის ტანგენსი სწორი ხაზის პარალელურია, მოხმარება მაქსიმალურია. იგი შეესაბამება ოჯახის მრუდს გარკვეული დაგროვების სიჩქარით, რომელსაც ეწოდება "ოქროს დაგროვების მაჩვენებელი".

ლეონიდ ვიტალიევიჩ კანტოროვიჩი
(1912-1986)

ლ.ვ.კანტოროვიჩი - საბჭოთა მათემატიკოსი და ეკონომისტი, ხაზოვანი პროგრამირებისა და სოციალისტური ეკონომიკის ოპტიმალური დაგეგმვის თეორიის შემქმნელი, აკადემიკოსი, ნობელის პრემიის ლაურეატი.

ლ.ვ.კანტოროვიჩი დაიბადა სანქტ-პეტერბურგში, ექიმის ოჯახში. მისი შესაძლებლობები უჩვეულოდ ადრე გამოვლინდა. უკვე 4 გოლზე თავისუფლად მოქმედებდა მრავალნიშნა რიცხვებით, შვიდი წლის ასაკში უფროსი ძმის სახელმძღვანელოს მიხედვით დაეუფლა ქიმიის კურსს. 14 წლის ასაკში გახდა პეტერბურგის უნივერსიტეტის სტუდენტი. 1930 წელს, როდესაც უნივერსიტეტი დაამთავრა, ლ.ვ.კანტოროვიჩი უკვე ცნობილი მეცნიერი იყო, წამყვან საერთაშორისო მათემატიკურ ჟურნალებში გამოქვეყნებული ათეული ნაშრომის ავტორი, ხოლო 20 წლის ასაკში იყო მათემატიკის პროფესორი.

1935 წელს მეცნიერმა შემოიღო და შეისწავლა ფუნქციური სივრცეების კლასი, რომლებშიც წესრიგის მიმართება განისაზღვრება მათი ელემენტების გარკვეული ნაკრებისთვის. ასეთი სივრცეების თეორია, მათ უწოდებენ კანტოროვიჩის სივრცეებს, ან - სივრცეებს, არის ფუნქციური ანალიზის ერთ-ერთი მთავარი განყოფილება. უწყვეტი პრობლემის ამოხსნასთან დაკავშირებულმა უახლესმა სამუშაოებმა დაადგინა სივრცეების ადგილი ყველაზე ფუნდამენტურ მათემატიკურ სტრუქტურებს შორის.

ლ.ვ.კანტოროვიჩი გამოირჩეოდა გასაოცარი უნარით დაენახა პრობლემის არსი კონკრეტულ პრობლემაში და თეორიის შექმნის შემდეგ მიეცეს ზოგადი მეთოდი მსგავსი პრობლემების ფართო კლასის გადასაჭრელად. ეს განსაკუთრებით ნათლად გამოიკვეთა მის ნაშრომებში გამოთვლითი მათემატიკისა და მათემატიკური ეკონომიკის შესახებ.

30-იანი წლების დასაწყისში. ლ.ვ.კანტოროვიჩი იყო ერთ-ერთი პირველი გამოჩენილი მეცნიერი, რომელიც დაინტერესდა გამოთვლითი მათემატიკით. ამ მეცნიერების თანამედროვე გარეგნობა დიდწილად მისმა ნაშრომებმა განაპირობა. მათ შორისაა ფუნდამენტური და კლასიკური მონოგრაფია „უმაღლესი ანალიზის მიახლოებითი მეთოდები“; მისი სახელობის გამოთვლითი მეთოდები; ზოგადი თეორიასავარაუდო მეთოდები, აგებული ფუნქციური ანალიზის საფუძველზე (სახელმწიფო პრემია, 1949 წ.); მუშაობს ავტომატურ პროგრამირებაზე, რომელიც შესრულებულია კომპიუტერული ეპოქის გარიჟრაჟზე და მრავალი თანამედროვე იდეის მოლოდინში, და ბოლოს, არაერთი გამოგონება კომპიუტერული ტექნოლოგიების სფეროში.

1939 წელს ლენინგრადში გამოიცა მცირე ბროშურა „წარმოების ორგანიზებისა და დაგეგმვის მათემატიკური მეთოდები“, რომელიც რეალურად შეიცავდა გამოყენებითი მათემატიკის ახალ განყოფილებას, რომელსაც მოგვიანებით ხაზოვანი პროგრამირება უწოდეს (იხ. გეომეტრია). მისი დაწერის მიზეზი იყო კონკრეტული საწარმოო დავალება. გააცნობიერა სოციალისტურ ეკონომიკაში დისპერსიისა და ოპტიმალური ცნებების ძირითადი მნიშვნელობა, ისეთი მნიშვნელოვანი მაჩვენებლები, როგორიცაა ფასი, რენტა, ეფექტურობა, იგი აგრძელებს ოპტიმალური დაგეგმვის თეორიის შემუშავებას, რომელიც შემდგომში მიენიჭა ლენინის (1965) და ნობელის (1975). პრიზები.

წიგნი „ეკონომიკური გაანგარიშება საუკეთესო გამოყენებარესურსები“, ამ თეორიის ასახსნელად, დაიწერა ლენინგრადის ბლოკადის პირობებში და დასრულდა უკვე 1942 წელს.

ამ კვლევების განსაკუთრებული მნიშვნელობის გაცნობიერებით, მეცნიერი დაჟინებით ცდილობდა მათი შედეგების პრაქტიკულ გამოყენებას. თუმცა, ნაშრომი 1959 წლამდე არ გამოქვეყნებულა და მაშინაც მას თავს დაესხნენ ორთოდოქსი პოლიტეკონომისტები. ლ.ვ.კანტოროვიჩის წიგნმა ჩამოაყალიბა საბჭოთა ეკონომისტთა მთელი თაობის შეხედულებები. ბევრი იდეა, რომელიც იქ პირველად იყო გამოთქმული, პერესტროიკის მსვლელობისას განხორციელდა.

ოლიმპიადის შემდეგ საინტერესოა პრობლემის გადაჭრის საკითხებზე მსჯელობა.

მათემატიკური ეკონომიკის რთული პრობლემაა თეორიისა და პრაქტიკის შედარება: უკიდურესად რთულია ეკონომიკური ინდიკატორების გაზომვა - ისინი არ იზომება ლაბორატორიულ ობიექტებზე, დაკვირვება შეიძლება გაკეთდეს ძალიან იშვიათად (გაიხსენეთ აღწერები!), ისინი ტარდება სხვადასხვა პირობებში. და შეიცავს უამრავ უზუსტობას. ამიტომ ძნელია აქ სხვა მეცნიერებებში დაგროვილი საზომი გამოცდილების გამოყენება და სპეციალური მეთოდების შემუშავებაა საჭირო.

მათემატიკური ეკონომიკის განვითარებამ გამოიწვია მრავალი მათემატიკური თეორიის გაჩენა, რომლებიც გაერთიანებულია სახელწოდებით „მათემატიკური პროგრამირება“ (ხაზოვანი პროგრამირებისთვის იხილეთ სტატია „გეომეტრია“).

ეკონომიკაში მათემატიკური მეთოდების გამოყენების საკითხები განვითარდა საბჭოთა მათემატიკოსის ლ.ვ.კანტოროვიჩის ნაშრომებში, რომლებიც დაჯილდოვდნენ ლენინისა და ნობელის პრემიებით.

განათლების ფედერალური სააგენტო

უმაღლესი პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო დაწესებულება

ვლადიმირის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

ᲐᲐ. გალკინი

მათემატიკური

ᲔᲙᲝᲜᲝᲛᲘᲐ

დამტკიცებულია განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს მიერ რუსეთის ფედერაციაროგორც სახელმძღვანელო

უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ სპეციალობაში "გამოყენებითი ინფორმატიკა (ეკონომიკაში)"

ვლადიმერ 2006 წ

UDC 330.45: 519.85 BBK 65 V 631

მიმომხილველები:

ტექნიკურ მეცნიერებათა დოქტორი, პროფესორი ტულას სახელმწიფო უნივერსიტეტის ავტომატური ინფორმაციისა და კონტროლის სისტემების დეპარტამენტი

ვ.ა. ფატუევი

ტექნიკურ მეცნიერებათა დოქტორი, პროფესორი საინფორმაციო სისტემების დეპარტამენტი

ტვერის სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი

ბ.ვ. პალიუხ

ექიმი ეკონომიკური მეცნიერებები, პროფესორი ეკონომიკისა და მენეჯმენტის დეპარტამენტი საწარმოებში

ვლადიმირის სახელმწიფო უნივერსიტეტი

ვ.ფ. არქიპოვა

ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი, პროფესორი ვლადიმირის სახელმწიფო უნივერსიტეტის ალგებრისა და გეომეტრიის დეპარტამენტი

ნ.ი. დუბროვინი

გამოქვეყნებულია ვლადიმირის სახელმწიფო უნივერსიტეტის სარედაქციო და საგამომცემლო საბჭოს გადაწყვეტილებით

გალკინი, ა.ა.

D16 მათემატიკური ეკონომიკა: სახელმძღვანელო / A. A. Galkin; ვლადიმი. სახელმწიფო უნ-ტ. - ვლადიმერ: გამომცემლობა Vladim. სახელმწიფო უნ-ტა, 2006. - 304გვ. – ISBN 5-89368-624-1.

განხილულია ეკონომიკაში წარმოქმნილი ტიპიური ოპტიმიზაციის პრობლემების ფართო სპექტრი და ამ პრობლემების გადაჭრის ალგორითმები. მოცემულია მითითებული ამოცანების ფორმალიზაციის ტექნიკა და მათი კლასიფიკაცია. წარმოდგენილია სტატიკური და დინამიური ოპტიმიზაციის დეტერმინისტული ამოცანების გადაჭრის მეთოდები. თითოეული ტიპის ამოცანებისა და ალგორითმისთვის მოცემულია მაგალითები, რომლებიც ასახავს ამ ალგორითმების პრაქტიკული გამოყენების ტექნიკას, ისევე როგორც ამოცანების კომპლექტს დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

იგი განკუთვნილია უნივერსიტეტების სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ სპეციალობაში 080801 - გამოყენებითი ინფორმატიკის (ეკონომიკაში), ასევე სტუდენტებისთვის, სრულ განაკვეთზე შესაბამისი სპეციალობების ბაკალავრიატისა და მაგისტრატურის სტუდენტებისთვის, მეორე უმაღლესი განათლების მიმღებ პირთათვის, აგრეთვე. პრაქტიკოსები.

