수학 경제학 강의. 수학 경제학의 과정에서 문제의 모음입니다. 경제학 응용 수학

18.01.2022

경제 관계는 인간 생활의 모든 영역에 침투합니다. 그들의 패턴에 대한 연구는 고대 철학자들의 마음을 사로 잡았습니다. 점진적인 발전 농업, 사유 재산의 출현은 경제 관계의 복잡성과 최초의 경제 시스템 건설에 기여했습니다. 과학 - 기술적 진보육체 노동에서 기계 노동으로의 전환을 결정짓는 노동력은 생산의 통합, 그리고 이에 따른 경제적 유대와 구조의 확장에 강력한 자극을 주었습니다. 현대 사회에서 경제학은 다른 관련 사회 과학과 함께 점점 더 고려되고 있습니다. 즉, 두 방향이 교차하는 지점에서 실제로 적용할 수 있는 다양한 솔루션이 있습니다.

수세기 동안 많은 국가의 과학자들이 법률을 연구하는 특수 학교를 만들었지만 경제학의 가장 근본적인 방향은 19세기 중반에 이르러서야 형성되었습니다. 경제 생활사람들의. 이 시점에서만 과학자들은 무슨 일이 일어나고 있는지에 대한 정성적 평가 외에도 경제에서 실제 사건을 조사하고 비교하기 시작했습니다. 고전 경제학의 발전은 경제 시스템의 좁은 영역을 연구하는 응용 분야의 형성에 기여했습니다.

경제 이론 연구의 주요 주제는 제한된 자원 조건에서 증가하는 수요를 충족시키는 측면에서 다양한 조직 수준의 경제에 대한 최적의 솔루션을 찾는 것입니다. 경제학자들은 연구에 다양한 방법을 사용합니다. 그 중 가장 일반적으로 사용되는 것은 다음과 같습니다.

일반 요소를 평가하거나 개별 구조를 일반화할 수 있는 방법. 그들은 분석 및 합성 방법이라고합니다.
귀납과 연역은 특수한 것에서 일반적인 것으로 또는 그 반대로 과정의 역학을 고려하는 것을 가능하게 합니다.
체계적인 접근은 경제의 개별 요소를 구조로 보고 분석하는 데 도움이 됩니다.
실제로 추상화 방법이 널리 사용됩니다. 그것은 당신이 그것의 관계 및 외부 요인에서 연구 대상 또는 현상을 분리할 수 있습니다.
다른 과학과 마찬가지로 수학의 언어는 경제의 연구된 요소를 시각화하고 필요한 추세 예측을 분석하거나 형성하는 데 도움이 되는 경제학에서 자주 사용됩니다.

수학적 경제학의 본질

현대 경제학은 연구하는 시스템의 복잡성으로 구별됩니다. 일반적으로 한 경제 대리인은 한 번에 매일 많은 관계를 맺습니다. 기업에 대해 이야기하면 내부 및 외부 상호 작용의 수가 수천 배 증가합니다. 경제학자와 과학자가 직면한 연구 및 분석 작업을 용이하게 하기 위해 수학 언어가 사용됩니다. 수학적 도구의 개발은 경제 이론에서 사용되는 다른 방법의 힘을 넘어서는 문제를 해결하는 것을 가능하게 합니다.

수리 경제학은 경제 이론의 응용 분야입니다. 주요 본질은 경제 시스템을 설명, 연구 및 분석하기 위한 수학적 방법, 수단 및 도구의 적용에 있습니다. 그러나 이 분야에는 고유한 특성이 있습니다. 그녀는 공부하지 않는다 경제 현상그러나 수학적 모델과 관련된 계산을 다룹니다.

비고 1

대부분의 응용 분야와 마찬가지로 수리 경제학의 목표는 객관적인 정보의 형성과 실제 문제에 대한 솔루션의 탐색이라고 할 수 있습니다. 우선 역학에서 경제 주체의 행동뿐만 아니라 양적, 질적 지표를 연구합니다.

앞으로의 도전 수학적 경제학, 다음과 같다:

과정과 현상을 설명하는 수학적 모델의 구성 경제 시스템오.
경제 관계의 다양한 주제의 행동 연구.
계획, 예측, 역학의 다양한 종류의 이벤트 구성 및 평가에 대한 지원 구현.
수학적 및 통계적 값의 분석을 수행합니다.

경제학 응용 수학

사회적 의미에서 수학 경제학은 수학에 충분히 가깝습니다. 우리가 수학 과학의 측면에서 이 분야를 고려한다면, 그것은 적용된 방향입니다. 응용수학은 기본적인 수학적 지식을 바탕으로 다양한 기능을 가지고 있기 때문에 가장 복잡한 경제 시스템의 개별 요소를 고려하고 분석할 수 있습니다. 이러한 수학의 가능성은 수학적 생태학, 사회학, 언어학, 금융 수학의 출현에 기여했습니다.

경제 시스템 연구에 사용되는 가장 중요한 수학적 방법을 고려하십시오.

운영 연구는 시스템의 프로세스와 현상에 대한 연구를 다룹니다. 여기에는 분석 작업과 얻은 결과의 실제 적용 최적화가 포함됩니다.
수학적 모델링에는 과학자와 경제학자가 직면한 문제를 해결할 수 있는 광범위한 방법과 도구가 포함됩니다. 가장 일반적으로 사용되는 것은 게임 이론, 서비스 이론, 스케줄링 이론, 인벤토리 이론입니다.
수학의 최적화는 최대값과 최소값 모두의 극단값 검색을 처리합니다. 이러한 목적을 위해 일반적으로 함수 그래프가 사용됩니다.

위에 나열된 수학 방법을 사용하면 경제의 통계적 상황이나 단기적인 프로세스를 연구할 수 있습니다. 아시다시피 현재 경제 주체의 주요 목표는 장기적인 균형을 찾는 것입니다. 이러한 연구에서 중요한 것은 최적해의 이론인 계산에 대한 확률 이론을 적용하여 고려할 수 있는 시간 요인입니다.

비고 2

따라서 수학과 경제학은 밀접한 관련이 있습니다. 경제 구조의 역학을 수학적 모델로 표현하는 것이 일반적이며, 이를 별도의 하위 작업으로 나눌 수 있고 가능한 모든 방법을 적용할 수 있습니다. 경제 분석, 뿐만 아니라 수학적 계산. 경제 영역에서의 의사 결정은 사용 가능한 정보의 불완전성 및 불완전성과 관련이 있기 때문에 다소 복잡한 조치입니다. 수학적 모델링을 사용하면 관리 결정의 위험을 줄일 수 있습니다.

