Mavzu va usullari iqtisodiy nazariya

Iqtisodiy munosabatlar inson hayotining barcha sohalarini qamrab oladi. Ularning naqshlarini o'rganish antik davr faylasuflarining ongini band qilgan. bosqichma-bosqich rivojlanish Qishloq xo'jaligi, xususiy mulkning paydo bo'lishi iqtisodiy munosabatlarning murakkablashishiga va birinchi iqtisodiy tizimlarning qurilishiga yordam berdi. Ilmiy - texnik taraqqiyot, qoʻl mehnatidan mashina mehnatiga oʻtishni belgilab bergan, ishlab chiqarishni birlashtirishga, demak, iqtisodiy aloqalar va tuzilmalarning kengayishiga kuchli turtki berdi. Zamonaviy dunyoda iqtisod borgan sari boshqa yaqin ijtimoiy fanlar bilan birgalikda ko'rib chiqilmoqda. Ya'ni, ikki yo'nalishning tutashgan joyida amaliyotda qo'llanilishi mumkin bo'lgan turli xil echimlar mavjud.

Iqtisodiyotga nisbatan juda fundamental tendentsiya faqat XIX asrning o'rtalarida shakllandi, garchi ko'plab mamlakatlarda olimlar asrlar davomida odamlarning iqtisodiy hayoti naqshlarini o'rganadigan maxsus maktablarni yaratdilar. Faqat shu vaqtda, nima bo'layotganini sifatli baholashdan tashqari, olimlar iqtisodiyotdagi haqiqiy voqealarni tekshirish va solishtirishni boshladilar. Klassik iqtisodiyotning rivojlanishi iqtisodiy tizimlarning torroq sohalarini o'rganuvchi amaliy fanlarning shakllanishiga yordam berdi.

Iqtisodiyot nazariyasini o'rganishning asosiy predmeti cheklangan resurslar sharoitida o'sib borayotgan talabni qondirish nuqtai nazaridan turli darajadagi tashkiliy iqtisodiyotlar uchun maqbul echimlarni izlashdir. Iqtisodchilar o‘z tadqiqotlarida turli usullardan foydalanadilar. Ular orasida eng ko'p ishlatiladiganlari quyidagilardir:

1. Umumiy elementlarni baholash yoki alohida tuzilmalarni umumlashtirish imkonini beruvchi usullar. Ular tahlil va sintez usullari deb ataladi.
2. Induksiya va deduktsiya jarayonlar dinamikasini xususiydan umumiygacha va aksincha ko'rib chiqish imkonini beradi.
3. Tizimli yondashuv iqtisodiyotning alohida elementini tuzilma sifatida ko'rish va uni tahlil qilishga yordam beradi.
4. Amalda abstraksiya usuli keng qo'llaniladi. U o'rganilayotgan ob'ekt yoki hodisani uning aloqalari va tashqi omillaridan ajratish imkonini beradi.
5. Boshqa fanlarda bo'lgani kabi, iqtisodiyotda ham matematika tili ko'pincha qo'llaniladi, bu iqtisodiyotning o'rganilayotgan elementlarini vizual tarzda ko'rsatishga, shuningdek, tendentsiyalarning zaruriy prognozini tahlil qilishga yoki shakllantirishga yordam beradi.

Matematik iqtisodiyotning mohiyati

Zamonaviy iqtisodiyot o'rganadigan tizimlarning murakkabligi bilan ajralib turadi. Qoidaga ko'ra, bitta iqtisodiy agent bir vaqtning o'zida va har kuni ko'plab munosabatlarga kiradi. Agar korxona haqida gapiradigan bo'lsak, unda uning ichki va tashqi o'zaro ta'siri soni minglab marta ortadi. Iqtisodchilar va olimlar oldida turgan tadqiqot va tahliliy vazifalarni osonlashtirish uchun matematika tilidan foydalaniladi. Matematik vositalarning rivojlanishi iqtisodiy nazariyada qo'llaniladigan boshqa usullarning kuchiga ega bo'lmagan muammolarni hal qilish imkonini beradi.

Matematik iqtisod - bu iqtisodiy nazariyaning amaliy sohasi. Uning asosiy mohiyati iqtisodiy tizimlarni tavsiflash, o'rganish va tahlil qilish uchun matematik usullar, vositalar va vositalarni qo'llashdan iborat. Biroq, bu intizomning o'ziga xos xususiyatlari bor. U o‘qimaydi iqtisodiy hodisalar kabi, lekin matematik modellar bilan bog'liq hisob-kitoblar bilan shug'ullanadi.

Izoh 1

Matematik iqtisodning maqsadi, ko'pgina amaliy sohalar kabi, ob'ektiv ma'lumotlarni shakllantirish va amaliy masalalarning echimlarini izlash deb atash mumkin. U, birinchi navbatda, miqdoriy, sifat ko'rsatkichlarini, shuningdek, dinamikada iqtisodiy agentlarning xatti-harakatlarini o'rganadi.

Matematik iqtisod oldida turgan muammolar quyidagilardan iborat:

• dagi jarayonlar va hodisalarni tavsiflovchi matematik modellarni qurish iqtisodiy tizimlar.
• Iqtisodiy munosabatlarning turli sub'ektlari xatti-harakatlarini o'rganish.
• Rejalar, prognozlar, dinamikada turli xil hodisalarni qurish va baholashda yordam ko'rsatish.
• Matematik va statistik qiymatlarni tahlil qilish.

Iqtisodiyotda amaliy matematika

Matematik iqtisod o'zining ijtimoiy ahamiyatiga ko'ra matematikaga etarlicha yaqin. Agar biz ushbu fanni matematika fanidan ko'rib chiqsak, u uchun bu amaliy yo'nalishdir. Amaliy matematika eng murakkab iqtisodiy tizimlarning alohida elementlarini ko'rib chiqish va tahlil qilish imkonini beradi, chunki u fundamental matematik bilimlarga asoslangan keng funksionallikka ega. Matematikaning bunday imkoniyatlari matematik ekologiya, sotsiologiya, tilshunoslik va moliyaviy matematikaning paydo bo'lishiga yordam berdi.

Iqtisodiy tizimlarni o'rganishda qo'llaniladigan eng muhim matematik usullarni ko'rib chiqing:

1. Operatsion tadqiqotlar tizimlardagi jarayonlar va hodisalarni o'rganish bilan shug'ullanadi. Bunga analitik ish va olingan natijalarni amaliyotda qo'llashni optimallashtirish kiradi.
2. Matematik modellashtirish olimlar va iqtisodchilar oldida turgan muammolarni hal qilish imkonini beradigan keng ko'lamli usul va vositalarni o'z ichiga oladi. Eng ko'p ishlatiladigan o'yin nazariyasi, xizmat nazariyasi, rejalashtirish nazariyasi va inventar nazariyasi.
3. Matematikada optimallashtirish maksimal va minimal ekstremal qiymatlarni qidirish bilan shug'ullanadi. Ushbu maqsadlar uchun odatda funktsiya grafiklaridan foydalaniladi.

Yuqorida sanab o'tilgan matematika usullari iqtisodiyotdagi statistik vaziyatlarni yoki jarayonlarni qisqa muddatli davrlarda o'rganish imkonini beradi. Ma'lumki, hozirgi vaqtda xo'jalik yurituvchi sub'ektlarning asosiy maqsadi uzoq muddatli muvozanatni topishdir. Ushbu tadqiqotlarda vaqt omili muhim bo'lib, uni hisoblash uchun ehtimollik nazariyasini, optimal echim nazariyasini qo'llash orqali hisobga olish mumkin.

Izoh 2

Shunday qilib, matematika va iqtisodiyot bir-biri bilan chambarchas bog'liq. Iqtisodiy tuzilmalarning dinamikasini matematik modellarda kiyinish odatiy holdir, keyinchalik ularni alohida kichik vazifalarga bo'lish va barcha mumkin bo'lgan usullarni qo'llash mumkin. iqtisodiy tahlil, shuningdek, matematik hisoblar. Iqtisodiy sohada qarorlar qabul qilish juda murakkab harakatdir, chunki u mavjud ma'lumotlarning nomukammalligi va to'liq emasligi bilan bog'liq. Matematik modellashtirishdan foydalanish boshqaruv qarorlarining xavfliligini kamaytirish imkonini beradi.

Matematik iqtisod nazariy va amaliy fan bo'lib, uning predmeti iqtisodiy ob'ektlar va jarayonlarning matematik modellari va ularni o'rganish usullari hisoblanadi.

Matematik fanlarning paydo bo'lishi, shubhasiz, iqtisodiyot ehtiyojlari bilan bog'liq edi. Masalan, oilani boqish uchun qancha yerga g'alla ekish kerakligini, ekilgan maydonni qanday o'lchash va kelajakdagi hosilni taxmin qilish kerak edi.

Ishlab chiqarishning rivojlanishi va uning murakkablashishi bilan iqtisodiyotning matematik hisob-kitoblarga bo'lgan ehtiyoji ham ortib bordi. Zamonaviy ishlab chiqarish - bu juda ko'p sonli matematik muammolarni hal qilish bilan ta'minlangan ko'plab korxonalarning qat'iy muvozanatli ishi. Bu ishda iqtisodchilar, rejalashtiruvchilar va buxgalterlarning ulkan armiyasi shug'ullanadi va hisob-kitoblar minglab elektron hisoblash mashinalari tomonidan amalga oshiriladi. Bunday vazifalar qatoriga ishlab chiqarish rejalarini hisoblash va qurilish maydonchalarining eng foydali joylashuvini aniqlash, eng tejamkor transport yo'nalishlarini tanlash va boshqalar kiradi. Matematik iqtisod, shuningdek, allaqachon ma'lum bo'lgan iqtisodiy hodisalarning rasmiylashtirilgan matematik tavsifi bilan shug'ullanadi, ma'lum matematik munosabatlar bilan tavsiflangan iqtisodiy tizimlar bo'yicha turli gipotezalarni sinab ko'radi.

Keling, bu maqsadda matematik modellardan foydalanishni ko'rsatadigan ikkita oddiy misolni ko'rib chiqaylik.