ჩანართი 80. ავად. 60. ბიბლიოგრაფია: 39 სათაური.

თავის შესახებ
მიღებული აბრევიატურების სია .............................................. ......................................................
წინასიტყვაობა ..................................................... ...................................................... .............
შესავალი ..................................................... ................................................. .....

სახელმძღვანელოსთან მუშაობისთვის............................................ ......................
თავი 1. განცხადება, ფორმალიზება
და ოპტიმიზაციის კლასიფიკაცია
ამოცანები ეკონომიკურ სისტემებში.................................

და მათი გაფორმება ..................................................... .....................................................
§ 1.2. ოპტიმიზაციის პრობლემების კლასიფიკაცია .............................................. .....................


თავი 2. წრფივი პროგრამირების პრობლემები.................................
§ 2.1. წრფივი პროგრამირების ზოგადი და კანონიკური ამოცანები.....
§ 2.2. LP ამოცანების გრაფიკული გადაწყვეტა .............................................. ................................
§ 2.3. LP ამოცანების ალგებრული ამოხსნა.
სიმპლექსის მეთოდის არსი .............................................. ................................
§ 2.4. საწყისი საცნობარო ამოხსნის მოძიება მეთოდით
ხელოვნური საფუძველი ..................................................... ................................................
§ 2.5. წრფივი პროგრამირების ორმაგი ამოცანები..............................
§ 2.6. წრფივი პროგრამირების მთელი რიცხვითი ამოცანები .....................................
§ 2.7. შენიშვნები ..................................................... ................................................


თავი 3. ხაზოვანი სატრანსპორტო პრობლემები
დაპროგრამება....................................................................
§ 3.1. კლასიკური სატრანსპორტო პრობლემის (TS) ფორმულირება ..............................
§ 3.2. კლასიკური სატრანსპორტო პრობლემის გადაჭრა .............................................. ..
§ 3.3. მეთოდით საწყისი საცნობარო გეგმის მოძიება
ჩრდილო-დასავლეთი კუთხე (MSZU) ...................................... ...............
§ 3.4. სატრანსპორტო გეგმის გაუმჯობესება პოტენციალების მეთოდით ..............................
§ 3.5. არაკლასიკური სატრანსპორტო პრობლემები ............................................ .................

§ 3.6. დავალების და განაწილების პრობლემები .....................................

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის .............................................. ..............................
თავი 4. წარმოდგენილია ოპტიმიზაციის პრობლემები
გრაფიკებზე ..................................................... ...................................................
§ 4.1. გრაფების თეორიის ძირითადი ცნებები ...................................... ......................
§ 4.2. უმოკლესი ბილიკის პრობლემა გრაფიკში ...................................... .........
§ 4.3. კრიტიკული გზის პრობლემა გრაფიკში ..................................... ............................
§ 4.4. მინიმალური სიგრძის გრაფიკის პრობლემა ..................................................... .... .
§ 4.5. მაქსიმალური ნაკადის პრობლემა გრაფიკში (ქსელში) ...................................
§ 4.6. მოცემულის ოპტიმალური განაწილების პრობლემა
ნაკადი სატრანსპორტო ქსელში ...................................... ......................................
ტესტის კითხვები ...................................................... ................................
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის .............................................. ......................
თავი 5
ოპტიმიზაციები ..................................................... ...................................
§ 5.1. სტატიკის არაწრფივი ამოცანების ანალიზური ამოხსნა
ოპტიმიზაცია ..................................................... ......................................
§ 5.2. ერთგანზომილებიანი ამოცანების ამოხსნის რიცხვითი მეთოდები
სტატიკური ოპტიმიზაცია ..................................................... ................................
§ 5.3. მრავალვარიანტული უპირობო ოპტიმიზაციის რიცხვითი მეთოდები
წარმოებულების გამოყენებით ..................................................... .....................
§ 5.4. მრავალგანზომილებიანი ოპტიმიზაციის რიცხვითი მეთოდები
წარმოებულების გამოყენების გარეშე ..................................................... .....................
§ 5.5. რიცხვითი ოპტიმიზაციის მეთოდები შეზღუდვების არსებობისას ......
ტესტის კითხვები ...................................................... ................................
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის .............................................. ......................
თავი 6
კონტროლი და დინამიური
დაპროგრამება................................................................
§ 6.1. კონტროლირებადი დინამიკური სისტემების კონცეფცია ......................................
§ 6.2. ოპტიმალურის კლასიკური პრობლემის ფორმულირება
დინამიური კონტროლი ..................................................... ...................................
§ 6.3. დინამიკის კლასიკური პრობლემის ფორმულირება
პროგრამირება (DP) ..................................................... ....................................
§ 6.4. რ.ბელმანის ოპტიმალურობის პრინციპი ............................................ ..
§ 6.5. DP მეთოდის არსი .............................................. ..................................
§ 6.6. DP-ის მთავარი ფუნქციონალური განტოლება .............................................. ..

§ 6.8. საწარმოებს შორის გამოყოფილი სახსრების ოპტიმალური ეტაპობრივი განაწილების პრობლემა

დაგეგმვის პერიოდი ..................................................... ................................................
§ 6.9. ტექნიკის გამოცვლის ოპტიმალური გეგმის პრობლემა
§ 6.10. შრომითი რესურსების დაგეგმვის ამოცანა ..............................
ტესტის კითხვები ...................................................... ................................
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის .............................................. ......................
თავი 7
და მისი გამოყენება პრობლემების გადასაჭრელად
დინამიური ოპტიმიზაცია..........................................
§ 7.1. ვარიაციების გაანგარიშების ძირითადი ცნებები ..............................
§ 7.2. კლასიკური VI პრობლემები და ურთიერთობები მათი გადაჭრისთვის..........
§ 7.3. ოპტიმალური დინამიური მართვის პრობლემების სპეციფიკა
და VI-ის გამოყენება მათ გადასაჭრელად .......................................... ....
§ 7.4. დინამიკის ამოცანების გადაჭრის სავარაუდო მეთოდები
ოპტიმიზაცია VI ............................................. ..............................
ტესტის კითხვები ...................................................... ................................
თავი 8. მაქსიმალური პრინციპი და მისი გამოყენება
ოპტიმალური კონტროლის სინთეზისთვის
უწყვეტ სისტემებში...................................................
§ 8.1. მაქსიმალური პრინციპის განცხადება უწყვეტისთვის
სისტემები ..................................................... ................................................
§ 8.2. კლასიკური ეილერის პრობლემა ...................................................... ...................................
§ 8.3. ოპტიმალური კონტროლის პრობლემა ხარჯების მინიმიზაციასთან ერთად
ენერგია მენეჯმენტისთვის ..................................................... ......................
§ 8.4. დროის ოპტიმალური კონტროლის პრობლემა..........
§ 8.5. ხაზოვანი დინამიკური სისტემის მართვის პრობლემები
თავისუფალი მარჯვენა ბოლოთი ..................................................... ................................

§ 8.6. ხაზოვანი დინამიკური სისტემის მართვის პრობლემა

დან განზოგადებული კვადრატული ინტეგრალის მინიმიზაცია

§ 9.2. თვითნებური რიგის წრფივი დისკრეტული სისტემის კონტროლი ჯამური განზოგადებულის ოპტიმიზაციით

კვადრატული კრიტერიუმი ..................................................... ...................
§ 9.3. ოპტიმალური კონტროლის პოვნა დისკრეტულისთვის
უწყვეტი დინამიური სისტემის პროტოტიპი ...................................... ..
§ 9.4. წარმოების დაგეგმვის პრობლემა
და პროდუქციის მიწოდება ..................................................... ...................................................
ტესტის კითხვები ...................................................... ................................
ამოცანები 7-9 თავების დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის ..............................
დასკვნა................................................ ................................................

დამოუკიდებელი კვლევისთვის ..................................................... ...............
ბიბლიოგრაფიული სია................................................ ...................................
დანართი ................................................... ................................................
მთავარი სიმბოლოების ინდექსი ................................................ ................

მიღებული აბრევიატურების სია

TF - ობიექტური ფუნქცია ODR - შესაძლებელი გადაწყვეტილებების ფართობი

LP - ხაზოვანი პროგრამირება LLP - LP პრობლემა KZLP - კანონიკური LLP

TK - სატრანსპორტო დავალება PO - გამგზავრების წერტილები, PN - მიმართულებები TK-ში

MSZU - ჩრდილო-დასავლეთი კუთხის მეთოდი MZS - ოქროს მონაკვეთის მეთოდი DP - დინამიური პროგრამირება VI - ვარიაციების გაანგარიშება PM - მაქსიმალური პრინციპი; DE - დიფერენციალური განტოლება

წინასიტყვაობა

IN სხვადასხვა ტექნიკური და ეკონომიკური სპეციალობისა და მიმართულების სტუდენტების მომზადებაში მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია შესაბამისი საგნისთვის დამახასიათებელი მათემატიკური მოდელებისა და მეთოდების შესწავლას, რაც ამ მოდელების გამოყენებით საშუალებას აძლევს ახსნას განსახილველი სისტემების ქცევა. შეაფასოს მათი მახასიათებლები, გონივრულად მიიღოს კონსტრუქციული, ტექნოლოგიური, ეკონომიკური, ორგანიზაციული და სხვა გადაწყვეტილებები.

ამ მოდელების და მეთოდების დაუფლება ეფუძნება საკმაოდ უნივერსალურ კლასიკურ დისციპლინას, რომელსაც ჩვეულებრივ „უმაღლეს მათემატიკას“ უწოდებენ. მათემატიკური აპარატი, რომელიც საშუალებას იძლევა გადაჭრას ტიპიური და ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანები აპლიკაციების შესაბამისი სფეროსთვის, შესწავლილია სპეციალურ დისციპლინებში.

