11.2. Измерение доходности облигаций

Доходность облигаций. Доходность облигаций характеризуется несколькими показателями. Различают купонную (coupon rate), тек ущую (current, running yield) и полную доходность (yield to maturity, redemption yield, yield).

Купонная доходность определена при выпуске облигации, и, следовательно, нет необходимости ее рассчитывать. Текущая доходность характеризует отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Этот параметр не учитывает второй источник дохода - получение номинала или выкупной цены в конце срока. Поэтому он непригоден при сравнении доходности разных видов облигаций. Достаточно отметить, что у облигаций с нулевым купоном текущая доходность равна нулю. В то же время они могут быть весьма доходными, если учитывать весь срок их "жизни".

Наиболее информативным является показатель полной доходности, который учитывает оба источника дохода. Именно этот показатель пригоден для сравнения доходности инвестиций в облигации и другие ценные бумаги. Итак, полная доходность, или, если применить старую коммерческую терминологию, ставка помещения, измеряет реальную эффективность инвестиций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов. Иначе говоря, начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения облигации полностью обеспечивает выплату купонного дохода и сумму для погашения облигации в конце срока.

Рассмотрим методику определения показателей доходности различных видов облигаций в той последовательности, которая принята выше при классификации облигаций по способу выплаты дохода.

Облигации без обязательного погашения с периодической выплатой процентов. Хотя подобного вида облигации встречаются крайне редко, знакомство с ними необходимо для получения полного представления о методике измерения доходности. При анализе данного вида облигаций выплату номинала в необозримом будущем во внимание не принимаем.

Введем следующие обозначения:

g - объявленная норма годового дохода (купонная ставка процента);

i t - текущая доходность;

i - полная доходность (ставка помещения).

Текущая доходность находитсяследующим образом:

i t = 100. (11.2)

Если по купонам выплата производится р раз в году (каждый раз по ставке g / p ), то и в этом случае на практике применяется «формула (11.2), хотя суммирование доходов, выплачиваемых в разные моменты времени, строго говоря, некорректно.

Поскольку купонный доход постоянен, то текущая доходность продаваемых облигаций изменяется вместе с изменением их рыночной цены. Для владельца облигации, который уже инвестировал некоторые средства, эта величина постоянна.

Перейдем к полной доходности. Поскольку доход по купонам является единственным источником текущих поступлений, то очевидно, что полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда выплаты по купонам - ежегодные: i = i t . Если же проценты выплачиваются р раз в году (каждый раз по норме g/ p ), то согласно (2.8) получим

(11.3)

Пример 11.1. Вечная рента, приносящая 4,5% дохода, куплена по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально (p = 4)?

i = i t = 100 = 0,05; i = - 1 = 0,0509.

Облигации без выплаты процентов. Данный вид облигации обеспечивает ее владельцу в качестве дохода разность между номиналом и ценой приобретения. Курс такой облигации всегда меньше 100. Для

определения ставки помещения приравняем современную стоимость номинала цене приобретения:

Nv n = P , или v n = ,

где n - срок до выкупа облигации. После чего получим

Пример 11.2. Корпорация X выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через пять лет. Курс реализации - 45. Доходность облигации на дату погашения

т.е. облигация обеспечивает инвестору 17,316% годового дохода.

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. Проценты здесь начисляются за весь срок и выплачиваютсяодной суммой (lump sum) вместе с номиналом. Купонного доходанет. Поэтому текущую доходностьусловно можно считать нулевой, поскольку соответствующие проценты получают в конце срока.

Найдем полную доходность,приравняв современную стоимость доходацене облигации:

(1 + g ) n Nv n = P , или .

Из последней формулы следует, что

Если курс облигации меньше 100, то i > g .

Пример 11.3. Облигация, приносящая 10% годовых относительно номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения - три года. Если номинал и проценты выплачиваются в конце срока, то полная доходность для инвестора составит

i = - 1 = 0,26956, или 26,956%.

Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Этот вид облигаций получил наибольшее распространение в современной практике. Для такой облигации можно получить все три показателя доходности - купонную, текущую и полную. Текущая доходность рассчитывается по полученной выше формуле (11.2). Что касается полной доходности, то для ее определения необходимо современную стоимость всех поступлений приравнять цене облигации. Дисконтированная величина номинала равна Nv n . Поскольку поступления по купонам представляют собой постоянную ренту постнумерандо, то член такой ренты равен gN , а современная ее стоимость составит gNa n ; i (если купоны оплачиваются ежегодно) и , если эти выплаты поизводятся р раз в году (каждый раз по ставке g / p ). В итоге получим следующие равенства:

для облигации с годовыми купонами

(11.6)

Разделив на N , находим

(11.7)

для облигации с погашением купонов по полугодиям и поквартально получим

(11.8)

где - коэффициент приведения p -срочной ренты (р = 2, р = 4).

Во всех приведенных формулах v n означает дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения i .

В зарубежной практике, однако, для облигаций с полугодовыми и квартальными выплатами текущего дохода для дисконтирования применяется годовая номинальная ставка помещения, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается равным числу выплат купонного дохода. Таким образом, исходное для расчета ставки помещения равенство имеет вид

где i - номинальная годовая ставка;

рп - общее количество купонных выплат; g - годовой процент выплат по купонам.

При решении приведенных выше равенств относительно неизвестной величины i сталкиваются с такими же проблемами, что и при расчете i по заданной величине коэффициента приведения ренты - см. параграф 4.5. Искомые значения ставки помещения рассчитываются или с помощью интерполяции, или каким-либо итерационным методом.

Оценим i с помощью линейной интерполяции:

(11.10)

где i " и i " - нижнее и верхнеезначения ставки помещения, ограничивающие интервал, в пределах которого, как ожидается, находится неизвестное значение ставки;

K " , K " - расчетные значения курса соответственно для ставок i " , i " . Интервал ставок для интерполяции определяется с учетом того, что i > g при K < 100.

Можно применить и метод приближенной оценки, согласно которому

. (11.11)

В этой формуле средний годовой доход от облигации соотносится со средней ее ценой. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерейточности оценки.

Пример 11.4. Облигация со сроком пять лет, проценты по которой выплачиваются один раз в году по норме 8%, куплена по курсу 97.

Текущая доходность по облигации 8/ 97 = 0,08247.

Для оценки полной доходности запишем исходное равенство (11.7):

0,97 = (1 + i ) -5 + 0,08a 5; i .

Для интерполяции примем следующие значения ставок: i " = 0,085, i " = 0,095. Согласно (11.7) находим

1,085 -5 + 0,08а 5;8,5 = 98,03;

= 1,095 -5 + 0,095а 5;9,5 = 94,24.

i = 8,5 + (9,5 - 8,5) = 8,77.

Для проверки рассчитаем курс для ставки помещения 8,77%. Получим

= 1,0877 -5 + 0,08а 5;8,77 = 96,99.

Как видим, расчетный курс весьма близок к рыночному - 97. Приближенное решение по (11.11) дает

i = = 8,73,

что соответствует рыночному курсу 97,2. Погрешность выше, чем при использовании линейной интерполяции.

Облигации с выкупной ценой, отличающейся от номинала. В этом случае проценты начисляются на сумму номинала, а прирост капитала равен С - Р, где С - выкупная цена. Соответственно при оценке ставки помещения необходимо внести соответствующие коррек-

тивы в приведенные выше формулы. Например, внесякоррективы в (11.6) и (11.7), получим

а вместо (11.11)

(11.14)

Пример 11.5. Сравним по доходности две облигации с ежегодными выплатами процентов (табл. 11.1). Параметры облигации A взяты из предыдущего примера.

Таблица 11.1

Показатели доходности для этих облигаций приведены в табл. 11.2.

Таблица 11.2

Как видим, вотношении полной доходности преимущество на стороне облигации A , хотя текущая доходность у нее ниже, чём у второй. Приближенный метод расчета по (11.11) - соответствующиепоказателиприведеныв скобках - заметно завысил оценку показателя полной доходности у облигации Б.

Все рассмотренные выше формулы для расчета полной доходности предполагают, что оценка производится на начало срока облигации или на дату выплаты процентов. Для случая, когда оценка производится на момент между двумя датами выплат процентов, приведенные формулы дадут смещенные оценки.