연방 교육 기관

주립 공과 대학

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정보시스템학과

수리경제학

강의 노트

전공의 3학년생을 대상으로

"응용정보학(경제학)"

트베르 2009

1. 평가 방법 투자 프로젝트

현재 선진국에서는 시장 경제투자 프로젝트 분석에서 복리 논리에 기반한 할인 기법이 널리 사용되기 시작했습니다. 따라서 이 섹션에서는 이러한 방법을 사용할 때의 본질과 이점에 대해 설명합니다.

^ 1.1 순현재가치법

순 현재 가치는 차액으로 계산됩니다.
수입과 지출의 한 시점으로 할인
프로젝트별:

여기서 CF INt - 기간 t에 대한 현금 유입;

CF OFt - 기간 t에 대한 현금 유출;

R - 할인율;

N - 프로젝트 수명 주기.

투자가 초기 기간에 일회성 투자인 경우 NPV 계산 공식은 다음과 같습니다.

여기서 C 0 - 제로 기간의 자본 투자.

결정을 내릴 때 이 기준을 사용하는 것은 매우 간단합니다. 양수 NPV 값은 투자자가 필요한 수준을 초과하여 받게 될 소득 금액을 나타냅니다. NPV가 0인 경우 투자자는 자본을 반환할 뿐만 아니라 할인율로 지정된 금액만큼 자본을 증가시킵니다. 결과 음수 NPV는 프로젝트가 거부되어야 함을 나타냅니다.

NPV는 시간이 지남에 따라 추가된다는 점에 유의해야 합니다. 이 속성을 사용하면 오늘의 순 가치를 요약할 수 있습니다. 다양한 프로젝트, 이는 투자 포트폴리오의 최적성을 분석할 때 매우 중요합니다.

^ 1.2 투자 수익률 지수 계산 방법

수익성 지수는 할인된 이익과 프로젝트 비용의 비율입니다. 즉, 예를 들어 일회성 투자와 관련하여 다음 공식에 따라 계산됩니다.

PI>1의 값인 경우 프로젝트는 수익성이 있습니다. 파이라면<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

NPV 지표에 비해 이 지표의 장점은 상대적이라는 것입니다. 따라서 NPV 값이 거의 동일한 다수의 대안 프로젝트 중에서 하나의 프로젝트를 선택해야 하는 경우와 총 NPV 값이 최대인 투자 포트폴리오를 구성할 때 사용하기 쉽습니다.

이러한 과제는 선택할 수 있는 매력적인 투자 프로젝트가 여러 개 있지만 제한된 재정 자원으로 인해 투자자가 모든 프로젝트에 동시에 참여할 수 없는 경우에 발생합니다. 그런 다음 각 프로젝트에 대해 PI를 계산하고 프로젝트는 PI의 내림차순으로 순위가 매겨집니다. 투자 포트폴리오에는 총 자금 조달이 가능한 첫 번째 m-프로젝트가 포함됩니다.

다음 프로젝트가 분할에 적합하면 자금을 조달할 수 있는 부분의 포트폴리오에도 포함됩니다.

^ 1.3 투자 수익률 계산 방법

수익률(내부 수익률)은 프로젝트의 순 현재 가치가 0일 때의 이자율 값입니다.

여기서 IRR은 수익률(내부 수익률)입니다.

IRR 값은 어떤 방식으로든 해당 프로젝트와 연관될 수 있는 최대 허용 상대 비용 수준을 보여줍니다. 예를 들어, 프로젝트가 대출로 완전히 자금이 조달된 경우 IRR 값은 은행 이자율의 상한선을 나타내며 초과하면 프로젝트를 수익성이 없게 됩니다.

IRR을 결정하기 위해 계산 또는 계산 그래픽 방법이 사용됩니다. 첫 번째 경우에는 연간 현금 흐름(필요한 자본 투자 고려)이 1% 단위로 다양한 시험 할인율로 할인됩니다. 이렇게 하면 일련의 해당 순 현재 가치가 생성되며, 가장 작은 양수 값은 고려해야 할 정확한 수익률을 나타냅니다.

계산 및 그래픽 방법의 사용은 좌표계에서 수익률이 세로 축을 따라 표시되고 순 오늘의 값이 가로 축을 따라 표시된다는 사실로 귀결됩니다. 그런 다음 두 개의 수익률에 해당하는 두 개의 NPV 값이 계산됩니다. 이 두 점 사이에 직선이 그려지며 수직 축과의 교차점이 내부 수익률의 추정치입니다. 그러나 얻은 값을 0으로 확인하고 필요한 경우 조정해야 한다는 점에 유의해야 합니다.

^ 1.4 할인된 회수기간을 결정하는 방법

할인된 회수 기간은 투자자가 필요한 수준의 수익성을 보장하면서 초기 비용을 완전히 반환하는 기간입니다.

여기서 T는 할인된 투자 회수 기간입니다.

PV는 투자의 현재 가치입니다.

이 방법은 가장 간단하고 가장 널리 사용되는 방법 중 하나이지만 일반적으로 투자가 가능한 한 빨리 수익을 내는 것이 중요한 경우 프로젝트에 대한 추가 정보를 얻는 데 사용됩니다. 또한 투자 회수 기간이 짧을수록 프로젝트의 위험도가 낮기 때문에 위험도가 높은 프로젝트를 분석할 때도 편리합니다.

^ 2. 투자 프로젝트 평가 방법 적용의 특징

위에서 설명한 방법은 독립적인 투자 프로젝트를 분석할 때 전체적으로 공정합니다. 즉, 이러한 방법의 기준은 서로 충돌하지 않습니다.

경쟁 프로젝트를 분석할 때 다른 상황이 발생하는데, 이는 회사의 내부 준비금을 사용하여 프로젝트 비용을 줄이기 위해 기업 간의 경쟁을 증가시키려는 욕구로 인한 것입니다. 또한 이러한 상황은 심각한 재정적 제약 하에서 발생할 수 있습니다.

서로 경쟁하는 두 프로젝트를 고려하십시오. 할인율이 11%인 경우 프로젝트의 순 현재 가치와 내부 수익률을 계산합니다.

1 번 테이블

프로젝트	연도별 СF(백만 루블)					r=11%에서 NPV	IRR
프로젝트	0	1	2	3	4	r=11%에서 NPV	IRR
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

표 1에서 알 수 있듯이 X1 프로젝트의 NPV는 3,350만 루블이며, 이는 X2 프로젝트의 NPV인 2,240만 루블보다 분명히 바람직합니다. 그러나 내부 수익률에 초점을 맞추면 IRR = 35%인 X2 프로젝트가 X1 프로젝트의 경우 26.7%보다 우선 적용되어야 합니다. 따라서 NPV 및 IRR 기준은 두 방법이 동일한 공식을 기반으로 한다는 사실에도 불구하고 서로 충돌합니다.