„გამოყენებითი ინფორმატიკა (ეკონომიკაში)“ სპეციალობაში სწავლის სტუდენტებისთვის ერთ-ერთი ასეთი დისციპლინაა „მათემატიკური ეკონომიკა“. მოქმედი სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტის (SES) შესაბამისად, ამ დისციპლინის პროგრამა მოიცავს ეკონომიკის დარგის მათემატიკურ გამოთვლებთან დაკავშირებულ დიდი რაოდენობით სასწავლო მასალას. ეს მასალა დაყოფილია ორ ნაწილად.

IN პირველი ნაწილი სწავლობს ამოცანებს ფინანსური ანალიზი, რომლებიც წინა თაობის SES-ში განიხილებოდა სპეციალურ დისციპლინაში - „ფინანსური მათემატიკა“.

პროგრამის მეორე ნაწილი შეიცავს მათემატიკის თვალსაზრისით უფრო რთულ ამოცანებს და მეთოდებს, რომლებიც დაკავშირებულია საუკეთესოს პოვნასთან, ე.ი. ოპტიმალური, გამოყენებითი ეკონომიკის სფეროში არსებული სხვადასხვა პრობლემის გადაწყვეტა. ადრე სტუდენტები ამ მასალას ეუფლებოდნენ დისციპლინის „ოპტიმალური კონტროლის თეორია ეკონომიკურ სისტემებში“ შესწავლისას.

დისციპლინის „მათემატიკური ეკონომიკა“ სასწავლო გეგმა შეიცავს საკმაოდ რთული შესასწავლი კითხვების ფართო სპექტრს. ვინაიდან ამ დისციპლინაში საკლასო სწავლებისთვის დათმობილი დრო საკმაოდ მცირეა, განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს სტუდენტების დამოუკიდებელ მუშაობას საგანმანათლებლო ლიტერატურით.

აღსანიშნავია, რომ ბოლო 30 წლის განმავლობაში მრავალი განსხვავებული მონოგრაფია, სახელმძღვანელო და სასწავლო საშუალებებიეკონომიკაში გამოყენებულ მათემატიკურ მეთოდებზე. თუმცა მათთან მუშაობისას სტუდენტებს სერიოზული სირთულეები უჩნდებათ. ჯერ ერთი, ამ წიგნებიდან ბევრი ახლა პრაქტიკულად მიუწვდომელია სტუდენტებისთვის, რადგან ისინი ან არ არის ხელმისაწვდომი უნივერსიტეტის ბიბლიოთეკებში, ან ხელმისაწვდომია ერთ ეგზემპლარად. მეორეც, პროგრამით გათვალისწინებული მთელი მასალის შესასწავლად ერთი სახელმძღვანელო არ არის საკმარისი და სხვადასხვა წიგნებში, როგორც წესი, გამოიყენება პრეზენტაციის განსხვავებული სტილი, სხვადასხვა აღნიშვნა. ხშირად მასალის პრეზენტაციის დონე მიუწვდომელია „ნამდვილი“ მოსწავლისთვის. მესამე, მათემატიკური ხასიათის დისციპლინებში საგანმანათლებლო პროცესის ორგანიზებისას, ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს სტუდენტებისთვის შესწავლილი მეთოდების გამოყენების პრაქტიკული უნარ-ჩვევების შეძენას და ეს მოითხოვს ამოცანებს დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. განსახილველ საკითხზე სახელმძღვანელოების უმეტესობა შეიცავს მაგალითებს და დავალებებს წარმოდგენილი მეთოდების გამოყენების ტექნიკის საილუსტრაციოდ, მაგრამ ისინი საკმარისი არ არის რეგულარული სასწავლო ჯგუფის ყველა სტუდენტისთვის ინდივიდუალური დავალების გასაცემად.

შემოთავაზებული სახელმძღვანელო განკუთვნილია დისციპლინის „მათემატიკური ეკონომიკის“ მეორე, უფრო რთული ნაწილის შესასწავლად, რომელიც ეხება ეკონომიკაში წარმოშობილ ოპტიმიზაციის პრობლემებს და მათი გადაჭრის ალგორითმებს. იგი მომზადებულია ზემოთ ჩამოთვლილი გარემოებების გათვალისწინებით.

წიგნში მოცემულია ტიპიური ოპტიმიზაციის პრობლემების ფორმულირებები, რომლებიც წარმოიქმნება ეკონომიკურ სფეროში, ხორციელდება მათი ფორმალიზაცია, წარმოდგენილია მეთოდებისა და ალგორითმების არსი, რომლებიც შესაძლებელს ხდის ამოხსნის შესრულებას ამ ალგორითმების ტექნიკის ილუსტრაციით კონკრეტულ მაგალითებზე. გარდა ამისა, თითოეული თემისთვის არის საკმაოდ დიდი ამოცანების ნაკრები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, რაც თითოეულ სტუდენტს საშუალებას აძლევს მისცეს საკუთარი ინდივიდუალური დავალება.

თანამედროვე მეცნიერების მიერ შემოთავაზებული ოპტიმიზაციის შესაძლო პრობლემებისა და მეთოდების უზარმაზარი მრავალფეროვნებიდან, ამ სახელმძღვანელოში შესატანად შეირჩა დეტერმინისტული ამოცანები და სტატიკური და დინამიური ოპტიმიზაციის ალგორითმები. წიგნის შეზღუდული მოცულობის გამო არ არის გათვალისწინებული ოპტიმიზაციის ამოცანები გაურკვევლობებით, მათ შორის ალბათურ-სტატისტიკური, ინტერვალური, ბუნდოვანი და სხვა ამოცანები და მოდელები, ასევე ვექტორული ოპტიმიზაციის ამოცანები.

წიგნი მოიცავს ცხრა თავს. პირველში მოცემულია ეკონომიკური ხასიათის ოპტიმიზაციის ამოცანების მაგალითები, რომლებზეც ნაჩვენებია ფორმალიზაციის ტექნიკა, ე.ი. ამოხსნილი პრობლემის მათემატიკური მოდელის მოპოვებით, მოცემულია ოპტიმიზაციის ამოცანების კლასიფიკაცია.

მეორე, მესამე და მეოთხე თავები ეთმობა წრფივი სტატიკური ოპტიმიზაციის ამოცანებს. მეორე თავში წარმოდგენილია ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანები და მეთოდები, მესამე თავში განხილულია სატრანსპორტო ამოცანები, ხოლო მეოთხე თავში ოპტიმიზაციის ამოცანები, რომლებიც ინტერპრეტირებულია გრაფიკებზე. თითოეული პრობლემისთვის წარმოდგენილია ამოხსნის ყველაზე ეფექტური მეთოდი (ალგორითმი) და მოცემულია მაგალითი ამ ალგორითმის პრაქტიკული გამოყენების ტექნიკის დემონსტრირებით. მეხუთე თავში წარმოდგენილია ანალიტიკური და რიცხვითი მეთოდები არაწრფივი სტატიკური ოპტიმიზაციის ამოცანების გადასაჭრელად შეზღუდვების არარსებობისა და არსებობის შემთხვევაში.

დინამიური ოპტიმიზაციის პრობლემები, რომლებსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ ოპტიმალური კონტროლის პრობლემებს, მოცემულია მეექვსე-მეცხრე თავებში. მეექვსე თავში მოცემულია ზოგადი წარმოდგენა უწყვეტი და დისკრეტული ტიპის დინამიური სისტემების შესახებ, ჩამოყალიბებულია ოპტიმალური კონტროლისა და დინამიური პროგრამირების (DP) კლასიკური პრობლემა, ჩამოყალიბებულია DP-ის არსი და მისი ტექნიკის გამოყენება. პრაქტიკული გამოყენება. მეშვიდე თავში ასახულია ვარიაციების გაანგარიშების საფუძვლები, მერვე - მაქსიმალური პრინციპი უწყვეტი სისტემებისთვის, მეცხრე - დისკრეტული სისტემებისთვის. თითოეულ ამ თავში დიდი ყურადღება ეთმობა სხვადასხვა კონკრეტული პრობლემის ანალიზს და მაგალითებს, რომლებიც ასახავს გაანგარიშების კოეფიციენტების პრაქტიკული გამოყენების მეთოდოლოგიას.

თითოეული თავის ბოლოს პირველიდან მეექვსემდე მოცემულია ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. მეცხრე თავის ბოლოს მოცემულია ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, რომლებიც ეძღვნება ოპტიმალური დინამიური კონტროლის მეთოდებს.

განსაკუთრებული პრობლემა, რომლის გადასაჭრელად ავტორს მნიშვნელოვანი ძალისხმევა სჭირდებოდა წიგნზე მუშაობის პროცესში, იყო ის, რომ ორიგინალურ ლიტერატურაში ზოგიერთი მეთოდი და ალგორითმი ისეა წარმოდგენილი, რომ არამათემატიკის სტუდენტებისთვის საკმაოდ რთულია. მაგრამ საინფორმაციო-ეკონომიკური პროფილი მათ გასაგებად. ამიტომ საჭირო იყო შესაბამისი თეორიული მასალის მორგების შესაძლებლობები მოსწავლეთა მომზადების რეალურ დონეზე, რაზეც არის ორიენტირებული წიგნი.

გარდა ამისა, ავტორი ცდილობდა, დიდი რაოდენობით, მნიშვნელოვნად განსხვავებული ამოცანებისა და მეთოდების წარმოდგენისას, მაქსიმალურად შეენარჩუნებინა მასალის ერთიანი სტილი, ხასიათი და სისტემა. იმედია, ეს გარკვეულწილად მიღწეულია.

სახელმძღვანელოს მომზადებისას გამოყენებული იქნა ლექციებისა და პრაქტიკული გაკვეთილების მასალა დისციპლინებში "ოპტიმიზაციის მეთოდები", "კონტროლის თეორია", "ოპტიმალური კონტროლის თეორია ეკონომიკურ სისტემებში" და "მათემატიკური ეკონომიკა", რომელსაც ავტორი 25 წლის განმავლობაში ასწავლიდა ვლადიმირში. სახელმწიფო უნივერსიტეტი (VlGU). ამ კლასებში შემოწმდა თეორიული მასალისა და დამოუკიდებელი ამოცანების უმეტესი ნაწილი. სახელმძღვანელოს ელექტრონული ვერსია მოყვება საინფორმაციო რესურსები VlGU-ს ელექტრონული ბიბლიოთეკა.