§ 18.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Двумя основными формами корпоративного капитала являются кредит и обыкновенные акции. В этой главе мы рассмотрим оценку стоимости облигаций - основного типа долгосрочных кредитов.

Облигация - это долговое обязательство, выпускаемое коммерческой компанией или государством, в соответствии с которым эмитент (то есть заемщик, выпустивший облигацию) гарантирует кредитору выплату определенной суммы в фиксированный момент времени в будущем и периодическую выплату назначенных процентов (по фиксированной или плавающей процентной ставке).

Номинальная (нарицательная) стоимость облигации - это величина денежной суммы, указанная на облигации, которую эмитент берет взаймы и обещает выплатить по истечении определенного срока (срока погашения).

Дата погашения - это день, когда должна быть выплачена номинальная стоимость облигации. Многие облигации содержат условие, по которому эмитент имеет право выкупа облигации до истечения срока погашения. Такие облигации называются отзывными. Эмитент облигации обязан периодически (обычно раз в год или полгода) выплачивать определенные проценты от номинальной стоимости облигации.

Купонная процентная ставка - это отношение суммы выплачиваемых процентов к номинальной стоимости облигации. Она определяет первоначальную рыночную стоимость облигации: чем выше купонная процентная ставка, тем выше рыночная стоимость облигации. В момент выпуска облигации купонная процентная ставка полагается равной рыночной процентной ставке.

В течение месяца с момента выпуска облигации называются облигациями нового выпуска. Если облигация продается на вторичном рынке более месяца, то она называется обращающейся облигацией.

§ 18.2. ОСНОВНОЙ МЕТОД ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОБЛИГАЦИИ

Облигацию можно рассматривать как простую ренту постнумерандо, состоящую из выплат купонных процентов и возмещения номинальной стоимости облигации. Поэтому текущая стоимость облигации равна современной стоимости этой ренты.

Пусть і - текущая рыночная процентная ставка, k - купонная процентная ставка, Р - номинальная стоимость облигации, п - оставшийся срок до погашения облигации, R = kP - купонный платеж, Ап - текущая рыночная стоимость облигации.

R R R R ... R R R+P

О 1 2 3 4 ... п-2 п-1 п 1 - 1/(1 + i)n

Тогда Ап = R - + Р/(1 +ї)п. Мы воспользовались

формулой для современной стоимости простой ренты постнумерандо.

Пример 70. Номинальная стоимость облигации Р = 5000 руб., купонная процентная ставка k = 15\%, оставшийся срок до погашения облигации п = 3 года, текущая рыночная процентная ставка і = 12\%. Определим текущую рыночную стоимость облигации.

Величина купонных платежей равна R = kP = 0,15x5000 = 750 руб. Тогда текущая рыночная стоимость облигации

1-1/(1 + 0* чп 1-1/(1 + 0,12)3

Ап = R - + Р/(1 + 0 = 750 --- +

5000 я 5360,27 руб., то есть в случае і < k текущая

рыночная стоимость облигации выше номинальной стоимости облигации Р.

Задача 70. Определить текущую рыночную стоимость облигации в примере 70, если текущая рыночная процентная ставка і = 18\%.

§ 18.3. НОРМА ПРИБЫЛИ ОБЛИГАЦИИ

Другой важнейшей характеристикой облигации является норма прибыли. Норма прибыли вычисляется по следующей формуле:

норма прибыли

купонный платеж цена облигации в конце периода

цена облигации в начале периода

Пример 71. Облигация номинальной стоимостью Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 10\% была куплена в начале года за 1200 руб. (то есть по цене выше номинальной стоимости). После получения купонного платежа в конце года облигация была продана за 1175 руб. Определим норму прибыли за год.

Величина купонных платежей равна R = kP = 0,1x1000 =

Тогда норма прибыли = (купонный платеж + цена облигации в конце периода цена облигации в начале пери-ода)/(цена облигации в начале периода) = (100 + 1175 -

1200)/1200 0,0625 (= 6,25\%).

Задача 71. Облигация номинальной стоимостью Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 15\% была куплена в начале года за 700 руб. (то есть по цене ниже номинальной стоимости). После получения купонного платежа в конце года облигация была продана за 750 руб. Определить норму прибыли за год.