발생한 문제는 IRR 기준의 본질을 더 자세히 고려하면 쉽게 해결됩니다. IRR 기준의 계산은 IRR과 동일한 수익을 제공하는 프로젝트의 중간 소득을 재투자할 가능성을 제공합니다. 그러나 재투자 수익률이 IRR보다 낮은 경우 그러한 수익률을 보장하는 것이 현실적입니까? 예를 더 자세히 살펴보면 그렇지 않다는 것을 알 수 있습니다.

재투자율이 11%라고 가정했을 때 4년차 말 투자자 소득의 절대가치, 즉 프로젝트의 미래가치(미래가치)를 계산해보자.

FV (X1) \u003d 110 + 15 * (1 + 0.11) \u003d 1억 2,665만 루블,

FV (X2) \u003d 20 + 15 * (1 + 0.11) + 15 * (1 + 0.11) 2 + 40 * (1 + 0.11) 3 \u003d 1억 984만 루블.

다음 종속성을 기반으로 이 작업의 수익성을 결정해 보겠습니다.

많은 연구자들은 IRR 기준의 단점을 고려하여 MIRR(수정된 IRR) 대신 다른 기준을 사용할 것을 제안했습니다. MIRR은 프로젝트의 모든 중간 소득이 주어진 수익률로 재투자되는 경우 예상 수익입니다.

표 2

표 2에서 알 수 있듯이 MIRR 기준을 사용하면 프로젝트 수행 결과의 절대 지표와 상대 지표 간의 모순이 제거됩니다. 이제 질문이 제거되었습니다. X1 프로젝트에 우선권이 주어져야 합니다. 또한 향후 두 개의 경쟁 프로젝트를 비교할 때 NPV가 가장 좋은 기준으로 고려되어야 합니다.

주어진 예는 동일한 자본 투자 금액으로 프로젝트 분석에서 NPV와 IRR 기준 간의 모순을 기반으로 합니다. 따라서 투자 규모가 다른 경쟁 프로젝트에 대한 분석의 예도 고려할 필요가 있습니다.

표 3

프로젝트	연도별 СF(백만 루블)					NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
프로젝트	0	1	2	3	4	NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

표 3에 제시된 데이터의 분석은 IRR 및 MIRR 기준이 X3 프로젝트를 가리키는 반면, 이전 예에서 주요 기준으로 취한 NPV 기준은 분명히 X2 프로젝트 측면에 있음을 보여줍니다. 즉, 이 상황에서 불균형적인 프로젝트의 문제(규모의 문제)가 발생했습니다. 따라서 여기에서 최종 결정은 CFo(X3)와 CFo(X2) 간의 차이가 포함될 가능성을 분석한 후에만 내릴 수 있습니다. 이 예에서 이 차이는 4,500만 루블입니다.

이러한 자금을 다음과 같은 방식으로 투자할 기회가 있다고 가정합니다.

표 4

프로젝트	연도별 СF(백만 루블)					NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
프로젝트	0	1	2	3	4	NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

이제 X3 및 X4 프로젝트 또는 X2 프로젝트 중 어떤 것이 바람직한지 찾아야 합니다.

표 5

프로젝트	연도별 СF(백만 루블)					NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
프로젝트	0	1	2	3	4	NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

표 5에 반영된 결과를 고려할 때 투자자는 X3 및 X4 프로젝트의 실행을 위해 X2 프로젝트를 거부할 것이 분명해집니다. 동시에 최종 선택은 여전히 X1 프로젝트라는 점에 유의해야 합니다.

표 6

프로젝트	연도별 СF(백만 루블)					NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
프로젝트	0	1	2	3	4	NPV(r=11%)	IRR	미르 (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

그러나 X3 및 X4 프로젝트를 제외하고 NPV가 양수인 프로젝트가 더 이상 없는 상황이 있을 수 있습니다. 이 경우 수익률이 아닌 NPV에 초점을 맞출 필요가 있다.

NPV - PI의 경우에도 규모의 문제가 발생할 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 이 경우 해결 방법은 유사합니다.

따라서 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 한 번에 여러 가지 방법으로 투자 프로젝트를 분석하는 것이 바람직하며 이에 대한 추가 중요한 정보를 얻을 수 있습니다.

^ 3. 프로젝트 분석에서 인플레이션에 대한 설명

인플레이션의 영향은 지수에 대한 미래 수입 또는 할인율을 조정하여 고려할 수 있습니다. 이 경우 다음 종속성을 사용하는 것이 좋습니다.

여기서 r nom은 명목 이자율입니다.

R 실질 - 실질 이자율;

λ는 인플레이션의 일반적인 수준입니다.

작은 값의 경우 아르 자형그리고 λ 식 (7)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

R nom ≈ 실수 + λ (8)

명목이자율과 실질이자율을 모두 할인율로 사용할 수 있습니다. 선택은 프로젝트의 현금 흐름을 측정하는 방법에 따라 다릅니다. 현금 흐름이 실질 기준으로(일정한 가격으로) 표시되는 경우 실질 이자율을 할인에 사용해야 합니다.

그러나 실질이자율을 사용하고 일정한 가격으로 현금흐름을 계산하는 것은 구조적 인플레이션을 허용하지 않는다. 이러한 경우 계산은 현재 가격으로 수행해야 합니다.

그러나 후자의 경우에는 물가상승을 예측할 수 있는 능력이 요구된다.

^ 4. 단일 프로젝트 분석의 위험 회계

단일 프로젝트의 위험 기반 분석은 투자 프로젝트가 독립적인 경우에만 수행됩니다. 이 경우 정규 분포를 완전히 결정하는 기대 수익률과 수익률의 표준 편차(RMS)라는 두 가지 지표를 사용하는 것으로 충분합니다.

예상 수익은 다음과 같이 계산됩니다.

(11)

여기서 R i - i 번째 시나리오에 대한 수율;

Pi - i 번째 옵션에 따른 이벤트 발생 확률;

N은 고려되는 옵션의 수입니다.

따라서 예상 수익이 프로젝트의 가장 가능성 있는 수익이고, 기대 수익의 분산을 측정하는 표준 편차가 프로젝트의 위험을 나타내는 지표임이 분명합니다.

기대 수익이 다른 자산의 위험을 비교할 때 변동 계수(즉, 상대 분산 측정)를 사용하는 것이 좋습니다.

(13)

분명히 SD와 CV가 높을수록 위험이 높아집니다. 예를 들어, 표 7에 제시된 무작위 샘플 데이터를 고려하십시오.