Tovarga bo'lgan talab va taklif narxga bog'liq bo'lsin. Muvozanat uchun bozor narxi shunday bo'lishi kerakki, mahsulot sotilsin va ortiqcha bo'lmaydi:

. (1)

Ammo, masalan, taklif bir vaqt oralig'ida kechiksa, rasmda ko'rsatilganidek. 1 (bu erda talab va taklif egri chiziqlari narx funktsiyalari sifatida ko'rsatilgan), narx bo'yicha talab taklifdan oshib ketadi. Taklif talabdan kam bo'lganligi sababli, narx ko'tariladi va tovarlar . Bu narxda taklif ga oshadi; hozir taklif talabdan yuqori va ishlab chiqaruvchilar tovarni narxda sotishga majbur bo'ladi, shundan so'ng taklif pasayadi va jarayon takrorlanadi. Natijada oddiy biznes tsikli modeli. Bozor asta-sekin muvozanatga keladi: talab, narx va taklif darajasida belgilanadi.

Guruch. 1 (1) tenglamaning ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechimiga mos keladi, bu tenglamaning ildizini aniqlaydi, ya'ni. muvozanat bahosi va talab va taklifning tegishli qiymati.

Yana murakkab misolni ko'rib chiqing - jamg'arishning "oltin qoidasi". Bir vaqtning o'zida korxonaning yakuniy mahsulot ishlab chiqarish qiymati (rubllarda) mehnat xarajatlari bilan belgilanadi, unumdorligi uning asbob-uskunalari bilan to'yinganlik darajasining mehnat xarajatlariga nisbatiga bog'liq. Buning uchun matematik belgilar:

. (2)

Yakuniy mahsulot uskunalarni iste'mol qilish va to'plash uchun taqsimlanadi. orqali jamg'arishga ketadigan mahsulot ulushini belgilasak, u holda

Iqtisodiyotda uni jamg'arish tezligi deyiladi. Uning qiymati noldan birgacha.

Vaqt birligi uchun uskunaning hajmi to'planish miqdori bo'yicha o'zgaradi

. (4)

Iqtisodiyotning muvozanatli o'sishi bilan uning barcha tarkibiy qismlari bir xil o'sish sur'atlarida o'sadi. Murakkab foiz formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

, , , .

Agar biz iste'molni, asbob-uskunalar hajmini va ishchiga to'g'ri keladigan mahsulot hajmini tavsiflovchi qiymatlarni kiritsak, u holda tizimga (2) - (4) munosabatlar tizimi kiradi.

, , . (5)

Ushbu nisbatlarning ikkinchisi, berilgan o'sish sur'atlarida va iste'molda, rasmdagi egri chiziq va to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasi sifatida mehnatning kapital-mehnat nisbatini aniqlaydi. 2. Bu chiziqlar, albatta, kesishadi, chunki funktsiya monotonik bo'lsa-da, o'sib boradi, bu esa ishchi kuchining ko'payishi bilan ishlab chiqarishning ko'payishini anglatadi, lekin yumshoqroq, ya'ni. bu konkav funksiyadir. Oxirgi holat shuni ko'rsatadiki, har bir ishchiga to'g'ri keladigan asbob-uskunalarning qo'shimcha ko'payishi, uning ish yukining ortishi tufayli kamroq va kamroq samarali bo'ladi ("foydalilikni kamaytirish qonuni"). Egri chiziqlar oilasi to'planish tezligining turli qiymatlariga mos keladi. (5) formuladan quyidagi kabi segment uzunligi iste'molga teng. (2-rasmdagi nuqta) da umuman iste'mol yo'q - barcha ishlab chiqarish uskunalarni to'plashga ketadi. Keling, yig'ish tezligini kamaytiraylik. Keyin iste'mol (uzunlik) allaqachon nolga teng bo'ladi, garchi iqtisodiyotning o'sish sur'ati (to'g'ri chiziqning qiyaligi) bir xil bo'lib qoladi. Egri chiziqqa tangens to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan ordinatali nuqtada iste'mol maksimal bo'ladi. U "oltin jamg'arish darajasi" deb ataladigan ma'lum bir to'planish darajasiga ega bo'lgan oila egri chizig'iga mos keladi.

LEONID VITALIEVIC KANTOROVICH (1912-1986) L. V. Kantorovich - sovet matematigi va iqtisodchisi, chiziqli dasturlash va sotsialistik iqtisodiyotni optimal rejalashtirish nazariyasini yaratuvchisi, akademik, Nobel mukofoti sovrindori. L. V. Kantorovich Sankt-Peterburgda shifokor oilasida tug'ilgan. Uning qobiliyatlari juda erta namoyon bo'ldi. Allaqachon 4 ta golda u ko'p xonali raqamlar bilan bemalol harakat qildi, etti yoshida u akasining darsligi bo'yicha kimyo kursini o'zlashtirdi. 14 yoshida u Sankt-Peterburg universitetining talabasi bo'ldi. 1930 yilda universitetni tamomlaganida, L. V. Kantorovich allaqachon taniqli olim, etakchi xalqaro matematik jurnallarida chop etilgan o'nlab maqolalar muallifi, 20 yoshida esa matematika professori edi. 1935 yilda olim ma'lum bir elementlar to'plami uchun tartib munosabati aniqlangan funktsional fazolar sinfini kiritdi va o'rgandi. Bunday bo'shliqlar nazariyasi, ular Kantorovich fazolari yoki -fazolar deb ataladi, funktsional tahlilning asosiy bo'limlaridan biridir. Kontinuum muammosini hal qilish bilan bog'liq so'nggi ishlar eng fundamental matematik tuzilmalar orasida - bo'shliqlarning o'rnini aniqladi. L. V. Kantorovich ma'lum bir muammodagi muammoning mohiyatini ko'rish va nazariyani yaratib, o'xshash muammolarni hal qilishning umumiy usulini berish qobiliyati bilan ajralib turardi. Bu, ayniqsa, uning hisoblash matematikasi va matematik iqtisodga oid asarlarida yaqqol ochib berilgan. 30-yillarning boshlarida. L.V.Kantorovich hisoblash matematikasiga qiziqqan birinchi olimlardan biri edi. Bu fanning zamonaviy qiyofasini asosan uning asarlari belgilab berdi. Ular orasida “Oliy tahlilning taxminiy usullari” fundamental va klassik monografiyasi; uning nomi bilan atalgan hisoblash usullari; umumiy nazariya funksional tahlil asosida qurilgan taxminiy usullar (Davlat mukofoti, 1949); kompyuter davrining boshida amalga oshirilgan va ko'plab zamonaviy g'oyalarni kutgan avtomatik dasturlash bo'yicha ishlar va nihoyat, kompyuter texnologiyalari sohasidagi bir qator ixtirolar. 1939 yilda Leningradda "Ishlab chiqarishni tashkil etish va rejalashtirishning matematik usullari" kichik risola nashr etildi, unda aslida amaliy matematikaning yangi bo'limi mavjud bo'lib, keyinchalik chiziqli dasturlash deb ataladi (qarang Geometriya). Uni yozishga aniq ishlab chiqarish vazifasi sabab bo'ldi. Sotsialistik iqtisodiyotda narx, renta, samaradorlik kabi muhim ko'rsatkichlar bo'yicha dispersiya va optimallik tushunchalarining muhim ahamiyatini tushunib, u keyinchalik Lenin (1965) va Nobel (1975) mukofotlari bilan taqdirlangan optimal rejalashtirish nazariyasini ishlab chiqishga kirishadi. sovrinlar. Kitob "Iqtisodiy hisob eng yaxshi foydalanish Ushbu nazariyani ochib beruvchi "Resurslar" asari Leningrad blokadasi sharoitida yozilgan va 1942 yilda tugallangan. Olim ushbu tadqiqotlarning g'oyat muhimligini tushungan holda, ularning natijalaridan amaliy foydalanishni qat'iyat bilan davom ettirdi. Biroq, asar faqat 1959 yilda nashr etilgan va hatto o'sha paytda ham pravoslav siyosiy iqtisodchilar tomonidan hujumga uchragan. L. V. Kantorovichning kitobi sovet iqtisodchilarining butun bir avlodining qarashlarini shakllantirdi. U erda ilk bor bildirilgan g'oyalarning aksariyati qayta qurish jarayonida amalga oshirilmoqda.

Olimpiadadan so'ng muammolarni hal qilishni muhokama qilish qiziq.

Matematik iqtisodning murakkab muammosi - bu nazariya va amaliyotni taqqoslash: iqtisodiy ko'rsatkichlarni o'lchash juda qiyin - ular laboratoriya jihozlarida o'lchanmaydi, kuzatishlar juda kamdan-kam hollarda o'tkazilishi mumkin (ro'yxatga olishlarni eslang!), Ular turli sharoitlarda amalga oshiriladi. va juda ko'p noaniqliklarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun boshqa fanlarda to'plangan o'lchov tajribasidan foydalanish qiyin va maxsus usullarni ishlab chiqish talab etiladi.

Matematik iqtisodiyotning rivojlanishi "matematik dasturlash" nomi bilan birlashtirilgan ko'plab matematik nazariyalarning paydo bo'lishiga sabab bo'ldi (chiziqli dasturlash uchun "Geometriya" maqolasiga qarang).

Iqtisodiyotda matematik usullarni qo'llash masalalari sovet matematigi L. V. Kantorovichning Lenin va Nobel mukofotlari bilan taqdirlangan asarlarida ishlab chiqilgan.

Federal ta'lim agentligi

Oliy kasbiy ta'lim davlat ta'lim muassasasi

Vladimir davlat universiteti

A.A. GALKIN

MATEMATIK

IQTISODIYOT

Ta'lim va fan vazirligi tomonidan tasdiqlangan Rossiya Federatsiyasi darslik sifatida

"Amaliy informatika (iqtisod yo'nalishi)" mutaxassisligi bo'yicha tahsil olayotgan oliy ta'lim muassasalari talabalari uchun

Vladimir 2006 yil

UDC 330.45: 519.85 BBK 65 V 631

Taqrizchilar:

Texnika fanlari doktori, professor Tula davlat universitetining avtomatlashtirilgan axborot va boshqaruv tizimlari kafedrasi

V.A. Fatuev

Texnika fanlari doktori, professor Axborot tizimlari bo'limi

Tver davlat texnika universiteti

B.V. Palyux

Doktor iqtisodiy fanlar, professor Korxonalarda iqtisodiyot va boshqaruv kafedrasi

Vladimir davlat universiteti

V.F. Arkhipova

Fizika-matematika fanlari doktori, professor Vladimir davlat universitetining algebra va geometriya fakulteti

N.I. Dubrovin

Vladimir davlat universiteti tahririyat va nashriyot kengashining qarori bilan nashr etilgan

Galkin, A.A.