იმისდა მიუხედავად, რომ სახელმძღვანელო მომზადდა სპეციალობის "გამოყენებითი ინფორმატიკის (ეკონომიკაში)" სტუდენტებისთვის, უდავოდ, ის შეიძლება სასარგებლო იყოს სტუდენტებისთვის, ბაკალავრიატის, მაგისტრანტებისთვის და სხვა პროფილის სპეციალისტებისთვის, რადგან ოპტიმიზაციის პრობლემები ყველგან ჩნდება. შემთხვევითი არ არის, რომ ამბობენ, რომ „ბუნებაში არაფერია ისეთი, რომ შეუძლებელი იყოს რაიმე მაქსიმუმის ან მინიმუმის მნიშვნელობის დანახვა“.

ის მადლიერი იქნება ყველას, ვინც გამოიყენებს წიგნს და გამოთქვამს აზრს მის შინაარსზე, შესაძლოა, ხარვეზებზე ან უზუსტობებზე. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ e_mail: [ელფოსტა დაცულია].

წიგნზე მუშაობა, გარკვეული შეფერხებით, დაახლოებით 10 წელი გაგრძელდა, მაგრამ შეიძლებოდა გაჭიანურებულიყო განუსაზღვრელი ვადით, რომ არა ხელნაწერზე მუშაობის სწრაფი და მაღალკვალიფიციური დახმარება, რომელიც უზრუნველყოფდა ასპირანტ ი.ვ. ბანაკი. ამისთვის ავტორი განსაკუთრებით მადლიერია მისი.

განათლების ფედერალური სააგენტო

სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტი

__________________________________________________________________

საინფორმაციო სისტემების დეპარტამენტი

მათემატიკური ეკონომიკა

Ლექციის ჩანაწერები

სპეციალობის მესამე კურსის სტუდენტებისთვის

"გამოყენებითი ინფორმატიკა (ეკონომიკაში)"

ტვერი 2009 წ

1. შეფასების მეთოდები საინვესტიციო პროექტები

ამჟამად განვითარებულ ქვეყნებში საბაზრო ეკონომიკასაინვესტიციო პროექტების გაანალიზებისას მათ დაიწყეს დისკონტირების ტექნიკის ფართოდ გამოყენება რთული პროცენტის ლოგიკის საფუძველზე. აქედან გამომდინარე, ამ განყოფილებაში მოცემულია ამ მეთოდების გამოყენების არსი და უპირატესობები.

^ 1.1 წმინდა მიმდინარე ღირებულების მეთოდი

წმინდა მიმდინარე ღირებულება გამოითვლება როგორც სხვაობა
დისკონტირებული შემოსავლებისა და ხარჯების დროის ერთ წერტილამდე
პროექტის მიხედვით:

სადაც CF INt - ფულადი სახსრების შემოდინება t პერიოდისთვის;

CF OFt - ფულადი სახსრების გადინება t პერიოდისთვის;

R - დისკონტის განაკვეთი;

N - პროექტის სასიცოცხლო ციკლი.

იმ შემთხვევებში, როდესაც ინვესტიცია არის ერთჯერადი ინვესტიცია საწყის პერიოდში, NPV გაანგარიშების ფორმულა ასე გამოიყურება:

სადაც C 0 - კაპიტალის ინვესტიციები ნულოვან პერიოდში.

ამ კრიტერიუმის გამოყენება გადაწყვეტილების მიღებისას საკმაოდ მარტივია. დადებითი NPV მნიშვნელობა მიუთითებს შემოსავლის ოდენობაზე, რომელსაც ინვესტორი მიიღებს საჭირო დონეზე მეტი. იმ შემთხვევაში, როდესაც NPV უდრის ნულს, ინვესტორი არამარტო აბრუნებს თავის კაპიტალს, არამედ ზრდის მას დისკონტის განაკვეთით განსაზღვრული ოდენობით. შედეგად მიღებული უარყოფითი NPV მიუთითებს იმაზე, რომ პროექტი უარყოფილი უნდა იყოს.

უნდა აღინიშნოს, რომ NPV დროთა განმავლობაში არის დანამატი. ეს თვისება საშუალებას გაძლევთ შეაჯამოთ დღევანდელი წმინდა ღირებულებები სხვადასხვა პროექტები, რაც ძალიან მნიშვნელოვანია საინვესტიციო პორტფელის ოპტიმალურობის ანალიზში.

^ 1.2 ინვესტიციის ანაზღაურების ინდექსის გამოთვლის მეთოდი

მომგებიანობის ინდექსი არის პროექტის დისკონტირებული მოგებისა და ხარჯების თანაფარდობა. ანუ, მაგალითად, ერთჯერადი ინვესტიციებთან დაკავშირებით, გაანგარიშება ხდება ფორმულის მიხედვით:

იმ შემთხვევაში, როდესაც PI>1-ის ღირებულება, პროექტი მომგებიანია. თუ PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

ამ ინდიკატორის უპირატესობა NPV ინდიკატორთან შედარებით არის მისი ფარდობითი. აქედან გამომდინარე, ადვილი გამოსაყენებელია, როდესაც საჭიროა რამდენიმე ალტერნატიული პროექტის არჩევა დაახლოებით იგივე NPV მნიშვნელობებით, ასევე საინვესტიციო პორტფელის ფორმირებისას მაქსიმალური ჯამური NPV ღირებულებით.

ასეთი ამოცანა ჩნდება მაშინ, როდესაც არსებობს რამდენიმე მიმზიდველი საინვესტიციო პროექტი ასარჩევად, მაგრამ შეზღუდული ფინანსური რესურსების გამო, ინვესტორი ვერ მიიღებს მონაწილეობას ყველა პროექტში ერთდროულად. შემდეგ PI გამოითვლება თითოეული პროექტისთვის და პროექტები ფასდება PI-ს კლებადობით. საინვესტიციო პორტფელი მოიცავს პირველ მ-პროექტებს, რომელთა სრული დაფინანსება შესაძლებელია.

თუ შემდეგი პროექტი გაყოფის საშუალებას იძლევა, მაშინ ის ასევე შედის პორტფელში იმ ნაწილში, რომლის დაფინანსებაც შესაძლებელია.

^ 1.3 ინვესტიციის ანაზღაურების კოეფიციენტის გამოთვლის მეთოდი

ანაზღაურება (დაბრუნების შიდა განაკვეთი) არის საპროცენტო განაკვეთის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც პროექტის წმინდა მიმდინარე ღირებულება ნულის ტოლია:

სადაც IRR არის უკუგების მაჩვენებელი (დაბრუნების შიდა მაჩვენებელი).

IRR მნიშვნელობა გვიჩვენებს ხარჯების მაქსიმალურ დასაშვებ ფარდობით დონეს, რომელიც ამა თუ იმ გზით შეიძლება დაკავშირებული იყოს მოცემულ პროექტთან. მაგალითად, თუ პროექტი სრულად ფინანსდება სესხით, მაშინ IRR ღირებულება აჩვენებს ბანკის საპროცენტო განაკვეთის ზედა ზღვარს, რომლის გადაჭარბება პროექტს წამგებიანი გახდის.

IRR-ის დასადგენად გამოიყენება ან გამოთვლითი ან გაანგარიშება-გრაფიკული მეთოდები. პირველ შემთხვევაში, წლიური ფულადი ნაკადები (მოთხოვნილი კაპიტალის ინვესტიციების გათვალისწინებით) დისკონტირდება სხვადასხვა საცდელი დისკონტის განაკვეთებით ერთი პროცენტის მატებით. ეს წარმოქმნის შესაბამის წმინდა დღევანდელი ღირებულებების სერიას, რომელთა უმცირესი დადებითი მნიშვნელობა მიუთითებს გასათვალისწინებელი უკუგების ზუსტ განაკვეთზე.

გაანგარიშებისა და გრაფიკული მეთოდის გამოყენება ემყარება იმ ფაქტს, რომ დაბრუნების მაჩვენებლები გამოსახულია ვერტიკალური ღერძის გასწვრივ კოორდინატულ სისტემაზე, ხოლო წმინდა დღევანდელი მნიშვნელობები გამოსახულია ჰორიზონტალური ღერძის გასწვრივ. შემდეგ გამოითვლება ორი NPV მნიშვნელობა, რომელიც შეესაბამება ანაზღაურების ნებისმიერ ორ მაჩვენებელს. ამ ორ წერტილს შორის გავლებულია სწორი ხაზი, რომლის გადაკვეთის წერტილი ვერტიკალურ ღერძთან არის დაბრუნების სავარაუდო შიდა მაჩვენებელი. თუმცა გასათვალისწინებელია, რომ მიღებული მნიშვნელობა უნდა შემოწმდეს ნულზე და საჭიროების შემთხვევაში უნდა მოხდეს კორექტირება.

^ 1.4 დისკონტირებული ანაზღაურებადი პერიოდის განსაზღვრის მეთოდი

დისკონტირებული ანაზღაურებადი პერიოდი არის დროის პერიოდი, რომლის განმავლობაშიც ინვესტორი სრულად აბრუნებს თავდაპირველ ხარჯებს, ამასთან უზრუნველყოფს მომგებიანობის საჭირო დონეს:

სადაც T არის დისკონტირებული ანაზღაურებადი პერიოდი;

PV არის ინვესტიციის მიმდინარე ღირებულება.

ეს მეთოდი ერთ-ერთი უმარტივესი და ფართოდ გამოყენებულია, მაგრამ ჩვეულებრივ გამოიყენება პროექტის შესახებ დამატებითი ინფორმაციის მისაღებად იმ შემთხვევებში, როდესაც მთავარია ინვესტიცია რაც შეიძლება მალე ანაზღაურდეს. გარდა ამისა, მეთოდი ასევე მოსახერხებელია მაღალი რისკის მქონე პროექტების გაანალიზებისას, ვინაიდან რაც უფრო მოკლეა ანაზღაურებადი პერიოდი, მით უფრო ნაკლებად სარისკოა პროექტი.

^ 2. საინვესტიციო პროექტების შეფასების მეთოდების გამოყენების თავისებურებები

ზემოთ აღწერილი მეთოდები მთლიანად სამართლიანია დამოუკიდებელი საინვესტიციო პროექტების ანალიზისას. ანუ ამ მეთოდების კრიტერიუმები მხოლოდ მაშინ არ ეწინააღმდეგება ერთმანეთს.