표 7

프로젝트	아르 자형		이력서
X1	12,5%	3,12	0,25
X2	11,0%	3,32	0,30
x3	12,2%	2,68	0,22

이 예에서 X2 프로젝트는 수익성이 가장 낮고 동시에 가장 위험하므로 즉시 거부해야 하며 추가 선택은 위험에 대한 투자자의 태도에 달려 있습니다. 음수이면 XZ 프로젝트가 구현됩니다. 투자자가 위험을 회피하는 경우 XI가 선호됩니다.

관행에 따르면 시 공무원 수준의 투자자는 최소 위험을 선택하려고 합니다. 따라서 우리의 경우 KhZ 프로젝트가 투자에 허용됩니다.

^ 5. 포트폴리오 분석의 위험 회계

일반적으로 위험의 비 체계적 부분을 줄이기 위해 자산의 상관 관계를 분석하여 효과적인 포트폴리오를 만드는 것을 기반으로하는 분산이 사용됩니다. 동시에 여기에 있는 각각의 새로운 투자는 현재 포트폴리오를 고려하여 고려해야 한다는 점에 유의해야 합니다.

표 7의 데이터를 예로 들어 각 프로젝트가 투자 금액의 3분의 1을 받는다는 조건으로 3개의 프로젝트로 구성된 포트폴리오의 위험을 계산하는 방법론을 고려해보자.

포트폴리오 수익률은 다음과 같이 결정됩니다.

(14)

여기서 R k는 k 번째 프로젝트의 예상 수익성입니다.

X k - k 번째 프로젝트에 투자된 자금의 지분;

M - 포트폴리오의 프로젝트 수.

우리의 예에서:

아르 자형 포트폴리오 = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

우리의 예에서:

코브 12 = 7.34 및 코브 13 = – 8,12.

따라서 프로젝트 X1 및 X2의 수익이 동일한 방향으로 변경되고 프로젝트 X1 및 X3, X2 및 X3의 수익이 반대 방향으로 변경됨이 분명합니다. 그러나 공분산의 절대값은 해석하기 어렵기 때문에 다음과 같은 상관계수를 이용하여 지표간 상호의존도를 계산한다.

r = +1에서 지표는 정확히 같은 방식으로 시간이 지남에 따라 변합니다. r = -1에서는 완전히 음의 상관 관계가 있고 0은 관계가 없음을 나타냅니다.

이 예에서:

r 12 = 0.71, r 13 = -0.96 및 r 23 = -0.6.

분명히 위험을 줄이기 위해 프로젝트 X1과 X3의 포트폴리오를 결합하는 것이 가장 적절할 것입니다. 그러나 동시에 프로젝트 간의 상관 관계를 고려하여 포트폴리오 위험 자체를 계산해야 합니다.

동일 지분 투자 조건에서 포트폴리오 위험(X1, X3)을 계산합니다.

따라서 우리 포트폴리오의 위험은 구성 프로젝트의 위험보다 훨씬 낮습니다.< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

여러 프로젝트의 포트폴리오를 컴파일하는 방법은 2개 자산 포트폴리오를 컴파일하는 방법과 동일합니다.

그림 1의 영역으로 표시된 전체 포트폴리오 세트 중에서 AB 라인에 있는 포트폴리오를 선택해야 합니다. 이러한 포트폴리오는 가장 높은 기대 수익률과 최소 위험을 제공하는 포트폴리오입니다. 이 경우 그들 중 구체적인 선택은 위험에 대한 우리의 태도에 달려 있습니다. 그래픽으로 위험과 수익 사이의 선택은 무차별 곡선으로 표현되며, 무차별 곡선은 위험과 수익에 대한 개인의 선호도 측면에서 각 개인에 대해 고유한 집합이 존재합니다.

그림 1 최적의 포트폴리오를 선택하는 문제.

무위험 자산의 수익점에서 가능한 포트폴리오 곡선 AB의 접선점을 지나는 직선을 자본시장선(CML)이라고 하며 위험-수익 시스템의 선택을 반영합니다. 그림의 점 C. 따라서 1은 시장 포트폴리오의 위험과 수익을 반영합니다. 최고 수준의 효용은 투자자의 위험과 수익에 대한 무차별 곡선이 자본 시장의 선에 닿는 지점에서 달성됩니다. 투자자가 확실성을 선호하는 경우 이 지점은 시장 포트폴리오 왼쪽(C 왼쪽)에 위치합니다. 투자자는 무위험 자산과 위험 자산 모두에 투자하며, 결과적으로 그의 포트폴리오는 위험이 낮고 수익이 낮습니다. 투자자가 더 위험을 회피한다면 접점은 시장 포트폴리오의 오른쪽(C의 오른쪽)이 될 것입니다. 펀드는 더 위험한 자산에 투자하고 포트폴리오는 더 위험하고 더 높은 수익을 냅니다.

많은 자산으로 구성된 최적의 포트폴리오를 찾는 문제는 원칙적으로 선택 절차에 의해 해결될 수 있습니다. 우리는 주어진 위험 수준에 대해 가장 높은 기대 수익을 가진 포트폴리오를 찾고 있습니다. 그러나 실제로는 2차 버전의 선형 계획법을 사용하여 자본 할당 문제를 해결하는 것이 편리합니다.

포트폴리오에서 i번째 자산의 몫을 비용으로 결정해 보겠습니다.

여기서 CF OFt max는 기간 t에 대한 투자 프로그램의 최대 허용 크기입니다.

요약 위험 지표를 고려하십시오.

최종 포트폴리오의 위험을 최소화하는 목적 함수(20)는 이진 변수 X i가 포트폴리오 참여 기준으로 작용하며, 그 단위 값은 i번째 프로젝트가 포트폴리오에 진입함을 나타냅니다. 0 값은 i 번째 프로젝트의 투자 거부를 나타내며 다음과 같이 보입니다.

제한 사항:

여기서 NPV min은 포트폴리오의 허용 가능한 최소 순 현재 가치의 크기입니다.

T n - 투자 프로그램의 초기 기간;

T ~ - 투자 프로그램의 최종 기간;

V k - 경쟁 프로젝트의 벡터;

V - 경쟁 프로젝트의 벡터 세트;

N l - 이전 포트폴리오의 프로젝트 수, T는 컴파일되는 포트폴리오의 T n을 초과합니다.

분명히 목적 함수(20)를 계산할 때 분산-공분산 행렬(19)의 해당 부분만 사용되며, 이는 내포 루프에서 제한 조건의 적용으로 인해 발생하는 주대각선 위와 아래에 있습니다. 열에는 가능한 각 프로젝트 쌍에 대해 두 개의 공분산이 있기 때문에 중첩 루프의 값에 대해 두 배 요소가 도입됩니다.