D16 Matematik iqtisodiyot: darslik / A. A. Galkin; Vladimir. davlat un-t. - Vladimir: Vladimir nashriyoti. davlat un-ta, 2006. - 304 b. – ISBN 5-89368-624-1.

Iqtisodiyotda yuzaga keladigan tipik optimallashtirish muammolarining keng doirasi va bu muammolarni hal qilish algoritmlari ko'rib chiqiladi. Belgilangan vazifalarni rasmiylashtirish texnikasi va ularning tasnifi berilgan. Statik va dinamik optimallashtirishning deterministik muammolarini hal qilish usullari keltirilgan. Har bir turdagi vazifa va algoritmlar uchun ushbu algoritmlardan amaliy foydalanish texnikasini ko'rsatadigan misollar, shuningdek, mustaqil hal qilish uchun vazifalar to'plami keltirilgan.

U 080801 – amaliy informatika (iqtisod yo‘nalishi) mutaxassisligi bo‘yicha tahsil olayotgan oliy o‘quv yurtlarining talabalari, shuningdek, kunduzgi, sirtqi ta’limning turdosh yo‘nalishlari talabalari, bakalavriatlari va magistrantlari, ikkinchi oliy ma’lumot olayotgan shaxslar uchun mo‘ljallangan. amaliyotchilar.

Tab. 80. Kasal. 60. Bibliografiya: 39 nom.

BOB HAQIDA
Qabul qilingan qisqartmalar ro'yxati ................................................ ................................................................
MUQADDIMA ................................................. ............. ................................................ .............
KIRISH ................................................... ................................................. ......
DARSLIK BILAN ISHLASH UCHUN...................................... ......................
1-bob. Bayonot, rasmiylashtirish
VA OPTİMLAYTIRIShNING TASNIFI
IQTISODIYOT TIZIMLARDAGI VAZIFALAR.................................
va ularning rasmiylashtirilishi ................................................... ................ .................................
§ 1.2. Optimallashtirish masalalari tasnifi ................................................ ................. ..
2-bob. CHIZIQLI DASTURLASHNI MUAMMOLARI.................................
§ 2.1. Chiziqli dasturlashning umumiy va kanonik masalalari.....
§ 2.2. LP masalalarining grafik yechimi ................................................ ................. .........
§ 2.3. LP masalalarini algebraik yechish.
Simpleks usulining mohiyati ...................................... .......................... ...............
§ 2.4. Usul bo'yicha dastlabki mos yozuvlar yechimini topish
sun'iy asos ................................................... .............. ................................
§ 2.5. Chiziqli dasturlashning ikkilamchi masalalari......................
§ 2.6. Chiziqli dasturlashning butun sonli masalalari ................................
§ 2.7. Izohlar ................................................... .............................................
3-bob. LINEERNING TRANSPORT MUAMMOLARI
DASTURLASH....................................................................
§ 3.1. Klassik transport muammosini shakllantirish (TS) ......................
§ 3.2. Klassik transport muammosini yechish ...................................... ..
§ 3.3. Usul bo'yicha dastlabki ma'lumotnoma rejasini topish
shimoli-g'arbiy burchak (MSZU) ................................................ ..............
§ 3.4. Potensiallar usuli bo'yicha tashish rejasini takomillashtirish .........................
§ 3.5. Klassik bo'lmagan transport muammolari ................................................... .................

§ 3.6. Taqdim etish va tarqatish muammolari ......................................
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar ................................................ ................. ........
4-bob. OPTIMLAZASH MUAMMOLARI TAQDIM ETILGAN
GRAFIKLARDA ................................................... ......................................................
§ 4.1. Grafiklar nazariyasining asosiy tushunchalari ............................................. ................. ......
§ 4.2. Grafikdagi eng qisqa yo‘l masalasi ...................................... ...... ......
§ 4.3. Grafikdagi kritik yo'l muammosi ...................................... ..........................
§ 4.4. Minimal uzunlikdagi grafik masalasi ................................................ .....
§ 4.5. Grafikdagi (tarmoqdagi) maksimal oqim muammosi .................................
§ 4.6. Berilganni optimal taqsimlash muammosi
transport tarmog'idagi oqim ................................................... ................................ .............
Test savollari................................................. ......................................
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar ................................................ ......................
5-bob
OPtimallashtirish ................................................... .............................................
§ 5.1. Statikning nochiziqli masalalarini analitik yechish
optimallashtirish ................................................... ...................................
§ 5.2. Bir o'lchovli masalalarni echishning raqamli usullari
statik optimallashtirish ................................................... ................ ...............
§ 5.3. Ko'p o'lchovli shartsiz optimallashtirishning raqamli usullari
hosilalardan foydalanish ................................................ ............... ......
§ 5.4. Ko'p o'lchovli optimallashtirishning raqamli usullari
hosilalardan foydalanmasdan ............................................. ................. ....
§ 5.5. Cheklovlar mavjud bo'lganda raqamli optimallashtirish usullari ......
Test savollari................................................. ......................................
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar ................................................ ................. ......
6-bob
NAZORAT VA DİNAMIK
DASTURLASH................................................................
§ 6.1. Boshqariladigan dinamik tizimlar tushunchasi ......................................
§ 6.2. Optimalning klassik muammosini shakllantirish
dinamik boshqaruv ................................................ ...................... ............
§ 6.3. Klassik dinamik muammoni shakllantirish
dasturlash (DP) ................................................ ...... ...................
§ 6.4. R. Bellmanning optimallik tamoyili ...................................... ..
§ 6.5. DP usulining mohiyati ...................................... .. .........................
§ 6.6. DP ning asosiy funksional tenglamasi ...................................... ..

§ 6.8. Ajratilgan mablag'larni korxonalar o'rtasida optimal bosqichma-bosqich taqsimlash muammosi

rejalashtirish davri ................................................... ................ .........................
§ 6.9. Uskunani almashtirishning optimal rejasi muammosi
§ 6.10. Mehnat resurslarini rejalashtirish vazifasi ..........................
Test savollari................................................. ......................................
Mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar ................................................ ................. ......
7-bob
VA MUAMMOLARNI YECHISH UCHUN UNING QO’LLANISHI
DINAMIK OPTIMALLASH..........................................
§ 7.1. Variatsiyalar hisobining asosiy tushunchalari ...........................
§ 7.2. Klassik VI muammolar va ularni yechish munosabatlari.........
§ 7.3. Optimal dinamik boshqaruv muammolarining o'ziga xos xususiyatlari
va ularni yechishda VI dan foydalanish ............................................. ....
§ 7.4. Dinamik masalalarni echishning taxminiy usullari
VI yordamida optimallashtirish ................................................ ................. .........
Test savollari................................................. ......................................
8-bob. MAKSIMUM PRINSIP VA UNING QO'LLANISHI
OPTIMAL BOSHQARUVLAR SINTEZI UCHUN
DAVOMLI TIZIMLARDA...................................................
§ 8.1. Uzluksiz ishlash uchun maksimal printsipning bayonoti
tizimlari ................................................... ...................................................
§ 8.2. Klassik Eyler muammosi................................................. ...................... ............
§ 8.3. Xarajatlarni minimallashtirish bilan optimal nazorat muammosi
boshqaruv uchun energiya ................................................ . ......................
§ 8.4. Vaqtni optimal boshqarish muammosi.......
§ 8.5. Chiziqli dinamik tizimni boshqarish masalalari
erkin o'ng uchi bilan ................................................... ......................................

§ 8.6. Chiziqli dinamik tizimni boshqarish muammosi

dan umumlashtirilgan kvadrat integralni minimallashtirish

§ 9.2. Umumiy umumlashtirilgan optimallashtirish bilan ixtiyoriy tartibning chiziqli diskret tizimini boshqarish

kvadratik mezon ................................................... ... .................
§ 9.3. Diskret uchun optimal boshqaruvni topish
uzluksiz dinamik tizimning prototipi ...................................... ..
§ 9.4. Ishlab chiqarishni rejalashtirish muammosi
va mahsulotlarni yetkazib berish ................................................... ...................... .................................
Test savollari................................................. ......................................
7-9-boblarni mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar ...........................
Xulosa................................................................. ...................................................
MUSTAQIL O'QUV UCHUN ................................................... ............... .
BIBLIOGRAFIK RO'YXAT................................................. ...................... ......
ILOVA................................................. ...................................................
ASOSIY RAMZLAR INDEKSI ................................................... ................

Qabul qilingan qisqartmalar ro'yxati

TF - maqsad funktsiyasi ODR - mumkin bo'lgan echimlar maydoni

LP - chiziqli dasturlash LLP - LP muammosi KZLP - kanonik MChJ

TK - transport vazifasi PO - jo'nash nuqtalari, PN - TKdagi yo'nalishlar

MSZU - shimoli-g'arbiy burchak usuli MZS - oltin kesim usuli DP - dinamik dasturlash VI - o'zgarishlarni hisoblash PM - maksimal printsip; DE - differentsial tenglama

MUQADDIMA

IN Turli texnik-iqtisodiy mutaxassisliklar va yo'nalishlar talabalarini tayyorlashda tegishli fan sohasiga xos bo'lgan matematik modellar va usullarni o'rganish muhim o'rin tutadi, bu modellardan foydalanib, ko'rib chiqilayotgan tizimlarning xatti-harakatlarini tushuntirishga imkon beradi. , ularning xususiyatlarini baholash, oqilona konstruktiv, texnologik, iqtisodiy, tashkiliy va boshqa qarorlar qabul qilish.

Ushbu modellar va usullarni o'zlashtirish odatda "Oliy matematika" deb ataladigan juda universal klassik intizomga qo'yilgan poydevorga asoslanadi. Tegishli amaliy soha uchun tipik va eng muhim masalalarni echishga imkon beruvchi matematik apparat maxsus fanlarda o'rganiladi.

“Amaliy informatika (iqtisod bo‘yicha)” mutaxassisligi bo‘yicha tahsil olayotgan talabalar uchun ushbu fanlardan biri “Matematik iqtisod”dir. Amaldagi davlat ta’lim standartiga (DTS) muvofiq ushbu fan dasturiga iqtisodiyot fanidan matematik hisob-kitoblarga oid katta hajmdagi o‘quv materiallari kiritilgan. Ushbu material ikki qismga bo'lingan.