კონკურენტი პროექტების გაანალიზებისას ჩნდება განსხვავებული სიტუაცია, რომლის გათვალისწინების მნიშვნელობა განპირობებულია საწარმოებს შორის კონკურენციის გაზრდის სურვილით, რათა შემცირდეს პროექტების ღირებულება კომპანიების შიდა რეზერვების გამოყენებით. გარდა ამისა, ასეთი ვითარება შეიძლება წარმოიშვას მძიმე ფინანსური შეზღუდვების პირობებში.

განვიხილოთ ორი პროექტი, რომლებიც ერთმანეთს ეჯიბრებიან. გამოთვალეთ პროექტების წმინდა მიმდინარე ღირებულება, ისევე როგორც მათი შიდა ანაზღაურება, იმ პირობით, რომ დისკონტის განაკვეთი იქნება 11%.

ცხრილი 1

პროექტი	СF წლების მიხედვით (მილიონი რუბლი)					NPV r=11%	IRR
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV r=11%	IRR
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

როგორც ცხრილი 1-დან ჩანს, X1 პროექტის NPV იქნება 33,5 მილიონი რუბლი, რაც აშკარად სასურველია X2 პროექტის NPV - 22,4 მილიონი რუბლი. თუმცა, თუ ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ანაზღაურების შიდა კოეფიციენტზე, მაშინ უპირატესობა უნდა მიენიჭოს X2 პროექტს IRR = 35% X1 პროექტისთვის 26.7%. ამრიგად, NPV და IRR კრიტერიუმები კონფლიქტშია ერთმანეთთან, მიუხედავად იმისა, რომ ორივე მეთოდი ეფუძნება იმავე ფორმულას.

წარმოქმნილი პრობლემა ადვილად მოგვარდება, თუ უფრო დეტალურად განვიხილავთ IRR კრიტერიუმის არსს, რომლის გაანგარიშება ითვალისწინებს პროექტის შუალედური შემოსავლის რეინვესტირების შესაძლებლობას, რაც უზრუნველყოფს IRR-ის ტოლ ანაზღაურებას. მაგრამ არის თუ არა რეალური ანაზღაურების უზრუნველყოფა, თუ რეინვესტიციიდან შემოსავალი IRR-ზე ნაკლებია? როგორც მაგალითის შემდგომი განხილვა აჩვენებს, არა.

გამოვთვალოთ ინვესტორის შემოსავლის აბსოლუტური მნიშვნელობა მეოთხე წლის ბოლოს, ანუ, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროექტების სამომავლო ღირებულება (მომავლის ღირებულება), იმ პირობით, რომ რეინვესტირების მაჩვენებელი იქნება 11%.

FV (X1) \u003d 110 + 15 * (1 + 0.11) \u003d 126,65 მილიონი რუბლი,

FV (X2) \u003d 20 + 15 * (1 + 0,11) + 15 * (1 + 0,11) 2 + 40 * (1 + 0,11) 3 \u003d 109,84 მილიონი რუბლი.

მოდით განვსაზღვროთ ამ ოპერაციის მომგებიანობა შემდეგი დამოკიდებულების საფუძველზე:

რიგი მკვლევარები, IRR კრიტერიუმის ნაკლოვანებების გათვალისწინებით, შესთავაზეს მის ნაცვლად სხვა კრიტერიუმის გამოყენება - MIRR (მოდიფიცირებული IRR). MIRR არის მოსალოდნელი შემოსავალი, იმ პირობით, რომ პროექტის ყველა შუალედური შემოსავალი რეინვესტირდება ანაზღაურების მოცემული კურსით.

ცხრილი 2

როგორც მე-2 ცხრილიდან ჩანს, MIRR კრიტერიუმის გამოყენება ხსნის წინააღმდეგობას პროექტის განხორციელების შედეგის აბსოლუტურ და ფარდობით მაჩვენებლებს შორის. ახლა კითხვა მოხსნილია: უპირატესობა უნდა მიენიჭოს X1 პროექტს. გარდა ამისა, მომავალში, ორი კონკურენტი პროექტის შედარებისას, NPV საუკეთესო კრიტერიუმად უნდა ჩაითვალოს.

მოცემული მაგალითები ეყრდნობოდა წინააღმდეგობებს NPV და IRR კრიტერიუმებს შორის პროექტების ანალიზში იგივე რაოდენობის კაპიტალის ინვესტიციით. აქედან გამომდინარე, ასევე აუცილებელია განიხილოს სხვადასხვა საინვესტიციო მოცულობის კონკურენტი პროექტების ანალიზის მაგალითი.

ცხრილი 3

პროექტი	СF წლების მიხედვით (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

მე-3 ცხრილში წარმოდგენილი მონაცემების ანალიზი აჩვენებს, რომ IRR და MIRR კრიტერიუმები მიუთითებს X3 პროექტზე, ხოლო NPV კრიტერიუმი, რომელიც მთავარ კრიტერიუმად იქნა აღებული წინა მაგალითში, აშკარად X2 პროექტის მხარესაა. ანუ ამ ვითარებაში წარმოიშვა არაპროპორციული პროექტების პრობლემა (მასშტაბის პრობლემა). აქედან გამომდინარე, საბოლოო გადაწყვეტილების მიღება შესაძლებელია მხოლოდ CFo (X3) და CFo (X2) შორის განსხვავების შესაძლო ჩანერგვის გაანალიზების შემდეგ. ჩვენს მაგალითში, ეს განსხვავება 45 მილიონი რუბლია.

დავუშვათ, რომ გვაქვს შესაძლებლობა, ჩავდოთ ეს თანხები შემდეგი გზით:

ცხრილი 4

პროექტი	СF წლების მიხედვით (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

ახლა გასარკვევია რა არის სასურველი - X3 და X4 პროექტები თუ X2 პროექტი?

ცხრილი 5

პროექტი	СF წლების მიხედვით (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

მე-5 ცხრილში ასახული შედეგების გათვალისწინებით, სრულიად ცხადი ხდება, რომ ინვესტორი უარს იტყვის X2 პროექტზე ორი პროექტის X3 და X4 განხორციელების სასარგებლოდ. ამასთან, უნდა აღინიშნოს, რომ საბოლოო არჩევანი მაინც X1 პროექტი იქნება:

ცხრილი 6

პროექტი	СF წლების მიხედვით (მილიონი რუბლი)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
პროექტი	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

თუმცა, შეიძლება იყოს სიტუაციები, როდესაც, გარდა X3 და X4 პროექტებისა, აღარ არსებობს პროექტები დადებითი NPV-ით. ამ შემთხვევაში, აუცილებელია ფოკუსირება არა ანაზღაურებაზე, არამედ NPV-ზე.

უნდა აღინიშნოს, რომ მასშტაბის პრობლემა შეიძლება წარმოიშვას NPV - PI-ს შემთხვევაშიც. ამ შემთხვევაში, გადაწყვეტის მეთოდი მსგავსი იქნება.

ამრიგად, შეგვიძლია შემდეგი დასკვნის გაკეთება: სასურველია საინვესტიციო პროექტების ანალიზი ერთდროულად რამდენიმე მეთოდით, რაც მათ შესახებ დამატებითი მნიშვნელოვანი ინფორმაციის მოპოვების საშუალებას მოგცემთ.

^ 3. ინფლაციის აღრიცხვა პროექტების ანალიზში

ინფლაციის ეფექტის გათვალისწინება შესაძლებელია მომავალი შემოსულობების ან მისი ინდექსის დისკონტის განაკვეთის კორექტირებით. ამ შემთხვევაში მიზანშეწონილია შემდეგი დამოკიდებულების გამოყენება:

სადაც r nom არის ნომინალური საპროცენტო განაკვეთი;

R რეალური - რეალური საპროცენტო განაკვეთი;

λ არის ინფლაციის ზოგადი დონე.

მცირე ღირებულებებისთვის რდა λ ფორმულა (7) შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

R nom ≈ r eal + λ (8)

დისკონტის განაკვეთად შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ნომინალური, ასევე რეალური საპროცენტო განაკვეთები. არჩევანი დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ იზომება პროექტის ფულადი სახსრები. თუ ფულადი ნაკადი წარმოდგენილია რეალურ პირობებში (მუდმივი ფასებით), მაშინ რეალური საპროცენტო განაკვეთი უნდა იქნას გამოყენებული დისკონტირებისთვის.

თუმცა რეალური საპროცენტო განაკვეთების გამოყენება და ფულადი ნაკადების მუდმივი ფასებით გაანგარიშება არ იძლევა სტრუქტურულ ინფლაციას. ასეთ შემთხვევებში, გაანგარიშება უნდა განხორციელდეს მიმდინარე ფასებით:

თუმცა ამ უკანასკნელ შემთხვევაში საჭიროა ფასების ზრდის პროგნოზირების უნარი.

^ 4. რისკის აღრიცხვა ერთი პროექტის ანალიზისას

ერთი პროექტის რისკზე დაფუძნებული ანალიზი ტარდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საინვესტიციო პროექტი დამოუკიდებელია. ამ შემთხვევაში სავსებით საკმარისია ორი ინდიკატორის გამოყენება: მოსალოდნელი შემოსავალი და დაბრუნების სტანდარტული გადახრა (RMS), რომლებიც მთლიანად განსაზღვრავს ნორმალურ განაწილებას.

მოსალოდნელი შემოსავალი გამოითვლება შემდეგნაირად:

(11)

სადაც R i - გამოსავალი i-ე სცენარზე;

P i - მოვლენების განვითარების ალბათობა i-ე ვარიანტის მიხედვით;

N არის განხილული ვარიანტების რაოდენობა.