따라서 최적화 문제는 목적함수의 방향성과 제한:

1. 포트폴리오의 분산(RMS)으로 측정되는 위험을 최소화합니다.

2. 수락된 프로젝트의 예상 순 현재 가치의 추가 지표와 동일한 포트폴리오 수입은 초기 투자 기간에서 할인된 가치로 주어진 필수 금액보다 작아서는 안 됩니다.

3. 연간 투자의 총량은 투자 프로그램의 각 연도에 대해 별도로 지정된 기간 동안 설정된 사용 가능한(할당된) 자금 한도를 초과할 수 없습니다.

4. 동일한 경쟁 프로젝트 그룹을 대표하는 프로젝트 중 하나만 포트폴리오에 포함될 수 있습니다.

5. 새 포트폴리오의 편집은 이전 포트폴리오의 프로젝트 구성에 의무적으로 포함되는 것을 고려하여 수행되며, 투자 프로그램의 완료 기간은 새 포트폴리오의 투자 프로그램 시작 기간을 초과합니다. .

6. 고려된 프로젝트는 분쇄 대상이 아닙니다.

설명된 문제에는 주로 특정 영역에 대한 투자에 대한 제한을 설정하는 불평등 형태의 여러 제한이 포함됩니다. 그렇지 않으면 결과 솔루션이 효율성의 최전선에 있을 것이라고 보장할 수 없습니다. 그렇게 하면 더 위험한 포트폴리오가 될 수 있지만 모든 돈을 사용할 필요가 없고/또는 더 높은 수익을 얻을 수 있습니다.

포트폴리오의 결과 특성 계산 및 발행:

많은 선택된 프로젝트:

포트폴리오의 예상 순 현재 가치:

예상 포트폴리오 수익:

프로젝트 포트폴리오 위험:

재정 자원 절약:

"위험"의 개념에 대한 다양한 정의가 있으므로 위의 내용을 요약하면 위험을 특정 조치의 여러 가능한 결과가 있는 상황으로 이해하고 이를 가능하게 하는 과거 기간의 필요한 데이터도 있습니다. 가능한 미래 결과를 예측하기 위해 일부 종속성을 계산합니다.

W. Sharp가 개발한 포트폴리오 작성에 널리 사용되는 CAPM 모델(Capital Asset Pricing Model)은 개별 자산의 체계적인 위험만을 고려하는 것이 중요하다는 사실에서 출발합니다. 그러나 G. Markowitz의 작업은 전체 위험을 전체적으로 고려하는 것의 중요성을 입증했습니다. 따라서 앞의 추론은 바로 이 전제에 기초한 것이다.

체계적 위험은 인플레이션과 같은 요인에 의해 발생합니다. 경제 위기, 기타 일반적인 시장 요인.

비체계적 위험의 존재는 특정 자산이나 회사에 영향을 미치는 무작위 사건과 관련이 있습니다.

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마그니토고르스크 2005

"수학 경제학"과정의 작업 모음. - 마그니토고르스크: MaGU, 2005. - 184 p.

이 컬렉션은 "수학 경제학" 과정에서 사용되는 주요 범주 및 조항에 대한 개요를 제공합니다. 일반적인 문제 해결의 예가 제시되고, 연구 자료에 대한 자체 검토를 위한 질문이 제공됩니다. 매뉴얼의 자료는 "재무 수학", "재무 분석의 수학적 방법", "재무 관리", "재무 분석" 등의 과정에서 사용할 수 있습니다.

이 작업은 교사, 대학원생 및 전일제 및 시간제 부서의 학생, 재무 관리 및 투자 프로젝트 분야를 전문으로하는 과학 및 실제 작업자, 경제 시스템 연구에 수학적 방법 및 모델 적용 및 현상.

컴파일러. G.N. 추사비티나,

V.B. 랍시나.

 Chusavitina G.N., Lapshina V.B. 2005년

 마그니토고르스크 주립대학교, 2005

서론 5

1장 단순 이자 7

1.1. 이자율 결정 및 이자 계산 7

1.2. 단순이자율 10

1.3. 단순 할인율 21

1.4. 대출상환 및 감가상각 32

1.5. 평균 계산 41

1.6. 통화 결제 48

1.7. 소득세 53

1.8. 인플레이션 56

1.9. 지불의 대체 및 통합 64

2장 복합이자 73

2.1. 복리 73

2.2. 복합 할인율 91

2.3. 연속율 101

2.4. 등가율 107

2.5. 인플레이션과 복리 연속이자 112

2.6. 지불의 대체 및 지불 조건 125

3장 연금 132

3.1. 영구 연금 132

3.2. 연속 및 변동 연금 148

3.3. 1년 이상의 연금 평가 157

소개

"수학 경제학"은 수학자들이 만든 학문의 이름입니다. 경제학자들은 "경제 및 수학적 모델 및 방법"이라는 다른 이름을 선호합니다. 이 이름은 종종 경제 학부의 커리큘럼과 표준에서 발견됩니다. 우리의 의견으로는, 이 두 이름은 경제적 측면과 수학적 측면이 조화롭게 결합된 주제의 내부 내용을 동등하게 정확하게 전달합니다. 불행히도 실제로 EMMM 과정 프로그램은 첫 번째로 이 과정 이전에 이미 완료된 별도의 섹션인 "Operations Research and Mathematical Programming"으로 완전히 구성되는 경우가 많습니다. 경제학 - 이와 같은 수학적 모델.

수리 경제학은 수학적 장치를 경제 시스템과 현상을 연구하는 방법으로 사용하는 과학입니다.

따라서 수학 경제학의 연구 대상(또는 주제 영역)은 인간 활동의 광대한 영역의 일부 또는 일부인 경제학입니다.

경제 전체 또는 구성 요소를 연구하는 다른 과학과 마찬가지로 수리 경제학은 특정 방법론을 사용하고 고유한 특성을 가지고 있습니다. 수학적 경제학의 특수성, 그 방법론적 특징은 경제적 대상과 현상 자체를 연구하는 것이 아니라 그 수학적 모형을 연구한다는 점에 있다. 그 목표는 객관적인 경제 정보를 얻고 매우 실용적으로 중요한 권장 사항을 개발하는 것입니다. 공식적으로 수학적 경제학은 경제학과 수학 과학 모두에 귀속될 수 있습니다. 첫 번째 경우, 경제 주체의 행동 측면뿐만 아니라 양적 및 질적 범주를 연구하는 경제의 해당 섹션으로 이해해야 합니다. 수학적 경제학을 수학의 한 영역으로 생각하면 최적화 문제와 의사 결정 문제를 다루는 응용 수학의 영역에 기인할 수 있습니다.