IN birinchi qism vazifalarni o'rganadi moliyaviy tahlil, ular oldingi avlod SESda maxsus fan - "Moliyaviy matematika" bo'yicha ko'rib chiqilgan.

Dasturning ikkinchi qismida matematika nuqtai nazaridan, eng yaxshisini topish bilan bog'liq yanada murakkab vazifalar va usullar mavjud, ya'ni. amaliy iqtisodiyot sohasida uchraydigan turli muammolarning optimal, yechimlari. Ilgari talabalar ushbu materialni “Iqtisodiy tizimlarda optimal boshqarish nazariyasi” fanini o‘rganish jarayonida o‘zlashtirgan.

"Matematik iqtisod" fanining o'quv dasturida o'rganish uchun juda qiyin savollarning keng doirasi mavjud. Ushbu fan bo'yicha auditoriya mashg'ulotlariga ajratilgan vaqt juda oz bo'lganligi sababli talabalarning o'quv adabiyotlari bilan mustaqil ishlashi alohida ahamiyatga ega.

Shuni ta'kidlash kerakki, so'nggi 30 yil ichida juda ko'p turli xil monografiyalar, darsliklar va o'quv qurollari iqtisodiyotda qo'llaniladigan matematik usullar haqida. Biroq, ular bilan ishlashda talabalar jiddiy qiyinchiliklarga duch kelishadi. Birinchidan, bu kitoblarning aksariyati talabalar uchun deyarli qo'llab-quvvatlanmaydi, chunki ular universitet kutubxonalarida mavjud emas yoki bitta nusxada mavjud. Ikkinchidan, dasturda ko'zda tutilgan barcha materiallarni o'rganish uchun bitta darslik etarli emas va turli xil kitoblarda, qoida tariqasida, taqdimotning boshqa uslubi, turli xil belgilar qo'llaniladi. Ko'pincha materialni taqdim etish darajasi "haqiqiy" talaba uchun mavjud emas. Uchinchidan, matematik xususiyatga ega fanlar bo‘yicha o‘quv jarayonini tashkil etishda talabalarda o‘rganilayotgan metodlardan foydalanish bo‘yicha amaliy ko‘nikmalarni egallash prinsipial ahamiyatga ega bo‘lib, buning uchun mustaqil yechish uchun topshiriqlar talab etiladi. Ko'rib chiqilayotgan mavzu bo'yicha ko'pgina darsliklarda taqdim etilgan usullarni qo'llash texnikasini ko'rsatish uchun misollar va topshiriqlar mavjud, ammo ular oddiy o'quv guruhining barcha talabalariga individual topshiriqlar berish uchun etarli emas.

Taklif etilayotgan o‘quv qo‘llanma “Matematik iqtisod” fanining iqtisodiyotda yuzaga keladigan optimallashtirish masalalari va ularni yechish algoritmlariga bag‘ishlangan ikkinchi, murakkabroq qismini o‘rganish uchun mo‘ljallangan. U yuqorida qayd etilgan holatlarni hisobga olgan holda tayyorlangan.

Kitobda iqtisodiy sohada paydo bo'ladigan tipik optimallashtirish muammolarining formulalari mavjud, ularning rasmiylashtirilishi amalga oshiriladi, ushbu algoritmlarning texnikasini aniq misollar bo'yicha illyustratsiya bilan hal qilish imkonini beradigan usullar va algoritmlarning mohiyati keltirilgan. Bundan tashqari, har bir mavzu uchun mustaqil hal qilish uchun juda katta vazifalar to'plami mavjud bo'lib, har bir talaba o'z shaxsiy topshirig'ini berishga imkon beradi.

Ushbu darslikka kiritish uchun zamonaviy fan tomonidan taklif qilingan optimallashtirish muammolari va usullaridan deterministik muammolar va statik va dinamik optimallashtirish algoritmlari tanlangan. Kitob hajmi cheklanganligi sababli noaniqliklar bilan optimallashtirish masalalari, jumladan, ehtimollik-statistik, intervalli, loyqa va boshqa masalalar va modellar, shuningdek vektorni optimallashtirish masalalari ko‘rib chiqilmaydi.

Kitob to'qqiz bobni o'z ichiga oladi. Birinchisida, iqtisodiy xarakterdagi optimallashtirish muammolariga misollar keltirilgan, ularda rasmiylashtirish texnikasi ko'rsatilgan, ya'ni. yechilayotgan masalaning matematik modelini olish, optimallashtirish masalalari tasnifi berilgan.

Ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi boblar chiziqli statik optimallashtirish masalalariga bag'ishlangan. Ikkinchi bobda chiziqli dasturlashning masalalari va usullari, uchinchi bobda transport masalalari, to‘rtinchi bobda grafiklar bo‘yicha izohlangan optimallashtirish masalalari ko‘rib chiqiladi. Har bir muammo uchun eng samarali yechish usuli (algoritmi) ko'rsatilgan va bu algoritmdan amaliy foydalanish texnikasini ko'rsatadigan misol keltirilgan. Beshinchi bobda cheklovlar mavjud bo'lmaganda va mavjud bo'lmaganda chiziqli bo'lmagan statik optimallashtirish muammolarini hal qilishning analitik va raqamli usullari keltirilgan.

Odatda optimal boshqaruv muammolari deb ataladigan dinamik optimallashtirish muammolari oltinchidan to'qqizinchi boblarda yoritilgan. Oltinchi bobda uzluksiz va diskret tipdagi dinamik tizimlar haqida umumiy tushuncha berilgan, optimal boshqaruv va dinamik dasturlashning klassik muammosi (DP) shakllantirilgan, DPning mohiyati bayon etilgan va uni yaratish texnikasi. amaliy qo'llash. Ettinchi bobda variatsiyalar hisobining asoslari, sakkizinchisi - uzluksiz tizimlar uchun maksimal printsip va to'qqizinchi - diskret tizimlar uchun. Ushbu boblarning har birida hisoblash nisbatlarini amaliy qo'llash metodologiyasini ko'rsatadigan turli xil muammolar va misollar tahliliga katta e'tibor beriladi.

Birinchi bobdan oltinchi bobgacha bo'lgan har bir bobning oxirida mustaqil hal qilish uchun topshiriqlar beriladi. To'qqizinchi bobning oxirida optimal dinamik boshqaruv usullariga bag'ishlangan mustaqil hal qilish uchun muammolar berilgan.

Muallifning kitob ustida ishlash jarayonida hal qilish uchun katta kuch sarflashi kerak bo'lgan alohida muammo shundaki, asl adabiyotdagi ba'zi usullar va algoritmlar matematik bo'lmagan talabalar uchun juda qiyin bo'lgan tarzda taqdim etilgan. lekin ularni tushunish uchun axborot-iqtisodiy profil. Shu sababli, tegishli nazariy materialni kitob yo'naltirilgan talabalarning haqiqiy tayyorgarlik darajasiga moslashtirish uchun imkoniyatlarni topish kerak edi.

Bundan tashqari, muallif juda ko'p turli xil vazifalar va usullarni taqdim etayotganda, materialni taqdim etishning yagona uslubi, xarakteri va tizimini maksimal darajada saqlashga harakat qildi. Bunga ma'lum darajada erishildi, deb umid qilish mumkin.

Darslikni tayyorlashda muallif 25 yil davomida Vladimir fakultetida dars bergan “Optimallashtirish usullari”, “Boshqaruv nazariyasi”, “Iqtisodiy tizimlarda optimal boshqarish nazariyasi” va “Matematik iqtisod” fanlari bo‘yicha ma’ruza va amaliy mashg‘ulotlar materiallaridan foydalanilgan. Davlat universiteti (VlSU). Ushbu darslarda nazariy materiallarning aksariyati va mustaqil yechish uchun topshiriqlar sinovdan o'tkazildi. Darslikning elektron versiyasi kiritilgan axborot resurslari VlGU elektron kutubxonasi.

Darslik "Amaliy informatika (iqtisod bo'yicha)" ixtisosligi talabalari uchun tayyorlanganiga qaramay, u, shubhasiz, talabalar, magistrantlar, aspirantlar va boshqa profil mutaxassislari uchun foydali bo'lishi mumkin, chunki optimallashtirish muammolari hamma joyda paydo bo'ladi. “Tabiatda hech qanday maksimal yoki minimumning ma’nosini ko‘rib bo‘lmaydigan narsa yo‘q” deyishlari bejiz emas.

U kitobdan foydalangan va uning mazmuni, ehtimol kamchiliklari yoki noaniqliklari haqida o'z fikrini bildirgan barchaga minnatdor bo'ladi. Buning uchun siz e_mail dan foydalanishingiz mumkin: [elektron pochta himoyalangan].

Kitob ustida ishlash, ba'zi uzilishlar bilan, taxminan 10 yil davomida amalga oshirildi, ammo aspirant I.V. tomonidan taqdim etilgan qo'lyozma ustida ishlashda tezkor va yuqori malakali yordam bo'lmasa, u noma'lum muddatga cho'zilishi mumkin edi. Lager. Buning uchun muallif unga alohida minnatdorchilik bildiradi.

FEDERAL TA'LIM AGENTLIGI

DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETI

__________________________________________________________________

Axborot tizimlari bo'limi

MATEMATIK IQTISODIYoTI

Ma'ruza matnlari

Mutaxassislikning uchinchi kurs talabalari uchun

"Amaliy informatika (iqtisodda)"

Tver 2009 yil

1. Baholash usullari investitsion loyihalar

Hozirgi vaqtda rivojlangan mamlakatlarda bozor iqtisodiyoti investitsiya loyihalarini tahlil qilishda murakkab foiz mantig’iga asoslangan diskontlash texnikasi keng qo’llanila boshlandi. Shuning uchun ushbu bo'lim ushbu usullardan foydalanishning mohiyati va afzalliklarini tavsiflaydi.

^ 1.1 Sof joriy qiymat usuli

Sof joriy qiymat farq sifatida hisoblanadi
daromad va xarajatlar oqimining bir nuqtasiga diskontlangan
loyiha bo'yicha:

bu erda CF INt - t davri uchun pul tushumi;

CF OFt - t davri uchun pul mablag'larining chiqishi;

R - chegirma stavkasi;

N - loyihaning hayot aylanishi.