ამრიგად, ცხადია, რომ მოსალოდნელი ანაზღაურება არის ყველაზე სავარაუდო ანაზღაურება პროექტზე, ხოლო სტანდარტული გადახრა, რომელიც ზომავს მოსალოდნელი ანაზღაურების განსხვავებას, არის პროექტის რისკის მაჩვენებელი:

სხვადასხვა მოსალოდნელი შემოსავლის მქონე აქტივების რისკების შედარებისას, მიზანშეწონილია გამოიყენოთ ცვალებადობის კოეფიციენტი (ანუ ფარდობითი დისპერსიის საზომი):

(13)

ცხადია, რაც უფრო მაღალია SD და CV, მით უფრო მაღალია რისკი. მაგალითად, განიხილეთ ცხრილში 7-ში წარმოდგენილი შემთხვევითი ნიმუშის მონაცემები:

ცხრილი 7

პროექტი	რ		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
X2	11,0%	3,32	0,30
X3	12,2%	2,68	0,22

ამ მაგალითში X2 პროექტი არის ყველაზე ნაკლებად მომგებიანი და ამავდროულად ყველაზე სარისკო, შესაბამისად, ის დაუყოვნებლივ უნდა იქნას უარყოფილი და შემდგომი არჩევანი დამოკიდებული იქნება ინვესტორის დამოკიდებულებაზე რისკის მიმართ. თუ უარყოფითი იქნება, XZ პროექტი განხორციელდება. თუ ინვესტორი რისკებისადმი მიდრეკილია, უპირატესობა მიენიჭება XI-ს.

პრაქტიკა აჩვენებს, რომ ინვესტორები მუნიციპალური მოხელეების დონეზე ცდილობენ აირჩიონ მინიმალური რისკი. ამრიგად, ჩვენს შემთხვევაში, KhZ პროექტი მიიღება საინვესტიციოდ.

^ 5. რისკის აღრიცხვა პორტფელის ანალიზში

როგორც წესი, რისკის არასისტემური ნაწილის შესამცირებლად გამოიყენება დივერსიფიკაცია, რომელიც ეფუძნება ეფექტური პორტფელის შექმნას მისი აქტივების კორელაციის ანალიზით. ამასთან, უნდა აღინიშნოს, რომ აქ ყოველი ახალი ინვესტიცია მიმდინარე პორტფელის გათვალისწინებით უნდა იყოს გათვალისწინებული.

განვიხილოთ სამი პროექტისგან შემდგარი პორტფელის რისკის გამოთვლის მეთოდოლოგია მე-7 ცხრილში წარმოდგენილი მონაცემების მაგალითის გამოყენებით და ასევე იმ პირობით, რომ თითოეული პროექტი მიიღებს ინვესტირებული თანხის მესამედს.

პორტფელის დაბრუნება განისაზღვრება შემდეგნაირად:

(14)

სადაც R k არის k-ე პროექტის მოსალოდნელი მომგებიანობა;

X k - k-ე პროექტში დაბანდებული სახსრების წილი;

M - პორტფოლიოში არსებული პროექტების რაოდენობა.

ჩვენს მაგალითში:

რ პორტფოლიო = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

ჩვენს მაგალითში:

cov 12 = 7.34 და cov 13 = – 8,12.

ამრიგად, აშკარაა, რომ X1 და X2 პროექტების ანაზღაურება იცვლება იმავე მიმართულებით, ხოლო პროექტების X1 და X3, ასევე X2 და X3 - საპირისპირო მიმართულებით. თუმცა, ვინაიდან კოვარიანტობის აბსოლუტური მნიშვნელობა ძნელია ინტერპრეტაცია, ინდიკატორებს შორის ურთიერთდამოკიდებულების ხარისხი გამოითვლება კორელაციის კოეფიციენტის გამოყენებით:

r = +1-ზე, ინდიკატორები დროთა განმავლობაში იცვლება ზუსტად იგივე გზით, r = -1-ზე არის სრულიად უარყოფითი კორელაცია, ნული მიუთითებს ურთიერთობის არარსებობაზე.

ამ მაგალითში:

r 12 = 0.71, r 13 = -0.96 და r 23 = -0.6.

ცხადია, რისკის შესამცირებლად, ყველაზე მიზანშეწონილი იქნება პროექტების X1 და X3 პორტფელის კომბინაცია. ამასთან, აუცილებელია თავად პორტფელის რისკის გამოთვლა, პროექტებს შორის კორელაციის გათვალისწინებით:

გამოთვალეთ პორტფელის რისკი (X1, X3) თანაბარი კაპიტალის ინვესტიციის პირობებში:

ამრიგად, ჩვენი პორტფელის რისკი მნიშვნელოვნად დაბალია, ვიდრე მისი შემადგენელი პროექტების რისკები.< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

მრავალი პროექტის პორტფელის შედგენის მეთოდოლოგია იგივეა, რაც ორაქტივიანი პორტფელის შედგენისას.

1-ლ ნახატზე მოცემული ფართობით მითითებული პორტფოლიოების მთელი ნაკრებიდან აუცილებელია შეარჩიოთ ის პორტფელები, რომლებიც AB ხაზზეა - ისინი უზრუნველყოფენ მინიმალურ რისკს ყველაზე მაღალი მოსალოდნელი შემოსავლით. ამ შემთხვევაში, მათ შორის კონკრეტული არჩევანი დამოკიდებულია რისკისადმი ჩვენს დამოკიდებულებაზე. გრაფიკულად, არჩევანი რისკსა და ანაზღაურებას შორის გამოიხატება ინდიფერენტულობის მრუდებით, რომელთა უნიკალური ნაკრები არსებობს თითოეული ინდივიდისთვის იმ პიროვნების უპირატესობის რისკისა და შემოსავლის თვალსაზრისით.

ნახ.1 ოპტიმალური პორტფელის არჩევის პრობლემა.

სწორ ხაზს ურისკო აქტივზე დაბრუნების წერტილიდან AB პორტფელის შესაძლო მრუდის ტანგენტის წერტილისკენ, ეწოდება კაპიტალის ბაზრის ხაზს (CML) და ასახავს არჩევანს რისკის ანაზღაურების სისტემაში. წერტილი C ნახ. ამგვარად, 1 ასახავს ბაზრის პორტფელის რისკს და ანაზღაურებას. სარგებლიანობის უმაღლეს დონეს ინვესტორი აღწევს იმ წერტილში, როდესაც მისი გულგრილობის მრუდი რისკისა და უკუგების მიმართ ეხება კაპიტალის ბაზრის ხაზს. თუ ინვესტორი უპირატესობას ანიჭებს დარწმუნებას, მაშინ ეს წერტილი განთავსდება ბაზრის პორტფელის მარცხნივ (C-დან მარცხნივ); ინვესტორი ინვესტიციას ახორციელებს როგორც ურისკო, ასევე სარისკო აქტივებში და მის პორტფელს, შედეგად, აქვს დაბალი რისკი და დაბალი ანაზღაურება. თუ ინვესტორი უფრო რისკებისადმი მიდრეკილია, შეხების წერტილი იქნება ბაზრის პორტფელის მარჯვნივ (C-დან მარჯვნივ); თანხები ინვესტირდება უფრო სარისკო აქტივებში და პორტფელს აქვს მეტი რისკი და უფრო მაღალი შემოსავლები.

მრავალი აქტივისგან შემდგარი ოპტიმალური პორტფელის პოვნის პრობლემა, პრინციპში, შეიძლება გადაწყდეს შერჩევის პროცედურით - ჩვენ ვეძებთ პორტფელს, რომელსაც აქვს ყველაზე მაღალი მოსალოდნელი ანაზღაურება მოცემული რისკის დონისთვის. თუმცა პრაქტიკაში მიზანშეწონილია კაპიტალის განაწილების პრობლემის გადაჭრა ხაზოვანი პროგრამირების კვადრატული ვერსიის გამოყენებით.

განვსაზღვროთ პორტფელში i-ე აქტივის წილი ხარჯების მიხედვით:

სადაც CF OFt max არის საინვესტიციო პროგრამის მაქსიმალური დასაშვები ზომა t პერიოდისთვის.

განვიხილოთ რისკის შემაჯამებელი მაჩვენებელი:

ობიექტური ფუნქცია (20), რომელიც ამცირებს საბოლოო პორტფელის რისკს, სადაც ორობითი ცვლადი X i მოქმედებს პორტფელში მონაწილეობის კრიტერიუმად, რომლის ერთეულის ღირებულება მიუთითებს პორტფელში i-ე პროექტის შესვლაზე, და ნულოვანი მნიშვნელობა მიუთითებს i-th პროექტის ინვესტირებაზე უარს, ასე გამოიყურება:

შეზღუდვებით:

სადაც NPV min არის პორტფელის მინიმალური მისაღები წმინდა მიმდინარე ღირებულების ზომა;

T n - საინვესტიციო პროგრამის საწყისი პერიოდი;

T-დან - საინვესტიციო პროგრამის საბოლოო პერიოდი;

V k - კონკურენტი პროექტების ვექტორი;

V - კონკურენტი პროექტების ვექტორების ნაკრები;

N l - წინა პორტფელის პროექტების რაოდენობა, რომლებშიც T აღემატება შედგენილი პორტფელის T n-ს.

ცხადია, ობიექტური ფუნქციის (20) გამოთვლისას გამოიყენება დისპერსიულ-კოვარიანსული მატრიცის (19) მხოლოდ ის ნაწილი, რომელიც განლაგებულია მთავარ დიაგონალზე და მის ქვემოთ, რაც გამოწვეულია წყობილ მარყუჟში შემზღუდველი პირობის გამოყენებით. მაგრამ სვეტებზე, მაშინ როცა, ვინაიდან არსებობს ორი კოვარიანტობა თითოეული შესაძლო წყვილი პროექტისთვის, შემოღებულია გაორმაგების ფაქტორი წყობილი მარყუჟის მნიშვნელობებისთვის.

ამრიგად, ოპტიმიზაციის ამოცანაა განსაზღვროს რომელი პროექტები უნდა იქნას მიღებული ინვესტიციისთვის, რათა მოსალოდნელი შემოსავლის ოდენობა და რისკის დონე ოპტიმალურად შეესაბამებოდეს ინვესტორის მიზნებს, რომლებიც განისაზღვრება ობიექტური ფუნქციის მიმართულებით და ნაკრებით. შეზღუდვების შესახებ:

1. პორტფელის დისპერსიით (RMS) გაზომილი რისკი მინიმუმამდეა დაყვანილი.

2. პორტფელიდან მიღებული შემოსავალი, მიღებული პროექტების მოსალოდნელი წმინდა მიმდინარე ღირებულების დანამატის ინდიკატორის ტოლი, არ უნდა იყოს საჭირო თანხაზე, რომელიც მოცემულია საწყის საინვესტიციო პერიოდზე დისკონტირებული ღირებულებით.