본질적으로 경제학은 수학에 가장 가까운 사회과학입니다. 이미 경제학의 개념, 주요 작업의 정의에서 수학적 개념과 용어를 볼 수 있습니다.

실제로 경제학은 인구의 무한한 물질적 필요를 충족시키기 위해 제한된 자원을 사용하는 것에 관한 사회 과학입니다. 경제 과학의 중심 문제 - 경제의 합리적인 관리, 제한된 자원의 최적 분배, 경제 관리 메커니즘의 연구, 경제 계산 방법의 개발 -은 본질적으로 수학 과학의 틀 내에서 해결되는 문제입니다. 수학의 양적 및 질적 방법은 경제학의 주요 질문에 대한 답변을 얻는 가장 좋은 보조 장치입니다.

무엇을 생산해야 하는가(즉, 어떤 재화와 서비스를 얼마만큼 생산해야 하는가)?

상품은 어떻게 생산될 것인가(즉, 누구에 의해, 어떤 자원과 기술로)?

이 상품은 누구를 위한 것입니까(즉, 이 상품은 누구에 의해 그리고 어떻게 소비될 것인가)?

마지막으로 생산, 교환 및 소비 과정에서 경제 참여자의 행동을 시스템으로 가져오고 해석 및 일반화하는 것과 관련된 경제 이론의 과제는 최적화 및 의사 결정의 수학적 문제로 돌아갑니다.

위의 관점에서 우리는 수리 경제학이 직면한 다음과 같은 주요 과제에 대해 이야기할 수 있습니다.

경제 대상, 시스템 및 현상의 수학적 모델 개발 (다양한 조건, 전제 조건 및 다양한 수준에서 경제의 일반적 및 특정 문제);

경제 참가자의 행동 연구 (최적 솔루션의 존재 조건 및 기능, 소비 모델, 회사, 완전 및 불완전 경쟁 등의 계산 방법)

경제의 기술 모델 연구(계획 모델, "투입-산출", 경제 확장, 복지 및 성장의 경제학 등);

경제적 가치 및 통계 데이터 분석 (탄력성, 평균 및 한계 값, 회귀 및 상관 분석 및 경제 요인 및 지표 예측).

수리 경제학은 이론 및 응용 과학이며, 주제는 경제적 대상의 수학적 모델과 연구 과정 및 방법입니다.

수학 과학의 출현은 의심할 여지 없이 경제의 필요와 관련이 있었습니다. 예를 들어 가족을 먹여 살리기 위해 얼마나 많은 땅에 곡식을 뿌릴 것인지, 뿌린 밭을 측량하고 미래의 수확을 예측하는 방법이 필요했습니다.

생산의 발전과 그 복잡성으로 인해 수학적 계산에서 경제의 필요성도 커졌습니다. 현대 생산은 수많은 수학적 문제의 솔루션으로 제공되는 많은 기업의 엄격하게 균형 잡힌 작업입니다. 이 작업은 경제학자, 계획가 및 회계사로 이루어진 거대한 군대에 의해 점령되고 계산은 수천 대의 전자 컴퓨터에 의해 수행됩니다. 이러한 작업에는 생산 계획 계산, 건설 현장의 가장 유리한 위치 결정, 가장 경제적 인 운송 경로 선택 등이 있습니다. 수학적 경제학은 또한 이미 알려진 경제 현상에 대한 공식화된 수학적 설명에 참여하여 특정 수학적 관계로 설명되는 경제 시스템에 대한 다양한 가설을 테스트합니다.

이 목적을 위한 수학적 모델의 사용을 보여주는 두 가지 간단한 예를 살펴보겠습니다.

재화의 수요와 공급이 가격에 달려 있다고 하자. 균형을 위해 시장 가격은 제품이 매진되고 잉여가 없는 가격이어야 합니다.

. (1)

그러나 예를 들어 제안이 한 시간 간격으로 늦는 경우 그림 4와 같이. 1(여기서 수요 및 공급 곡선은 가격의 함수로 표시됨) 가격에서 수요가 공급을 초과합니다. 그리고 공급이 수요보다 적기 때문에 가격이 상승하고 재화는 . 이 가격에서 공급은 ; 이제 공급이 수요보다 많고 생산자는 가격에 상품을 판매해야 하며, 그 후 공급이 감소하고 과정이 반복됩니다. 결과는 단순한 비즈니스 사이클 모델입니다. 점차적으로 시장은 균형을 이루게 됩니다. 수요, 가격 및 공급이 수준에서 설정됩니다.

쌀. 1은 이 방정식의 근을 결정하는 연속 근사법에 의한 방정식 (1)의 해에 해당합니다. 균형 가격과 그에 상응하는 수요와 공급의 가치.

더 복잡한 예인 축적의 "황금률"을 고려하십시오. 특정 시점에서 최종 제품의 기업 생산량 (루블)의 가치는 노동 비용에 의해 결정되며, 생산성은 노동 비용에 대한 장비 포화 정도의 비율에 따라 다릅니다. 이에 대한 수학적 표기법은 다음과 같습니다.

. (2)

최종 제품은 장비의 소비 및 축적에 배포됩니다. 를 통해 축적되는 산출량의 비율을 나타내면,

경제학에서는 축적률이라고 합니다. 값은 0과 1 사이입니다.

단위 시간 동안 축적량에 따라 장비의 부피가 변합니다.

. (4)

경제의 균형 잡힌 성장과 함께 모든 구성 요소는 동일한 성장률로 성장합니다. 복리 이자 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

, , , .

소비, 장비의 양 및 직원 1 인당 출력을 특징 짓는 값을 도입하면 관계 시스템 (2) - (4)가 시스템에 들어갈 것입니다

, , . (5)

이 비율 중 두 번째 비율은 성장률과 소비가 주어졌을 때 그림 4의 곡선과 직선의 교차점으로 자본-노동 비율을 결정합니다. 2. 이 선은 함수가 단조롭기는 하지만 증가하기 때문에 분명히 교차할 것입니다. 이는 노동력의 증가와 함께 생산량의 증가를 의미하지만 더 완만하게 오목한 기능입니다. 후자의 상황은 작업량의 증가로 인해 작업자 1인당 장비의 추가 증가가 점점 덜 효과적이라는 사실을 반영합니다("효용 체감의 법칙"). 곡선 패밀리는 누적 비율의 다른 값에 해당합니다. 세그먼트의 길이는 식 (5)에서와 같이 소비량과 같습니다. (그림 2의 지점)에서 소비가 전혀 없습니다. 모든 생산은 장비 축적으로 이동합니다. 이제 축적 속도를 줄여봅시다. 그러면 경제 성장률(직선의 기울기)은 동일하게 유지되지만 소비(길이)는 이미 0이 아닙니다. 곡선의 접선이 직선과 평행한 세로축이 있는 점에서 소비량이 최대입니다. 그것은 "황금 축적률"이라고 불리는 일정한 축적률을 가진 가족 곡선에 해당합니다.