§ 18.4. ДОХОДНОСТЬ ОБЛИГАЦИИ ПРИ ПОГАШЕНИИ В КОНЦЕ СРОКА

Очень часто инвестор решает задачу сравнения между собой различных облигаций. Как определить процентную ставку (доходность), в соответствии с которой облигация приносит доход? Для этого нужно решить относительно і уравнение Ап = д1-1/(1 + 0" + р/(1 + .)В

Мы рассмотрим два приближенных метода решения этого нелинейного уравнения.

§ 18.4.1. Метод средних

Находим общую сумму выплат по облигации (все купонные платежи и номинальная стоимость облигации):

Тогда доходность облигации вычисляется по следующей формуле:

доходность облигации

средняя прибыль за один период средняя стоимость облигации

Пример 72. Облигация номинальной стоимостью Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 10\% и сроком погашения п = 10 лет была куплена за 1200 руб. Определим доходность облигации методом средних.

Величина купонных платежей равна R = kP = 0,їх 1000 = 100 руб.

Тогда общая сумма выплат равна nR + Р = 10x100 + + 10U0 = 2000 руб.

Отсюда общая прибыль = общая сумма выплат цена покупки облигации 2000 1200 = 800 руб.

Поэтому средняя прибыль За один период = (общая прибыл ь)/(число периодов) = 800/10 = 80 руб.

Средняя стоимость облигации = (номинальная стоимость облигации + цена покупки облигации)/2 = (1000 + + 1200)/2 = 1100 руб.

Тогда доходность облигации * (средняя прибыль за один период)/(средняя стоимость облигации) равна 80/1100 * 0,073 (= 7,3\%).

Задача 72. Облигация номинальной стоимостью Р = 1000 руб. с купонной процентной ставкой k = 15\% и сроком погашения п = 10 лет была куплена за 800 руб. Определить доходность облигации методом средних.

§ 18.4.2. Метод интерполяции

Метод интерполяции позволяет получить более точное приближенное значение доходности облигации, чем метод средних. Используя метод средних, нужно найти два различных близких значения текущей рыночной процентной ставки і$ и іі таких, что текущая рыночная цена облигации Ап заключена между An(ii) и An(i0): An(ii) < Ап < An(i0), где значения An(io) и An(ii) вычисляются по следующей формуле: 1 - 1/(1 + i)n

An(i) = R ^ + Р/(1 + 0Л. Здесь Р - номинальная

стоимость облигации, п - оставшийся срок до погашения

облигации, R - купонный платеж.

Тогда приближенное значение доходности облигации равАп - АМг)) но: / to + " "l (h io).

Пример 73. Определим доходность облигации методом интерполяции в примере 72.

Методом средних получено значение доходности облигации і = 0,073. Положим *о = 0,07 и = 0,08 и определим текущую стоимость облигации при этих значениях рыночной процентной ставки:

An(i0) = Rlzl^f + т + iof . 1001-1/(іу07)У> + i0 0,07

Ш* 1210,71 руб. (1 + 0.07)10

Anih)=Rizi^±hi+т+ііГ=юо1-^1;^10+

1000 1lo, ОЛ л

+ * 1134,20 руб.

Так как Ап = 1200 руб., то условия Ап(і) < Ап< An(io) выполнены (1134,20 < 1200 < 1210,71).

Тогда приближенное значение доходности облигации равно:

і . i0 + А" A»™ ih i0) 0,07 + 1200-121°"71 х

Ап(іг) Ап(і0) 1 и 1134,20 1210,71

х(0,08 0,07) 0,071 (= 7,1\%).

Задача 73. Определить доходность облигации методом интерполяции в задаче 72.

§ 18.5. ДОХОДНОСТЬ ОТЗЫВНЫХ ОБЛИГАЦИЙ

Отзывные облигации содержат условие, по которому эмитент имеет право выкупа облигации до истечения срока погашения. Инвестор должен учитывать это условие при вычислении доходности такой облигации.

Доходность отзывной облигации находим из следующего 1 - 1/(1 + i)N

уравнения: AN = R ~ - + Т/(1 + i)N, где AN - текущая рыночная стоимость облигации, Р - номинальная стоимость облигации, N - оставшийся срок до момента отзыва

облигации, R - купонный платеж, Т - цена отзыва облигации (сумма, выплачиваемая эмитентом в случае досрочного погашения облигации).