Agar investitsiya dastlabki davrda bir martalik investitsiya bo'lsa, NPVni hisoblash formulasi quyidagicha ko'rinadi:

bu erda C 0 - nol davridagi kapital qo'yilmalar.

Qaror qabul qilishda ushbu mezondan foydalanish juda oddiy. Ijobiy NPV qiymati investor talab qilinadigan darajadan oshib ketadigan daromad miqdorini ko'rsatadi. Agar NPV nolga teng bo'lsa, investor nafaqat o'z kapitalini qaytaradi, balki uni chegirma stavkasida ko'rsatilgan miqdorga ham oshiradi. Olingan salbiy NPV loyihani rad etish kerakligini ko'rsatadi.

Shuni ta'kidlash kerakki, NPV vaqt o'tishi bilan qo'shimcha hisoblanadi. Bu xususiyat bugungi sof qiymatlarni umumlashtirish imkonini beradi turli loyihalar, bu investitsiya portfelining optimalligini tahlil qilishda juda muhimdir.

^ 1.2 Investitsiyalar rentabelligi indeksini hisoblash usuli

Rentabellik indeksi diskontlangan foyda va loyiha xarajatlarining nisbati. Ya'ni, masalan, bir martalik investitsiyalar bilan bog'liq holda, hisoblash quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi:

Agar PI>1 qiymati bo'lsa, loyiha foydali bo'ladi. Agar PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

Ushbu ko'rsatkichning NPV ko'rsatkichidan ustunligi shundaki, u nisbiydir. Shuning uchun, taxminan bir xil NPV qiymatiga ega bo'lgan bir nechta muqobil loyihalardan bitta loyihani tanlash zarur bo'lganda, shuningdek, maksimal umumiy NPV qiymatiga ega bo'lgan investitsiya portfelini shakllantirishda foydalanish oson.

Bunday vazifa tanlov uchun bir nechta jozibador investitsiya loyihalari mavjud bo'lganda paydo bo'ladi, ammo moliyaviy resurslar cheklanganligi sababli investor bir vaqtning o'zida barcha loyihalarda ishtirok eta olmaydi. Keyin har bir loyiha uchun PI hisoblab chiqiladi va loyihalar PI ning kamayish tartibida tartiblanadi. Investitsion portfel birinchi m-loyihalarni o'z ichiga oladi, ular jami to'liq moliyalashtirilishi mumkin.

Agar keyingi loyiha bo'linishga yordam bersa, u ham portfelning moliyalashtirilishi mumkin bo'lgan qismiga kiritilgan.

^ 1.3 Investitsiyalarning daromadlilik normasini hisoblash usuli

Daromad darajasi (ichki daromad darajasi) - bu loyihaning sof joriy qiymati nolga teng bo'lgan foiz stavkasi qiymati:

bu erda IRR - daromad darajasi (ichki daromad darajasi).

IRR qiymati ko'rib chiqilayotgan loyiha bilan u yoki bu tarzda bog'lanishi mumkin bo'lgan xarajatlarning maksimal ruxsat etilgan nisbiy darajasini ko'rsatadi. Misol uchun, agar loyiha to'liq kredit hisobidan moliyalashtirilsa, u holda IRR qiymati bank foiz stavkasining yuqori chegarasini ko'rsatadi, uning ortishi loyihani foydasiz qiladi.

IRRni aniqlash uchun hisoblash yoki hisoblash-grafik usullar qo'llaniladi. Birinchi holda, yillik pul oqimlari (kerakli kapital qo'yilmalarni hisobga olgan holda) har xil sinov diskont stavkalari bo'yicha bir foizli o'sish bilan diskontlanadi. Bu mos keladigan sof joriy qiymatlar to'plamini ishlab chiqaradi, ularning eng kichik ijobiy qiymati hisobga olinadigan daromadning aniq tezligini ko'rsatadi.

Hisoblash va grafik usuldan foydalanish shundan iboratki, koordinatalar tizimida rentabellik stavkalari vertikal o'q bo'ylab chiziladi va bugungi kunning aniq qiymatlari gorizontal o'q bo'ylab chiziladi. Keyin har qanday ikkita daromad darajasiga mos keladigan ikkita NPV qiymati hisoblanadi. Ushbu ikki nuqta o'rtasida to'g'ri chiziq chiziladi, uning vertikal o'qi bilan kesishish nuqtasi hisoblangan ichki daromad darajasidir. Biroq, shuni ta'kidlash kerakki, olingan qiymatni nol uchun tekshirish kerak va agar kerak bo'lsa, tuzatish kiritilishi kerak.

^ 1.4 Diskontlangan to'lov muddatini aniqlash usuli

Diskontlangan to'lov muddati - investor zarur rentabellik darajasini ta'minlagan holda o'zining dastlabki xarajatlarini to'liq qaytaradigan vaqt davri:

bu erda T - diskontlangan to'lov muddati;

PV - investitsiyalarning joriy qiymati.

Bu usul eng oddiy va eng ko'p qo'llaniladigan usullardan biridir, lekin odatda loyiha haqida qo'shimcha ma'lumot olish uchun asosiy narsa investitsiya imkon qadar tezroq to'lanishi kerak bo'lgan hollarda qo'llaniladi. Bundan tashqari, usul yuqori darajadagi xavfga ega bo'lgan loyihalarni tahlil qilishda ham qulaydir, chunki to'lov muddati qanchalik qisqa bo'lsa, loyiha shunchalik xavfli bo'ladi.

^ 2. Investitsiya loyihalarini baholash usullarini qo'llash xususiyatlari

Yuqorida tavsiflangan usullar mustaqil investitsiya loyihalarini tahlil qilishda to'liq adolatli hisoblanadi. Ya'ni, bu usullarning mezonlari shundan keyingina bir-biriga zid bo'lmaydi.

Raqobatbardosh loyihalarni tahlil qilishda boshqa vaziyat yuzaga keladi, buni ko'rib chiqishning ahamiyati kompaniyalarning ichki zaxiralaridan foydalanish orqali loyihalar narxini pasaytirish uchun korxonalar o'rtasidagi raqobatni kuchaytirish istagi bilan bog'liq. Bundan tashqari, bunday vaziyat jiddiy moliyaviy cheklovlar ostida paydo bo'lishi mumkin.

Bir-biri bilan raqobatlashayotgan ikkita loyihani ko'rib chiqing. Loyihalarning sof joriy qiymatini, shuningdek, diskont stavkasi 11% bo'lishi sharti bilan ularning ichki daromadlilik darajasini hisoblang.

1-jadval

LOYIHA	Yillar bo'yicha SF (million rubl)					NPV r=11% da	IRR
	0	1	2	3	4
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

1-jadvaldan ko'rinib turibdiki, X1 loyihasining NPV qiymati 33,5 million rublni tashkil qiladi, bu X2 loyihasining NPV-dan aniq afzalroqdir - 22,4 million rubl. Ammo, agar biz ichki daromad darajasiga e'tibor qaratadigan bo'lsak, X1 loyihasi uchun 26,7% ga qarshi IRR = 35% bilan X2 loyihasiga ustunlik berish kerak. Shunday qilib, NPV va IRR mezonlari ikkala usul ham bir xil formulaga asoslangan bo'lishiga qaramay, bir-biriga ziddir.

Agar biz IRR mezonining mohiyatini batafsil ko'rib chiqsak, yuzaga kelgan muammo osonlikcha hal qilinadi, uning hisob-kitobi loyihaning oraliq daromadini qayta investitsiyalash, IRRga teng daromadni ta'minlash imkoniyatini beradi. Ammo qayta investitsiyadan olingan daromad IRRdan kam bo'lsa, bunday daromadni ta'minlash haqiqatga to'g'ri keladimi? Misolni keyingi ko'rib chiqish shuni ko'rsatadiki, yo'q.

To'rtinchi yil oxirida investor daromadining mutlaq qiymatini yoki boshqacha qilib aytganda, loyihalarning kelajakdagi qiymatini (kelajakdagi qiymati), agar qayta investitsiya stavkasi 11% bo'lsa, hisoblab chiqamiz:

FV (X1) \u003d 110 + 15 * (1 + 0,11) \u003d 126,65 million rubl,

FV (X2) \u003d 20 + 15 * (1 + 0,11) + 15 * (1 + 0,11) 2 + 40 * (1 + 0,11) 3 \u003d 109,84 million rubl.

Keling, ushbu operatsiyaning rentabelligini quyidagi bog'liqlik asosida aniqlaymiz:

Bir qator tadqiqotchilar IRR mezonining kamchiliklarini hisobga olib, uning o'rniga boshqa mezon - MIRR (modifikatsiyalangan IRR) dan foydalanishni taklif qilishdi. MIRR - loyihaning barcha oraliq daromadlari ma'lum bir daromad darajasida qayta investitsiya qilingan taqdirda kutilgan daromad.

jadval 2

2-jadvaldan ko'rinib turibdiki, MIRR mezonidan foydalanish loyihani amalga oshirish natijasining mutlaq va nisbiy ko'rsatkichlari o'rtasidagi ziddiyatni yo'q qiladi. Endi savol olib tashlandi: X1 loyihasiga ustunlik berish kerak. Bundan tashqari, kelajakda ikkita raqobatchi loyihani taqqoslashda NPV eng yaxshi mezon sifatida ko'rib chiqilishi kerak.

Berilgan misollar bir xil miqdordagi kapital qo'yilmalarga ega bo'lgan loyihalarni tahlil qilishda NPV va IRR mezonlari o'rtasidagi ziddiyatga asoslangan. Shu sababli, turli investitsiyalar hajmiga ega raqobatdosh loyihalarni tahlil qilish misolini ham ko'rib chiqish kerak.

3-jadval

LOYIHA	Yillar bo'yicha SF (million rubl)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

3-jadvalda keltirilgan ma'lumotlar tahlili shuni ko'rsatadiki, IRR va MIRR mezonlari X3 loyihasiga ishora qiladi, oldingi misolda asosiy sifatida qabul qilingan NPV mezoni esa aniq X2 loyihasi tomonida. Ya'ni, bu vaziyatda nomutanosib loyihalar muammosi (miqyos muammosi) paydo bo'ldi. Shuning uchun, bu erda yakuniy qaror faqat CFo (X3) va CFo (X2) o'rtasidagi farqning mumkin bo'lgan joylashishini tahlil qilgandan so'ng qabul qilinishi mumkin. Bizning misolimizda bu farq 45 million rublni tashkil qiladi.