레오니드 비탈리에비치 칸토로비치
(1912-1986)

L. V. Kantorovich - 소비에트 수학자이자 경제학자, 선형 계획법 및 사회주의 경제의 최적 계획 이론 창시자, 학자, 노벨상 수상자.

L. V. Kantorovich는 상트페테르부르크에서 의사 가족으로 태어났습니다. 그의 능력은 비정상적으로 일찍 나타났습니다. 이미 4 골에서 그는 여러 자리 숫자로 자유롭게 조작했으며 7 세에는 형의 교과서에 따라 화학 과정을 마스터했습니다. 14세에 그는 상트페테르부르크 대학교의 학생이 되었습니다. 1930년 대학을 졸업할 때 L. V. Kantorovich는 이미 유명한 과학자였으며 주요 국제 수학 저널에 12편의 논문을 발표했으며 20세에 수학 교수였습니다.

1935년에 과학자는 특정 요소 집합에 대해 순서 관계가 정의된 기능 공간 클래스를 도입하고 연구했습니다. 이러한 공간의 이론은 Kantorovich 공간 또는 -공간이라고 하며 기능 분석의 주요 섹션 중 하나입니다. 연속체 문제의 해결과 관련된 최근 작업은 가장 기본적인 수학적 구조 중 -공간의 위치를 결정했습니다.

L. V. Kantorovich는 특정 문제에서 문제의 핵심을 보는 놀라운 능력으로 구별되었으며 이론을 만들면서 유사한 문제의 광범위한 종류를 풀기 위한 일반적인 방법을 제시했습니다. 이것은 계산 수학 및 수학적 경제학에 관한 그의 작업에서 특히 분명하게 드러났습니다.

30대 초반. L. V. Kantorovich는 계산 수학에 관심을 갖게 된 최초의 저명한 과학자 중 한 사람입니다. 이 과학의 현대적 모습은 주로 그의 작품에 의해 결정되었습니다. 그 중에는 기본적이고 고전적인 논문 "고급 분석의 대략적인 방법"이 있습니다. 그의 이름을 딴 계산 방법; 기능 분석을 기반으로 구축된 근사 방법의 일반 이론(State Prize, 1949); 컴퓨터 시대의 여명기에 수행된 자동 프로그래밍 작업과 많은 현대적 아이디어, 그리고 마지막으로 컴퓨터 기술 분야의 수많은 발명품을 기대하고 있습니다.

1939년에 작은 소책자 "수학적 조직 및 생산 계획"이 레닌그라드에서 출판되었는데, 실제로는 나중에 선형 계획법이라고 불리는 응용 수학의 새로운 섹션이 포함되었습니다(기하학 참조). 그것을 쓴 이유는 특정 생산 작업이었습니다. 가격, 지대, 효율성과 같은 중요한 지표와 같은 사회주의 경제에서 분산 및 최적성 개념의 핵심 중요성을 깨닫고 그는 최적 계획 이론을 발전시켰으며, 이 이론은 나중에 레닌(1965)과 노벨(1975)을 수상했습니다. 상.

이 이론을 설명하는 "자원의 최적 사용에 대한 경제적 계산"이라는 책은 레닌그라드 봉쇄 조건에서 작성되었으며 1942년에 이미 완성되었습니다.

이러한 연구의 예외적인 중요성을 이해한 과학자는 연구 결과의 실제 사용을 지속적으로 추구했습니다. 그러나 이 작품은 1959년까지 출판되지 않았고, 그때도 정통 정치경제학자들에게 공격을 받았다. L. V. Kantorovich의 책은 전체 소비에트 경제학자 세대의 견해를 형성했습니다. 처음으로 표현된 많은 아이디어는 페레스트로이카 과정에서 구현되고 있습니다.

올림피아드 후에는 문제 해결에 대해 토론하는 것이 흥미롭습니다.

수리 경제학의 어려운 문제는 이론과 실제의 비교입니다. 경제 지표를 측정하는 것은 극히 어렵습니다. 실험실 시설에서 측정되지 않고 관찰이 극히 드물게 이루어질 수 있으며(인구 조사를 기억하십시오!), 다른 조건에서 수행됩니다. 및 많은 부정확성을 포함합니다. 따라서 다른 과학에서 축적된 측정 경험을 여기에 활용하기 어렵고 특별한 방법의 개발이 필요하다.

수학적 경제학의 발전은 "수학 프로그래밍"이라는 이름으로 통합된 많은 수학적 이론의 출현을 초래했습니다(선형 프로그래밍의 경우 "기하학" 기사 참조).

경제학에서 수학적 방법을 적용하는 문제는 레닌과 노벨상을 수상한 소비에트 수학자 L. V. Kantorovich의 연구에서 개발되었습니다.

경제의 주요 목적- 사회에 소비재를 제공합니다. 경제에는 안정적인 양적 패턴이 있으므로 공식화된 수학적 설명이 가능합니다.

객체 학문 - 경제 및 그 부문을 공부합니다.

주제 - 경제적 대상의 수학적 모델.

방법 - 복잡한 동적 시스템으로 경제의 시스템 분석.

모델 - 원본을 대체하는 객체로서 본 연구에서 원본의 가장 중요한 특징과 특성을 반영함.

수학적 관계의 집합인 모델을 수학적이라고 합니다.

시뮬레이션 요소

체계 특정 목표를 공동으로 실현하는 상호 연관된 요소의 집합입니다.

슈퍼시스템 - 시스템이 작동하는 시스템을 둘러싼 환경.

서브시스템 - 시스템의 목표와 일치하는 목표를 구현하는 요소의 하위 집합(서브시스템은 시스템 목표의 일부를 구현할 수 있음).

경제 시스템: 자원을 할당하고, 상품을 생산하고, 상품을 분배하고, 축적합니다.

국가 경제의 슈퍼 시스템- 자연, 세계 경제 및 사회.

경제의 주요 하위 시스템- 생산 및 금융 신용.

시뮬레이션 대상으로서의 경제의 특징

경제학에서 기술적 모델과 유사한 모델은 불가능합니다. 경제의 정확한 사본을 만들고 이 사본에 대한 경제 정책을 위한 옵션을 마련하는 것은 불가능합니다.