3. წლიური ინვესტიციების ჯამური მოცულობა არ შეიძლება აღემატებოდეს საინვესტიციო პროგრამის ყოველი წლისათვის ცალ-ცალკე მოცემულ პერიოდში დადგენილ ხელმისაწვდომი (გამოყოფილი) სახსრების ზღვრებს.

4. პორტფელში შეიძლება შევიდეს მხოლოდ ერთი პროექტი, რომელიც წარმოადგენს კონკურენტ პროექტების იმავე ჯგუფს.

5. ახალი პორტფელის შედგენა ხდება მის შემადგენლობაში წინა პორტფელის იმ პროექტების სავალდებულო ჩართვის გათვალისწინებით, რომლის საინვესტიციო პროგრამის შესრულების ვადა აღემატება ახალი საინვესტიციო პროგრამის დაწყების პერიოდს. პორტფოლიო.

6. განხილული პროექტები არ ექვემდებარება დამსხვრევას.

აღწერილი ამოცანა მოიცავს უამრავ შეზღუდვას უთანასწორობის სახით, ძირითადად განსაზღვრავს გარკვეულ სფეროებში ინვესტირების ლიმიტებს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეუძლებელია იმის გარანტია, რომ მიღებული გამოსავალი იქნება ეფექტურობის ზღვარზე. ამგვარად, ჩვენ შეიძლება მივიღოთ უფრო სარისკო პორტფელი, მაგრამ არ დაგვჭირდება მთელი ჩვენი ფულის გამოყენება და/ან უფრო მაღალი შემოსავლის მიღებას შევძლებთ.

პორტფელის შედეგად მიღებული მახასიათებლების გაანგარიშება და გაცემა:

ბევრი შერჩეული პროექტი:

პორტფელის მოსალოდნელი წმინდა მიმდინარე ღირებულება:

პორტფელის მოსალოდნელი დაბრუნება:

პროექტის პორტფელის რისკი:

ფინანსური რესურსების დაზოგვა:

არსებობს "რისკის" ცნების სხვადასხვა განმარტება, ამიტომ, ზემოაღნიშნულის შეჯამებით, ჩვენ გავიგებთ რისკს, როგორც სიტუაციას, როდესაც არსებობს გარკვეული ქმედებების რამდენიმე შესაძლო შედეგი და ასევე არის საჭირო მონაცემები წარსული პერიოდებიდან, რაც შესაძლებელს ხდის გამოთვალეთ გარკვეული დამოკიდებულებები მომავალი შესაძლო შედეგების პროგნოზირებისთვის.

W. Sharp-ის მიერ შემუშავებული CAPM მოდელი (capital asset pricing model), რომელიც ფართოდ გამოიყენება პორტფელების შედგენისთვის, გამომდინარეობს იქიდან, რომ მნიშვნელოვანია თითოეული ცალკეული აქტივის მხოლოდ სისტემატური რისკის გათვალისწინება. თუმცა, გ. მარკოვიცის ნაშრომებმა დაამტკიცა მთლიანი რისკის გათვალისწინების მნიშვნელობა. ამიტომ წინა მსჯელობა სწორედ ამ წინაპირობას ეფუძნებოდა.

სისტემატური რისკი გამოწვეულია ისეთი ფაქტორებით, როგორიცაა ინფლაცია. ეკონომიკური კრიზისი, სხვა ზოგადი ბაზრის ფაქტორები.

არასისტემური რისკის არსებობა დაკავშირებულია შემთხვევით მოვლენებთან, რომლებიც გავლენას ახდენენ კონკრეტულ აქტივებზე ან კომპანიებზე.

ბიბლიოგრაფიული სია

ბარდ ვ.ს. ფინანსური და საინვესტიციო კომპლექსი: თეორია და პრაქტიკა რუსეთის ეკონომიკის რეფორმის კონტექსტში. - M: ფინანსები და სტატისტიკა, 1998. - 304გვ.
ბოგატინ იუ.ვ., შვანდარ ვ.ა. საინვესტიციო ანალიზი: სახელმძღვანელო სტუდენტური უნივერსიტეტებისთვის, ტრენინგი ეკონომიკაში; Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. - M.: UNITI, 2000. - 286გვ.
ბოგატინ იუ.ვ., შვანდარ ვ.ა. ბიზნესისა და ინვესტიციების ეფექტურობის შეფასება: სახელმძღვანელო სტუდენტური უნივერსიტეტებისთვის, ტრენინგი ეკონომიკაში სპეციალური.. - M: Finance, UNITY-DANA, 1999. - 256გვ.
ბოჩაროვი ვ.ვ. ინვესტიციების მართვა: სახელმძღვანელო. - პეტერბურგი და სხვა: პეტრე, 2000. - 152გვ. - მოკლე კურსი.
ბროდსკი მ.ნ., ბროდსკი გ.მ. სამართალი და ეკონომიკა: საინვესტიციო კონსულტაცია; პეტერბურგის სახელმწიფო ეკონომიკისა და საფინანსო უნივერსიტეტი. - SPb., 1999. - 488s.
ვახრინ პ.ი. ინვესტიციების ორგანიზება და დაფინანსება: (პრაქტიკული ამოცანების კრებული და კონკრეტული სიტუაციები): სახელმძღვანელო. - მ .: ინფორმ.-განხორციელების ცენტრი "მარკეტინგი", 1999. - 149გვ.
იგოშინი ნ.ვ. ინვესტიციები მენეჯმენტისა და დაფინანსების ორგანიზაცია: სახელმძღვანელო სტუდენტური უნივერსიტეტებისთვის, ტრენინგი ეკონომიკაში სპეციალური.. - M: ფინანსები, UNITI, 1999. - 414გვ.
კოვალევი ვ.ვ. ფინანსური ანალიზი კაპიტალის მართვა ინვესტიციების შერჩევა ანგარიშგების ანალიზი. - მე-2 გამოცემა, შესწორებული და დამატებითი .. - M .: ფინანსები და სტატისტიკა, 1997. - 511s.
კოლემაევი V.A. მათემატიკური ეკონომიკა. - მ.: ფინანსები და სტატისტიკა, 2003. - 206გვ.
Krushvits L. ფინანსები და ინვესტიციები ფინანსების თეორიის ნეოკლასიკური საფუძვლები: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის: თარგმანი გერმანულიდან.. - სანკტ-პეტერბურგი. და სხვა: პეტრე, 2000. - 381წ. - ძირითადი კურსი.
ლიმიტოვსკი მ.ა. საინვესტიციო და ფინანსური გადაწყვეტილებების შეფასების საფუძვლები. - მე-3 გამოცემა, დამატებითი და შესწორებული .. - M .: DeKA, 1998. - 231s.
საწარმოს ინვესტიციების ეფექტურობის შეფასება: მეთოდი.რეკომენდაციები დაწერის ორგ.-ეკონ. ტექ.სტუდენტების სადიპლომო პროექტის ნაწილი. სპეციალისტი.; სახელმწიფო ტექნიკური უნივერსიტეტის ეკონომიკისა და მენეჯმენტის დეპარტამენტი პროდიუსერი V.A. ნიკოლსკაია, A.G. ბოკიჩევა. - ტვერი, 2000. - 12წ.
სალმანოვი ო.ნ. მათემატიკური ეკონომიკა Mathcad-ისა და Excel-ის გამოყენებით. BHV-Petersburg, 2003. - 464გვ.
სერგეევი ი.ვ., ვერეტენნიკოვა ი.ი. ინვესტიციების ორგანიზება და დაფინანსება: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის, რომლებიც სწავლობენ ეკონომიკასა და სპეციალურ დარგებში; სერგეევი ი.ვ., ვერეტენნიკოვა ი.ი.-მ.: ფინანსები და სტატისტიკა, 2000. - 271წ.
ჰოლტ რ.ნ., ბარნს ს.ბ. საინვესტიციო დაგეგმვა: [სამეურვეო პროგრამა]: თარგმნა ინგლისურიდან.
ჩეტირკინი ე.მ. სამრეწველო ინვესტიციების ფინანსური ანალიზი; რუსეთის ფედერაციის მთავრობასთან არსებული ეროვნული ეკონომიკის აკადემიკოსი. - მ.: დელო, 1998. - 255გვ.
Sharp W.F., Alexander G.D. ინვესტიციები: თარგმანი ინგლისურიდან; მომზადებულია ფინანსური და მენეჯერული პერსონალის მომზადების ეროვნული ფონდის ფინანსური მხარდაჭერით საბანკო ბიზნესის პროგრამის ფარგლებში. - M.: INFRA-M, 1997. - 1024გვ.

პროგრამული უზრუნველყოფისა და ინფორმაციის მხარდაჭერა

Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
მონახოვი A.V. ეკონომიკური ანალიზის მათემატიკური მეთოდები. // www. ჩემი მაღაზია. ru.
კოლემაევი V.A. მათემატიკური ეკონომიკა.სახელმძღვანელო. // www. ჰუგაჰუგა. ru.

მათემატიკური ეკონომიკა. კოლემაევი V.A.

მე-2 გამოცემა, შესწორებული. და დამატებითი - მ.: 2002. - 399გვ.

ეკონომიკის სისტემატური ხედვა მოცემულია როგორც მაკროეკონომიკის, ისე მიკროეკონომიკის, ასევე ეკონომიკის საწარმოო და საფინანსო-საკრედიტო ქვესისტემების მათემატიკური მოდელების დახმარებით.

სახელმძღვანელო შედგება სექციებისაგან: „მაკროეკონომიკის მათემატიკური მოდელები“, „მიკროეკონომიკის მათემატიკური მოდელები“ და „ეკონომიკის ანალიზის, პროგნოზირებისა და რეგულირების მოდელები“. ეკონომიკის ფუნქციონალური სტრუქტურა აისახება ფასების, გადასახადების მოდელირებაში და ა.შ. ასახულია მე-20 საუკუნეში მათემატიკური ეკონომიკის ადგილობრივი და უცხოური სკოლების ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგები, ასევე ავტორის მიერ მიღებული ახალი შედეგები (1st ed. - UNITI, 1998).

მოცემულია კითხვები და ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

ეკონომიკური უნივერსიტეტების სტუდენტებისთვის, კურსდამთავრებულებისთვის და მასწავლებლებისთვის, ასევე მეცნიერებისთვის.