Aytaylik, bizda ushbu mablag'larni quyidagi tarzda investitsiya qilish imkoniyati mavjud:

4-jadval

LOYIHA	Yillar bo'yicha SF (million rubl)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

Endi nima afzalligini aniqlash kerak - X3 va X4 loyihalari yoki X2 loyihasi?

5-jadval

LOYIHA	Yillar bo'yicha SF (million rubl)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

5-jadvalda aks ettirilgan natijalarni hisobga olgan holda, investor X3 va X4 ikkita loyihani amalga oshirish foydasiga X2 loyihasini rad etishi aniq bo'ladi. Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, yakuniy tanlov hali ham X1 loyihasi bo'ladi:

6-jadval

LOYIHA	Yillar bo'yicha SF (million rubl)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
	0	1	2	3	4
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

Biroq, X3 va X4 loyihalaridan tashqari, ijobiy NPV bo'lgan boshqa loyihalar mavjud bo'lmagan holatlar ham bo'lishi mumkin. Bunday holda, daromad darajasiga emas, balki NPVga e'tibor qaratish lozim.

Shuni ta'kidlash kerakki, masshtab muammosi NPV - PI holatida ham paydo bo'lishi mumkin. Bunday holda, yechim usuli o'xshash bo'ladi.

Shunday qilib, biz quyidagi xulosaga kelishimiz mumkin: investitsiya loyihalarini bir vaqtning o'zida bir nechta usullar bilan tahlil qilish maqsadga muvofiqdir, bu ular haqida qo'shimcha muhim ma'lumotlarni olish imkonini beradi.

^ 3. Loyihalarni tahlil qilishda inflyatsiyani hisobga olish

Inflyatsiya ta'sirini kelajakdagi tushumlarni yoki uning indeksi uchun chegirma stavkasini tuzatish orqali hisobga olish mumkin. Bunday holda, quyidagi qaramlikdan foydalanish tavsiya etiladi:

Bu yerda r nom nominal foiz stavkasi;

R real - real foiz stavkasi;

l - inflyatsiyaning umumiy darajasi.

Kichik qiymatlar uchun r Va λ formula (7) quyidagicha yozilishi mumkin:

R nom ≈ r eal + l (8)

Diskont stavkasi sifatida nominal va real foiz stavkalaridan foydalanish mumkin. Tanlov loyihaning pul oqimi qanday o'lchanganiga bog'liq. Agar pul oqimi real ko'rinishda (o'zgarmas narxlarda) taqdim etilsa, diskontlash uchun real foiz stavkasidan foydalanish kerak.

Biroq, real foiz stavkalaridan foydalanish va pul oqimlarini o'zgarmas narxlarda hisoblash tizimli inflyatsiyaga yo'l qo'ymaydi. Bunday hollarda hisob-kitob joriy narxlarda amalga oshirilishi kerak:

Biroq, ikkinchi holatda, narx oshishini bashorat qilish qobiliyati talab qilinadi.

^ 4. Yagona loyihani tahlil qilishda tavakkalchilikni hisobga olish

Yagona loyihaning tavakkalchilik asosida tahlili investitsiya loyihasi mustaqil bo‘lgan taqdirdagina amalga oshiriladi. Bunday holda, ikkita ko'rsatkichdan foydalanish etarli bo'ladi: kutilgan daromad va normal taqsimotni to'liq aniqlaydigan daromadning standart og'ishi (RMS).

Kutilayotgan daromad quyidagicha hisoblanadi:

(11)

bu erda R i - i-stsenariy bo'yicha rentabellik;

P i - i-variantga muvofiq hodisalarning rivojlanish ehtimoli;

N - ko'rib chiqilgan variantlar soni.

Shunday qilib, kutilgan daromad loyiha bo'yicha eng ko'p daromad olishi aniq, kutilgan daromadning o'zgarishini o'lchaydigan standart og'ish esa loyiha xavfining ko'rsatkichidir:

Turli kutilayotgan daromadli aktivlar uchun risklarni taqqoslashda o'zgaruvchanlik koeffitsientidan foydalanish tavsiya etiladi (ya'ni nisbiy dispersiya o'lchovi):

(13)

Shubhasiz, SD va CV qanchalik baland bo'lsa, xavf shunchalik yuqori bo'ladi. Misol sifatida, 7-jadvalda keltirilgan tasodifiy tanlama ma'lumotlarini ko'rib chiqing:

7-jadval

Loyiha	R		tarjimai hol
X1	12,5%	3,12	0,25
X2	11,0%	3,32	0,30
X3	12,2%	2,68	0,22

Ushbu misolda X2 loyihasi eng kam daromadli va ayni paytda eng xavfli hisoblanadi, shuning uchun uni darhol rad qilish kerak va keyingi tanlov investorning tavakkalchilikka munosabatiga bog'liq bo'ladi. Agar u salbiy bo'lsa, XZ loyihasi amalga oshiriladi. Agar investor xavfni istamasa, XI ga afzallik beriladi.

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, munitsipal mansabdor shaxslar darajasidagi investorlar minimal xavfni tanlashga harakat qilishadi. Shunday qilib, bizning holatlarimizda KhZ loyihasi investitsiya uchun qabul qilinadi.

^ 5. Portfel tahlilida riskni hisobga olish

Odatda, riskning tizimli bo'lmagan qismini kamaytirish uchun diversifikatsiya qo'llaniladi, bu uning aktivlari o'zaro bog'liqligini tahlil qilish orqali samarali portfelni yaratishga asoslangan. Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, bu erda har bir yangi sarmoya joriy portfelni hisobga olgan holda ko'rib chiqilishi kerak.

Keling, 7-jadvalda misol tariqasida keltirilgan ma'lumotlardan foydalangan holda, shuningdek, har bir loyiha investitsiya qilingan summaning uchdan bir qismini olish sharti bilan uchta loyihadan iborat portfel xavfini hisoblash metodologiyasini ko'rib chiqaylik.

Portfel daromadi quyidagicha aniqlanadi:

(14)

Bu erda R k - k-loyihaning kutilayotgan rentabelligi;

X k - k-loyihaga kiritilgan mablag'lar ulushi;

M - portfeldagi loyihalar soni.

Bizning misolimizda:

R portfel = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

Bizning misolimizda:

kov 12 = 7,34 va kov 13 = – 8,12.

Shunday qilib, X1 va X2 loyihalarning daromadlari bir xil yo'nalishda, X1 va X3, shuningdek X2 va X3 loyihalari daromadlari esa teskari yo'nalishda o'zgarishi aniq. Biroq, kovariatsiyaning mutlaq qiymatini izohlash qiyin bo'lganligi sababli, ko'rsatkichlar o'rtasidagi o'zaro bog'liqlik darajasi korrelyatsiya koeffitsienti yordamida hisoblanadi:

R = +1 da, ko'rsatkichlar vaqt o'tishi bilan aynan bir xil tarzda o'zgaradi, r = -1 da butunlay salbiy korrelyatsiya mavjud, nol munosabatlarning yo'qligini ko'rsatadi.

Ushbu misolda:

r 12 = 0,71, r 13 = -0,96 va r 23 = -0,6.

Shubhasiz, xavfni kamaytirish uchun X1 va X3 loyihalari portfelining kombinatsiyasi eng mos keladi. Shu bilan birga, loyihalar o'rtasidagi o'zaro bog'liqlikni hisobga olgan holda portfel xavfini hisoblash kerak:

Teng kapital investitsiyalari sharti bilan portfel riskini (X1, X3) hisoblang:

.

Shunday qilib, bizning portfelimiz xavfi uning tarkibiy loyihalari xavfidan sezilarli darajada past va r da< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

Bir nechta loyihalar portfelini tuzish metodologiyasi ikkita aktiv portfelini tuzish bilan bir xil.

1-rasmdagi maydon bilan ko'rsatilgan portfellarning butun to'plamidan AB chizig'ida joylashgan portfellarni tanlash kerak - ular eng yuqori kutilgan daromad bilan minimal xavfni ta'minlaydigan portfellardir. Bunday holda, ular orasida aniq tanlov bizning xavfga bo'lgan munosabatimizga bog'liq. Grafik jihatdan xavf va daromad o'rtasidagi tanlov befarqlik egri chiziqlari bilan ifodalanadi, ularning o'ziga xos to'plami har bir shaxs uchun risk va daromadni afzal ko'rish nuqtai nazaridan mavjud.

1-rasm Optimal portfelni tanlash muammosi.

Risksiz aktivning qaytish nuqtasidan AB mumkin bo'lgan portfel egri chizig'ining tangens nuqtasi orqali to'g'ri chiziq Kapital bozori chizig'i (CML) deb ataladi va xavf-daromad tizimidagi tanlovni aks ettiradi. Shakldagi C nuqta. Shunday qilib, 1 bozor portfelining xavfi va daromadini aks ettiradi. Foydalilikning eng yuqori darajasiga investor uning xavf va daromadga befarqlik egri chizig'i kapital bozori chizig'iga tegib turgan nuqtada erishadi. Agar investor aniqlikni afzal ko'rsa, u holda bu nuqta bozor portfelining chap tomonida (C ning chap tomonida) joylashgan bo'ladi; investor ham risksiz, ham riskli aktivlarga sarmoya kiritadi va uning portfeli, natijada, past xavf va past daromadga ega. Agar investor ko'proq xavf-xatarni yoqtirmasa, teginish nuqtasi bozor portfelining o'ng tomonida bo'ladi (C o'ng tomonida); mablag'lar xavfliroq aktivlarga investitsiya qilinadi va portfel ko'proq xavf va yuqori daromadga ega.

Ko'pgina aktivlardan tashkil topgan optimal portfelni topish muammosi, qoida tariqasida, tanlov protsedurasi bilan hal qilinishi mumkin - biz ma'lum bir xavf darajasi uchun kutilgan eng yuqori daromadli portfelni qidirmoqdamiz. Biroq amalda kapitalni taqsimlash masalasini chiziqli dasturlashning kvadratik varianti yordamida hal qilish maqsadga muvofiqdir.