모든 부분이 서로 밀접하게 연결되어 있기 때문에 경제에서 실험이 제한됩니다.

경제에 대한 직접적인 실험에는 긍정적인 측면과 부정적인 측면이 모두 있습니다.

긍정적인 측면- 추진하고 있는 경제정책의 단기적 성과가 바로 가시화된다.

부정적인 측면- 내린 결정의 중장기적 결과를 직접적으로 예측하는 것은 불가능하다.

따라서 올바른 경제 결정을 내리기 위해서는 과거의 모든 경험과 주어진 경제 상황에 적합한 수학적 모델을 사용한 계산 결과를 모두 고려해야 합니다.

수학적 모델의 개발은 힘들지만 매우 유망합니다. 따라서 시장 경제가 혼란스러운 영향에 적응할 수 있는 능력을 반영하는 케인즈의 모델은 1929-1933년의 위기의 인상 하에 구축되었습니다. 그러나 이 모델을 독일과 일본의 전후 위기 극복에 적용하는 것은 매우 성공적이었고 "경제적 기적"으로 불렸다.

수학적 모델링의 대상으로서 경제의 구조를 고려하자

경제는 생산, 기술 및 (또는) 조직 및 경제적 관계에 있는 생산 및 비생산(금융) 셀(경제 단위)로 구성된 복잡한 시스템입니다.

경제 시스템과 관련하여 사회의 각 구성원은 한편으로는 소비자로서 다른 한편으로는 노동자로서 이중 역할을 합니다.

노동 외에도 물질적 자원은 천연 자원이자 생산 수단입니다.

재료 생산의 모든 부문은 국내 총생산(GDP)을 생성합니다.

에 자연 리얼 GDP의 형태 - 이들은 노동 및 소비재의 수단이며,

가치 형태 - 고정 자산의 퇴직 보상 기금(감가상각 기금)과 새로 창출된 가치(국민 소득).

GDP를 창출하는 과정에서 중간 제품이 생산되고 재소비됩니다.

에 의해 명백한중간 제품의 구성은 현재 생산 소비에 사용되는 노동의 대상이며 그 가치는 GDP에 포함 된 노동 수단 또는 상품의 가치로 완전히 이전됩니다.

경제에서 수학을 사용하면 다음이 가능합니다.

1. 경제적 변수와 대상의 가장 중요한 관계를 강조하고 공식적으로 설명합니다.

2. 대상에 대한 새로운 지식을 얻습니다.

3. 요인 및 변수 매개 변수의 종속성 유형을 평가하고 결론을 도출합니다.

경제 및 수학 모델이란 무엇입니까?

이것은 경제 현상에 대한 단순화된 형식적 설명입니다.

경제적 대상의 수학적 모델은 일련의 방정식, 불평등, 논리적 관계, 그래프의 형태로 표시됩니다.

모델을 사용하면 경제적 대상의 기능 기능을 식별하고 이를 기반으로 매개변수가 변경될 때 미래에 대상의 행동을 예측할 수 있습니다.

모델 구축 단계:

1. 연구의 주제와 목표가 공식화됩니다.

2. 경제 시스템에서이 목표에 해당하는 구조적 또는 기능적 요소가 구별됩니다.

3. 이러한 요소의 가장 중요한 질적 특성이 드러납니다.

4. 구두, 질적으로 요소 간의 관계를 설명합니다.

5. 경제적 대상의 특성에 대해 상징적 명칭이 도입되고 이들 간의 관계가 공식화됩니다.

6. 모델에 따라 계산을 수행하고 얻은 결과를 분석합니다.

모델 구조:

모델을 구축하려면 외생 및 내생 변수와 매개변수를 정의해야 합니다.

외생 변수– 모델 외부에 설정됩니다. 계산 당시 알려진.

내생 변수– 모델에 따라 계산 과정에서 결정됩니다.

옵션 방정식의 계수입니다.

경제 및 수학 모델 클래스

경제 및 수학적 모델은 다음 클래스로 나뉩니다.

1. 일반화 수준별

ㅏ. 거시 경제 - 경제를 전체적으로 설명하고 집계 지표(GDP, 소비, 투자, 고용)를 연결합니다. 거시 모델은 전체 경제 시스템 또는 상당히 큰 하위 시스템의 기능과 발전을 반영합니다. 거시 모델에서 경제 세포는 나눌 수 없는 것으로 간주됩니다.

비. 미시 경제 - 경제의 구조적 및 기능적 구성 요소의 상호 작용을 설명합니다. 마이크로 모델 - 경제 단위 및 그 협회의 기능. 마이크로모델에서 경제 단위는 복잡한 시스템으로 간주될 수 있습니다.

2. 추상화 수준별

ㅏ. 이론 - 공식 전제에서 파생하여 경제의 일반적인 속성을 연구할 수 있습니다. 경제와 그 요소(수요 공급 모델)의 일반적인 속성을 연구하는 데 사용됩니다.

비. 적용 - 특정 경제 개체의 기능 매개 변수를 평가하고 의사 결정을 위한 권장 사항을 개발할 수 있습니다. 특정 경제 대상의 매개변수를 평가하는 데 사용됩니다. 여기에는 수학적 통계 방법을 적용하는 계량 경제학 모델이 포함됩니다.

3. 균형과 성장의 모델

ㅏ. 평형 - 기술(기술) 모델. 그들은 경제를 이 상태에서 벗어나게 하려는 모든 힘의 합이 0일 때 그러한 경제 상태를 설명합니다. Leontief 모델(입력-출력)이 그 예입니다.

비. 성장 모델은 특정 기준에 따라 경제가 어떻게 발전해야 하는지를 결정하도록 설계되었습니다. 예 - Solow, Samuelson-Hicks 모델

4. 시간 요소를 고려하여.

ㅏ. 정적 - 특정 순간 또는 기간의 개체 상태를 설명합니다.

비. 동적 - 시간 경과에 따른 변수의 관계를 포함합니다. 일반적으로 미분 방정식 장치를 사용합니다.

5. 기회 요인을 고려하여.

ㅏ. 결정적 - 모델 변수 간의 엄격한 기능적 관계를 의미합니다.

비. 스토캐스틱 - 지표에 대한 무작위 효과를 허용하고 확률 이론 및 수학적 통계를 사용합니다.

테스트 질문

1. 경제 및 수학적 모델링이란 무엇입니까? 경제 분석 및 예측에서의 위치.

2. 모델링 단계. 모델 요인.

3. 경제 및 수학적 모델 클래스.

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