ფორმატი: djvu

ზომა: 26.1 მბ

ჩამოტვირთვა: Yandex.disk

შინაარსი
წინასიტყვაობა 3
შესავალი. ეკონომიკა, როგორც მათემატიკური მოდელირების ობიექტი 4
ნაწილი 1. მაკროეკონომიკის მათემატიკური მოდელები 14
თავი 1. მაკროეკონომიკის სტატიკური მოდელები 15
1.1. მაკროეკონომიკური წარმოების ფუნქციები 16
1.2. მოდელი Leontief 28
თავი 2. მაკროეკონომიკის ხაზოვანი დინამიური მოდელები დისკრეტული დროით 35
2.1. ეკონომიკა, როგორც დინამიური სისტემა 36
კეინსის დინამიური მოდელი 38
Samuelson-Hicks Model 40
2.2. Dynamic Leontief Model 44
2.3. ნეუმანის მოდელი 46
თავი 3. მაკროეკონომიკის ხაზოვანი დინამიური მოდელები უწყვეტი დროით 52
3.1. ეკონომიკური დინამიური სისტემების შესწავლის მათემატიკური მეთოდები 53
3.1.1. ხაზის დინამიური ელემენტი 54
3.1.2. მამრავლი 55
3.1.3. ამაჩქარებელი 56
3.1.4. ინერციული ბმული 57
3.1.5. ეკონომიკა კეინსის დინამიური მოდელის სახით, როგორც ინერციული რგოლი 59
3.1.6. გადაცემის ფუნქცია 60
3.1. 7. რხევადი ბმული 62
3.1.8. ეკონომიკა სამუელსონ-ჰიქსის მოდელის სახით, როგორც მეორე რიგის ხაზოვანი დინამიური რგოლი 67
3.1.9. დინამიური ბმული მახასიათებლები 68
3.2. დინამიური სისტემების, მათში გარდამავალი პროცესების ანალიზი და სინთეზი 72
3.2.1. სერიული კავშირის გადაცემის ფუნქცია 74
3.2.2. პარალელური კავშირის გადაცემის ფუნქცია 75
3.2.3. დახურული მარყუჟის გადაცემის ფუნქცია უკუკავშირით 76
3.2.4. მულტიპლიკატორის დანერგვა უკუკავშირის ციკლში კეინსის დინამიური მოდელით 77
3.2.5. ამაჩქარებლის დანერგვა პოზიტიური უკუკავშირის ციკლში კეინსის დინამიური მოდელით 80
3.2.5. წრფივი დინამიკური სისტემების სტაბილურობა 82
3.2. 7. ეკონომიკური სტაბილურობის პირობები Samuelson-Hicks-ის მოდელი 84-ის სახით
3.3. ხაზოვანი გამრავლებით დაკავშირებული დინამიური სისტემები 85
ეკონომია დინამიური სექტორთაშორისი ბალანსის სახით, როგორც მრავალჯერ დაკავშირებული ხაზოვანი დინამიური სისტემა 88
3.4. არაწრფივი დინამიური სისტემები. საბაზრო ციკლები ეკონომიკაში 90
3.4.1. კეინსის არაწრფივი დინამიური მოდელი 92
3.4.2. საბაზრო ციკლები ეკონომიკაში 94
3.5. დინამიური სისტემების ოპტიმალური კონტროლი 98
3.5.1. პონტრიაგინის მაქსიმალური პრინციპი 99
3.5.2. ოპტიმალურობის აუცილებელი პირობები (მაქსიმალური პრინციპი) 101
თავი 4. მაკროეკონომიკის მცირე სექტორის არაწრფივი დინამიური მოდელები 103
4.1. მოდელი Solow 105
4.1.1. გარდამავალი რეჟიმი Solow მოდელი 108-ში
4.1.2. პროგრამული უზრუნველყოფის დაგროვების ოქროს წესი
4.1.3. მოგება, მიმდინარე მოხმარებაში - ზარალი, მოკლევადიან პერიოდში 111
4.2. თანხების შეყვანისას დაგვიანების აღრიცხვა 112
4.3. ოპტიმალური ეკონომიკური ზრდის ერთსექტორიანი მოდელი 116
4.4. ეკონომიკის სამ სექტორიანი მოდელი 122
4.5. რუსეთის ეკონომიკის სექტორების წარმოების ფუნქციები 126
4.6. სტაგნაციის მოდელირება და დაბალანსებული ეკონომიკური ზრდა 130
4.6.1. სტაგნაცია 131
4.6.2. დაბალანსებული ეკონომიკური ზრდა 134
4.7. დაბალანსებული სტაბილური მდგომარეობის შესწავლა 147
4.7.1. სექტორებს შორის შრომისა და ინვესტიციების განაწილების ოქროს წესი 149
4.7.3. ტექნოლოგიური ოპტიმუმის განსაზღვრის ალტერნატიული გზა 157
ნაწილი II. მიკროეკონომიკის მათემატიკური მოდელები 163
თავი 5. მომხმარებელთა ქცევის ნიმუშები 164
5.1. მომხმარებელთა პრეფერენციები და სასარგებლო ფუნქცია 165
მომხმარებელთა ქცევის მოდელი 167
5.2. სლუცკის განტოლება 168
5.2.1. მოთხოვნის ცვლილება ფასის მატებასთან ერთად კომპენსაციასთან ერთად 169
5.2.2. მოთხოვნის ცვლილება შემოსავლის ცვლილებით 170
თავი 6 პროდიუსერის ქცევის ნიმუშები 173
6.1. ფირმა მოდელი 174
6.1. 1 მწარმოებლის რეაქცია გამოშვების ფასის ცვლილებაზე 180
6.1.2. მწარმოებლის რეაქცია რესურსის ფასის ცვლილებაზე 181
6.2. ფირმების ქცევა კონკურენტულ ბაზრებზე 185
6.2.1. კურნოს წონასწორობა 187
თავი 7. მომხმარებელთა და მწარმოებლებს შორის ურთიერთქმედების მოდელები 191
7.1. წონასწორული ფასის მოდელები 192
7.1.1. Cobweb 193
7.1. 2. ევანსი მოდელი 195
7.2. Walras Model 197
ნაწილი III. ეკონომიკის ანალიზის, პროგნოზირებისა და რეგულირების მოდელები 201
თავი 8. საბაზრო ეკონომიკის მათემატიკური მოდელები 202
8.1. კლასიკური საბაზრო ეკონომიკის მოდელი 203
8.1.1. შრომის ბაზარი 204
8.1.2. ფულის ბაზარი 206
8.2. კეინსის მოდელი 208
8.3. ფინანსური ბაზრის მათემატიკური მოდელები 212
8.3.1. ფინანსური ოპერაციები 213
8.3.2. ფინანსური რისკი 217
8.3.3. წონასწორობა ფასიანი ქაღალდების ბაზარზე 230
8.4. სავალუტო კრიზისების და ფინანსური რისკების პროგნოზირება 232
8.4.1. ფინანსური რისკის პროგნოზირების მოდელი 233
8.4.2. სავალუტო კრიზისების პროგნოზირება 236
თავი 9 ინფლაციის მოდელირება 239
9.1. ინფლაციის არსი 240
9.2. ინფლაციის შესწავლა ეკონომიკის სამ სექტორიანი მოდელის გამოყენებით 244
9.2.1. ინფლაციის პირველი ნახევარი 246
9.2.2. ინფლაციის მეორე ნახევარი 247
9.3. ინფლაციის გაჩენისა და თვითშენარჩუნების პირობები 249
9.4. ინფლაციის გავლენა წარმოებაზე 250
თავი 10. ეკონომიკის სახელმწიფო რეგულირების მათემატიკური მოდელები 260
10.1. გადასახადების როლი და ფუნქციები საზოგადოებაში 261
10.2. გადასახადები სამ სექტორულ ეკონომიკაში 266
10.3. გადასახადების ზრდის გავლენა წარმოებასა და მოხმარებაზე 274
თავი 11 საგარეო ვაჭრობის მოდელირება 280
11.1. ღია სამსექტორიანი ეკონომიკის მოდელი 281
11.2. ეროვნული ეკონომიკის მსოფლიო ბაზარზე შესვლის შესაძლებლობისა და მიზანშეწონილობის პირობები 285
11.2.1. მსოფლიო ბაზარზე შესვლა ფონდის შემქმნელ სექტორში შემოსული რესურსების წილების დაფიქსირებისას 287
11.3. საგარეო ვაჭრობის ოქროს წესი 292
11.3.1. რესურსების განაწილების ოქროს წესი 295
11.4. საგარეო ვაჭრობის გავლენა ეროვნულ ეკონომიკაზე 300
11.4.1. რესურსების გადანაწილება მატერიალურ და სამომხმარებლო სექტორებს შორის 301
11.4.2. რესურსების გადანაწილება მატერიალურ და ფონდის შემქმნელ სექტორებს შორის 305
თავი 12. სოციალური განვითარების მიზნის მოდელირება 308
12.1. საზოგადოებრივი არჩევანის მათემატიკური თეორია 311
12.2. თანამშრომლობისა და კონკურენციის მოდელები 327
12.2.1. Co-op თამაშები 328
12.2.2. თანამშრომლობა და კონკურენცია სამ სექტორულ ეკონომიკაში* 332
12.3. სამეცნიერო და ტექნოლოგიური პროგრესის სიმულაცია 337
12.3.1. მეცნიერული და ტექნოლოგიური პროგრესის ევოლუციური მოდელები 338
12.3.2. ტექნოლოგიური ცვლილების მოდელი 339
12.3.3. სამ სექტორიანი ეკონომიური გადაიარაღების მოდელი 344
აპლიკაციები 349
დანართი 1. პირდაპირი ხარჯების განუყოფელი მატრიცის თვისებები 350
დანართი 2. წრფივი დიფერენციალური განტოლებები და წრფივი დიფერენციალური განტოლებების სისტემები მუდმივი კოეფიციენტებით 353
დანართი 3. გამონათქვამების შესწავლა, რომლებიც განსაზღვრავენ სამ სექტორიანი ეკონომიკის ქცევას სტაციონარულ მდგომარეობაში 358
დანართი 4. ოპტიმალური დაბალანსებული ზრდა სამ სექტორულ ეკონომიკაში 364
დანართი 5. კუნ-ტაკერის პირობები 382
ლიტერატურა 386

მსგავსი სტატიები