Xarajatlar bo'yicha portfeldagi i-aktivning ulushini aniqlaymiz:

Bu erda CF OFt max - t davri uchun investitsiya dasturining ruxsat etilgan maksimal hajmi.

Xulosa xavf ko'rsatkichini ko'rib chiqing:

Целевая функция (20), минимизирующая риск итогового портфеля, где в качестве критерия участия в портфеле выступает бинарная переменная X i , единичное значение которой указывает на вхождение i-гo проекта в портфель, а нулевое - на отказ i-му проекту в инвестировании, выглядит quyida bayon qilinganidek:

cheklovlar bilan:

bu erda NPV min - portfelning minimal qabul qilinadigan sof joriy qiymatining kattaligi;

T n - investitsiya dasturining dastlabki davri;

T to - investitsiya dasturining yakuniy davri;

V k - raqobatchi loyihalar vektori;

V - raqobatdosh loyihalar vektorlari to'plami;

N l - oldingi portfeldagi loyihalar soni, T yig'ilayotgan portfelning T n dan ortiq.

Shubhasiz, maqsad funksiyasini (20) hisoblashda faqat dispersiya-kovariatsiya matritsasining (19) asosiy diagonalda va uning ostida joylashgan qismidan foydalaniladi, bu esa o‘rnatilgan siklda cheklovchi shartni qo‘llash natijasida yuzaga keladi. lekin ustunlarga, har bir mumkin bo'lgan loyihalar juftligi uchun ikkita kovariatsiya mavjud bo'lganligi sababli, o'rnatilgan halqa qiymatlari uchun ikki barobar ko'rsatkichi kiritiladi.

Shunday qilib, optimallashtirish vazifasi investitsiya uchun qaysi loyihalarni qabul qilish kerakligini aniqlashdan iborat bo'lib, kutilayotgan daromad miqdori va xavf darajasi investorning maqsad funktsiyasi yo'nalishi va to'plami bilan belgilanadigan maqsadlariga optimal tarzda mos kelishi uchun. cheklovlar:

1. Portfelning tarqalishi (RMS) bilan o'lchanadigan xavf minimallashtiriladi.

2. Qabul qilingan loyihalarning kutilayotgan sof joriy qiymatining qo‘shimcha ko‘rsatkichiga teng bo‘lgan portfeldan olinadigan daromad dastlabki investitsiya davriga diskontlangan qiymat bo‘yicha berilgan talab qilingan summadan past bo‘lmasligi kerak.

3. Yillik investitsiyalarning umumiy hajmi investitsiya dasturining har bir yili uchun alohida-alohida ma’lum muddat uchun belgilangan mavjud (ajratiladigan) mablag‘lar chegarasidan oshmasligi kerak.

4. Portfelga bir xil raqobatdosh loyihalar guruhini ifodalovchi loyihalardan faqat bittasi kiritilishi mumkin.

5. Yangi portfelni tuzish uning tarkibiga avvalgi portfelning investitsiya dasturining tugallanish muddati yangi investitsiya dasturini amalga oshirish boshlanishi davridan oshib ketadigan loyihalarni majburiy kiritishni hisobga olgan holda amalga oshiriladi. portfel.

6. Ko'rib chiqilayotgan loyihalar maydalanmaydi.

Ta'riflangan muammo tengsizliklar ko'rinishidagi bir qator cheklovlarni o'z ichiga oladi, ular asosan ma'lum sohalarga sarmoya kiritish uchun cheklovlarni belgilaydi. Aks holda, natijada olingan yechim samaradorlik chegarasida bo'lishini kafolatlash mumkin emas. Shunday qilib, biz xavf-xatarli portfelga ega bo'lishimiz mumkin, ammo biz barcha pullarimizni ishlatishimiz shart emas va/yoki biz yuqori daromad olishimiz mumkin.

Portfelning natijaviy xususiyatlarini hisoblash va chiqarish:

Ko'p tanlangan loyihalar:

Portfelning kutilayotgan sof joriy qiymati:

Portfelning kutilayotgan daromadi:

Loyiha portfeli xavfi:

Moliyaviy resurslarni tejash:

"Xavf" tushunchasining turli xil ta'riflari mavjud, shuning uchun yuqorida aytilganlarni umumlashtirib, biz xavfni muayyan harakatlarning bir nechta mumkin bo'lgan natijalari bo'lgan vaziyat sifatida tushunamiz, shuningdek, o'tgan davrlardan kerakli ma'lumotlar mavjud kelajakda mumkin bo'lgan natijalarni bashorat qilish uchun ba'zi bog'liqliklarni hisoblang.

W. Sharp tomonidan ishlab chiqilgan portfelni tuzishda keng qo'llaniladigan CAPM (kapital aktivlarini narxlash modeli) har bir alohida aktivning faqat tizimli riskini hisobga olish muhimligidan kelib chiqadi. Biroq, G. Markowitzning ishlari umumiy xavfni bir butun sifatida hisobga olish muhimligini isbotladi. Shunday ekan, avvalgi mulohaza aynan shu asosga asoslangan edi.

Tizimli xavf inflyatsiya kabi omillar tufayli yuzaga keladi. iqtisodiy inqiroz, boshqa umumiy bozor omillari.

Tizimli bo'lmagan xavfning mavjudligi muayyan aktivlar yoki kompaniyalarga ta'sir qiladigan tasodifiy hodisalar bilan bog'liq.

Bibliografik ro'yxat

1. 
   Bard V.S. Moliyaviy-investitsion kompleks: Rossiya iqtisodiyotini isloh qilish sharoitida nazariya va amaliyot. - M: Moliya va statistika, 1998. - 304 b.
2. 
   Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. Investitsiyalarni tahlil qilish: Talabalar universitetlari uchun o'quv qo'llanma, iqtisodiyot bo'yicha kadrlar tayyorlash; Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. - M.: UNITI, 2000. - 286p.
3. 
   Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. Biznes va investitsiya samaradorligini baholash: Talabalar universitetlari uchun o'quv qo'llanma, iqtisodiyot bo'yicha maxsus kadrlar tayyorlash .. - M: Moliya, UNITY-DANA, 1999. - 256s.
4. 
   Bocharov V.V. Investitsiyalarni boshqarish: darslik. - Sankt-Peterburg va boshqalar: Peter, 2000. - 152p. - Qisqa kurs.
5. 
   Brodskiy M.N., Brodskiy G.M. Huquq va iqtisodiyot: investitsion konsalting; Sankt-Peterburg davlat iqtisodiyot va moliya universiteti. - SPb., 1999. - 488s.
6. 
   Vaxrin P.I. Investitsiyalarni tashkil etish va moliyalashtirish: (Amaliy topshiriqlar va aniq vaziyatlar to‘plami): Darslik. - M.: Inform.-amalga oshirish markazi "Marketing", 1999. - 149b.
7. 
   Igoshin N.V. Investitsiyalar Menejment va moliyalashtirishni tashkil etish: Talabalar universitetlari uchun o'quv qo'llanma, iqtisodiyot bo'yicha maxsus kadrlar tayyorlash .. - M: Moliya, UNITI, 1999. - 414 b.
8. 
   Kovalyov V.V. Moliyaviy tahlil.Kapitalni boshqarish.Investitsiyalarni tanlash.Hisobot tahlili. - 2-nashr, qayta ko'rib chiqilgan va qo'shimcha .. - M .: Moliya va statistika, 1997. - 511s.
9. 
   Kolemaev V.A. Matematik iqtisod. - M.: Moliya va statistika, 2003. - 206s.
10. 
    Krushvits L. Moliya va sarmoya.Moliya nazariyasining neoklassik asoslari: Universitetlar uchun darslik: Nemis tilidan tarjimasi .. - Sankt-Peterburg. va boshqalar: Piter, 2000. - 381s. - Asosiy kurs.
11. 
    Limitovskiy M.A. Investitsion va moliyaviy qarorlarni baholash asoslari. - 3-nashr, qo'shimcha va qayta ko'rib chiqilgan .. - M .: DeKA, 1998. - 231s.
12. 
    Korxona investitsiyalari samaradorligini baholash: Metod.org.-econ yozish uchun tavsiyalar. texnologiya talabalari tomonidan diplom loyihasining bir qismi. mutaxassis.; Davlat texnika universiteti Iqtisodiyot va boshqaruv fakulteti V.A.Nikolskaya, A.G.Bokichevalar tomonidan ishlab chiqarilgan. - Tver, 2000. - 12s.
13. 
    Salmanov O.N. Mathcad va Excel yordamida matematik iqtisodiyot. BHV-Peterburg, 2003. - 464 p.
14. 
    Sergeev I.V., Veretennikova I.I. Investitsiyalarni tashkil etish va moliyalashtirish: Iqtisodiyot va maxsus yo‘nalishlarda tahsil olayotgan universitet talabalari uchun o‘quv qo‘llanma; Sergeev I.V., Veretennikova I.I. - M.: Moliya va statistika, 2000. - 271s.
15. 
    Xolt R.N., Barnes S.B. Investitsion rejalashtirish: [Oʻquv qoʻllanma]: Ingliz tilidan tarjima qilingan.
16. 
    Chetyrkin E.M. Sanoat investitsiyalarining moliyaviy tahlili; Rossiya Federatsiyasi hukumati huzuridagi xalq xo'jaligi akademigi. - M.: Delo, 1998. - 255b.
17. 
    Sharp W.F., Aleksandr G.D. Investitsiyalar: Ingliz tilidan tarjima; Moliyaviy va boshqaruv kadrlarini tayyorlash milliy jamg‘armasining moliyaviy ko‘magida “Bank biznesi” dasturi doirasida tayyorlangan. - M.: INFRA-M, 1997. - 1024 b.

Dasturiy ta'minot va axborotni qo'llab-quvvatlash

1. 
   Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
2. 
   Monaxov A.V. Iqtisodiy tahlilning matematik usullari. // www. Mening do'konim. ru.
3. 
   Kolemaev V.A. Matematik iqtisod. Darslik. // www. Hugahuga. ru.

Matematik iqtisod. Kolemaev V.A.

2-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha - M.: 2002. - 399 b.

Iqtisodiyotning tizimli ko'rinishi makro va mikroiqtisodiyotning, shuningdek, iqtisodiyotning ishlab chiqarish va moliyaviy-kredit quyi tizimlarining matematik modellari yordamida beriladi.

O‘quv qo‘llanma “Makroiqtisodiyotning matematik modellari”, “Mikroiqtisodiyotning matematik modellari” va “Iqtisodiyotni tahlil qilish, prognozlash va tartibga solish modellari” bo‘limlaridan iborat. Iqtisodiyotning funksional tuzilishi narx belgilash, soliqqa tortish va hokazolarni modellashtirishda o‘z ifodasini topadi.20-asrda mahalliy va xorijiy matematik iqtisod maktablari tomonidan olingan eng muhim natijalar, shuningdek, muallif tomonidan olingan yangi natijalar o‘z aksini topgan (1-nashr). - UNITI, 1998).

Mustaqil yechish uchun savol va topshiriqlar beriladi.

Iqtisodiyot oliy o'quv yurtlarining talabalari, aspirantlari va o'qituvchilari, shuningdek, olimlar uchun.

Format: djvu

Hajmi: 26,1 Mb

Yuklab oling: yandex.disk

Tarkib
Muqaddima 3
Kirish. Iqtisodiyot matematik modellashtirish ob'ekti sifatida 4
1-QISM. MAKROIQTISODIYOTNING MATEMATIK MODELLARI 14
1-bob. Makroiqtisodiyotning statik modellari 15
1.1. Makroiqtisodiy ishlab chiqarish funktsiyalari 16
1.2. Model Leontief 28
2-bob. Diskret vaqtli makroiqtisodiyotning chiziqli dinamik modellari 35
2.1. Iqtisodiyot dinamik tizim sifatida 36
Keynsning dinamik modeli 38
Samuelson-Xiks modeli 40
2.2. Dinamik Leontief modeli 44
2.3. Neyman modeli 46
3-bob. Uzluksiz vaqtli makroiqtisodiyotning chiziqli dinamik modellari 52
3.1. Iqtisodiy dinamik tizimlarni o'rganishning matematik usullari 53
3.1.1. Dinamik chiziq elementi 54
3.1.2. Ko'paytuvchi 55
3.1.3. Tezlatgich 56
3.1.4. Inertial bog'lanish 57
3.1.5. Keyns dinamik modeli ko'rinishidagi iqtisodiyot inertial zveno sifatida 59
3.1.6. O'tkazish funktsiyasi 60
3.1. 7. Tebranuvchi zveno 62
3.1.8. Samuelson-Xiks modeli ko'rinishidagi iqtisod ikkinchi darajali chiziqli dinamik aloqa sifatida 67
3.1.9. Dinamik bog'lanish xususiyatlari 68
3.2. Dinamik tizimlarning tahlili va sintezi, ulardagi vaqtinchalik jarayonlar 72
3.2.1. Seriyali ulanishning uzatish funksiyasi 74
3.2.2. Parallel ulanishning uzatish funksiyasi 75
3.2.3. Teskari aloqa bilan yopiq davra uzatish funktsiyasi 76
3.2.4. Keynsning dinamik modeli 77 bilan qayta aloqa zanjiriga multiplikatorni kiritish
3.2.5. Keynsning dinamik modeli 80 bilan ijobiy qayta aloqa halqasiga tezlatgichni kiritish
3.2.5. Chiziqli dinamik tizimlarning barqarorligi 82
3.2. 7. Samuelson-Xiks modeli 84 shaklidagi iqtisodiy barqarorlik shartlari
3.3. Chiziqli ko'paytmali bog'langan dinamik tizimlar 85
Iqtisodiyot ko'paytmali bog'langan chiziqli dinamik tizim sifatida dinamik tarmoqlararo muvozanat ko'rinishida 88
3.4. Nochiziqli dinamik tizimlar. Iqtisodiyotdagi bozor sikllari 90
3.4.1. Keynsning nochiziqli dinamik modeli 92
3.4.2. Iqtisodiyotdagi bozor aylanishlari 94
3.5. Dinamik tizimlarni optimal boshqarish 98
3.5.1. Pontryaginning maksimal printsipi 99
3.5.2. Optimallik uchun zarur shartlar (maksimal printsip) 101
4-bob. Makroiqtisodiyotning kichik sektorli chiziqli bo'lmagan dinamik modellari 103
4.1. Model Solow 105
4.1.1. Solow modeli 108 da vaqtinchalik rejim
4.1.2. Dasturiy ta'minotni to'plashning oltin qoidasi
4.1.3. Daromad, joriy iste'molda - yo'qotish, qisqa muddatda 111
4.2. Pul mablag'larini kiritishda kechikishlarni hisobga olish 112
4.3. Optimal iqtisodiy o'sishning bir tarmoqli modeli 116
4.4. Iqtisodiyotning uch tarmoqli modeli 122
4.5. Rossiya iqtisodiyoti tarmoqlarining ishlab chiqarish funktsiyalari 126
4.6. Turg'unlik va muvozanatli iqtisodiy o'sishni modellashtirish 130
4.6.1. Turg'unlik 131
4.6.2. Balanslangan iqtisodiy o‘sish 134
4.7. Balanslangan barqaror holatni o'rganish 147
4.7.1. Mehnat va investitsiyalarni tarmoqlar o'rtasida taqsimlashning oltin qoidasi 149
4.7.3. Texnologik optimalni aniqlashning muqobil usuli 157
II QISM. MIKROIQTISODIYOTNING MATEMATIK MODELLARI 163
5-bob. Iste’molchilarning xulq-atvori namunalari 164
5.1. Iste'molchining afzalliklari va yordamchi funksiya 165
Iste'molchi xatti-harakati modeli 167
5.2. Slutskiy tenglamasi 168
5.2.1. Kompensatsiya bilan narx oshishi bilan talabning o'zgarishi 169
5.2.2. Daromadning o'zgarishi bilan talabning o'zgarishi 170
6-bob Ishlab chiqaruvchining xulq-atvor namunalari 173
6.1. Firma modeli 174
6.1. 1 Ishlab chiqaruvchining mahsulot narxining o'zgarishiga munosabati 180
6.1.2. Resurs narxining o'zgarishiga ishlab chiqaruvchining munosabati 181
6.2. Raqobatbardosh bozorlarda firmalarning xulq-atvori 185
6.2.1. Kurnot muvozanati 187
7-bob. Iste'molchilar va ishlab chiqaruvchilar o'rtasidagi o'zaro munosabatlar modellari 191
7.1. Muvozanatli narx modellari 192
7.1.1. O'rgimchak to'ri 193
7.1. 2. Evans modeli 195
7.2. Walras modeli 197
III QISM. IQTISODIYOTNI TAHLIL, PROGNOZLASH VA TARTIB BILAN TARTIB BERISH NAMUALLARI 201.
8-bob. Bozor iqtisodiyotining matematik modellari 202
8.1. Klassik bozor iqtisodiyoti modeli 203
8.1.1. Mehnat bozori 204
8.1.2. Pul bozori 206
8.2. Keyns modeli 208
8.3. Moliya bozorining matematik modellari 212
8.3.1. Moliyaviy operatsiyalar 213
8.3.2. Moliyaviy xavf 217
8.3.3. Qimmatli qog'ozlar bozoridagi muvozanat 230
8.4. Valyuta inqirozlari va moliyaviy risklarni bashorat qilish 232
8.4.1. Moliyaviy riskni bashorat qilish modeli 233
8.4.2. Valyuta inqirozlarini bashorat qilish 236
9-bob Inflyatsiyani modellashtirish 239
9.1. Inflyatsiyaning mohiyati 240
9.2. Iqtisodiyotning uch sektorli modelidan foydalangan holda inflyatsiyani o'rganish 244
9.2.1. Inflyatsiyaning birinchi yarmi 246
9.2.2. Inflyatsiyaning ikkinchi yarmi 247
9.3. Inflyatsiyaning paydo bo'lishi va o'zini o'zi ushlab turish shartlari 249
9.4. Inflyatsiyaning ishlab chiqarishga ta'siri 250
Iqtisodiyotni davlat tomonidan tartibga solishning matematik modellari 260-bob
10.1. Soliqlarning jamiyatdagi roli va vazifalari 261
10.2. Uch tarmoqli iqtisodiyotdagi soliqlar 266
10.3. Soliqlarni oshirishning ishlab chiqarish va iste'molga ta'siri 274
11-bob Tashqi savdoni modellashtirish 280
11.1. Ochiq uch tarmoqli iqtisodiyot modeli 281
11.2. Milliy iqtisodiyotning jahon bozoriga chiqish imkoniyati va maqsadga muvofiqligi shartlari 285.
11.2.1. Jamg'arma yaratuvchi sektorga tushayotgan resurslar ulushini belgilashda jahon bozoriga chiqish 287
11.3. Tashqi savdoning oltin qoidasi 292
11.3.1. Resurslarni taqsimlashning oltin qoidasi 295
11.4. Tashqi savdoning milliy iqtisodiyotga ta’siri 300
11.4.1. Resurslarni moddiy va iste'mol sektorlari o'rtasida qayta taqsimlash 301
11.4.2. Resurslarni moddiy va fond yaratuvchi tarmoqlar o‘rtasida qayta taqsimlash 305
12-bob. Ijtimoiy rivojlanish maqsadini modellashtirish 308
12.1. Ommaviy tanlovning matematik nazariyasi 311
12.2. Hamkorlik va raqobat modellari 327
12.2.1. Kooperativ o'yinlar 328
12.2.2. Uch tarmoqli iqtisodiyotda hamkorlik va raqobat* 332
12.3. Ilmiy-texnika taraqqiyotini simulyatsiya qilish 337
12.3.1. Ilmiy-texnika taraqqiyotining evolyutsion modellari 338
12.3.2. Texnologik o'zgarishlar modeli 339
12.3.3. Uch sektorli iqtisodiyotni qayta qurollantirish modeli 344
Ilovalar 349
Ilova 1. To'g'ridan-to'g'ri xarajatlarning ajralmaydigan matritsasining xususiyatlari 350
2-ilova. Chiziqli differentsial tenglamalar va doimiy koeffitsientli chiziqli differentsial tenglamalar tizimlari 353.
3-ilova. Statsionar holatdagi uch tarmoqli iqtisodiyotning harakatini belgilovchi iboralarni o‘rganish 358
4-ilova. Uch tarmoqli iqtisodiyotda optimal muvozanatli o‘sish 364
5-ilova. Kuhn-Tucker shartlari 382
Adabiyot 386