Приближенное значение доходности отзывной облигации можно определить методом средних или методом интерполяции.

Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовые функции ЦЕНА и ДОХОД, которые позволяют вычислить текущую рыночную стоимость облигации и доходность облигации соответственно. Чтобы эти функции были доступны, должна быть установлена надстройка Пакет анализа: выбрать Сервис -* Надстройки и поставить «галочку» рядом с командой Пакет анализа. Если команда Пакет анализа отсутствует, то нужно доустановить Excel.

Финансовая функция ЦЕНА (PRICE) возвращает текущую рыночную стоимость облигации номинальной стоимостью 100 руб.: fx -+ финансовые -* ЦЕНА -+ ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. Дата_согл (Settlement) - это дата, на которую определяется текущая рыночная стоимость Ап облигации (в формате даты). Да-та_вступл_в_силу (Maturity) - это дата погашения облигации (в формате даты). Ставка (Rate) - это купонная процентная ставка k. Доход (Yld) - это текущая рыночная процентная ставка і. Погашение (Redemption) - это номинальная стоимость облигации (= 100 руб.). Частота (Frequency)

это число купонных платежей в году. Базис (Basis) - это практика начисления процентов, возможные значения:

или не указан (американская, 1 полный месяц = 30 дней,

год = 360 дней); 1 (английская); 2 (французская); 3 (срок равен фактическому числу дней, 1 год = 365 дней); 4 (немецкая). ОК.

это дата, на которую определяется рыночная цена облигации, и дата погашения облигации соответственно. Тогда Ап 50хЦЯ#А(«9.6.2004»; «9.6.2007»; 0,15; 0,12; 100; 1) « * 5360,27 руб.

Финансовая функция ДОХОД (YIELD) возвращает доходность облигации: fx -* финансовые -* ДОХОД -+ ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. Цена (Рг)

Вариант	№№ задач	Вариант	№№ задач	Вариант	№№ задач
1	1, 30, 31	6	6, 25, 36	11	11, 20, 41
2	2, 29, 32	7	7, 24, 37	12	12, 19, 42
3	3, 28, 33	8	8, 23, 38	13	13, 18, 43
4	4, 27, 34	9	9, 22, 39	14	14, 17, 44
5	5, 26, 35	10	10, 21, 40	15	15, 16, 45

Задача 1. Номинальная стоимость обычной облигации N = 5000 руб. Купонная процентная ставка c = 15%, оставшийся срок до погашения облигации n = 3 года, текущая рыночная процентная ставка i = 18%. Определить текущую рыночную стоимость облигации.

Задача 2. Определить текущую стоимость трехлетней облигации с номиналом в 1000 ед. и годовой купонной ставкой 8%, выплачиваемых раз в квартал, если норма доходности (рыночная ставка) равна 12%.

Задача 3. Определить текущую стоимость 100 ед. номинала облигации со сроком обращения 100 лет, исходя из требуемой нормы доходности в 8,5%. Ставка купона равна 7,72%, выплачиваемых раз в полгода. (Облигация – бессрочная).

Задача 4. Какую цену заплатит инвестор за бескупонную облигацию с номиналом в 1000 ед. и погашением через три года, если требуемая норма доходности равна 4,4%.

Задача 5. Облигация банка имеет номинал 100 000 ед. и срок погашения через 3 года. Ставка купона по облигации равна 20% годовых, начисляемых один раз в год. Определить стоимость облигации, если требуемая доходность инвестора равна 25%, а купонный доход накапливается и выплачивается вместе с номиналом в конце срока обращения.

Задача 6. Вечные облигации с купоном 6% от номинала и номиналом 200 ден.ед. должны обеспечить инвестору доходность в размере 12% годовых. По какой максимальной цене инвестор купит данный финансовый инструмент?

Задача 7. Вы являетесь держателем облигации номиналом $5000, приносящей неизменный ежегодный доход в размере $100 на протяжении 5 лет. Текущая процентная ставка составляет 9%. Рассчитайте текущую стоимость облигации.

Задача 8. Оценить рыночную стоимость предполагаемой для публичного обращения муниципальной облигации, номинальная стоимость которой равна 100 руб. До погашения облигации остается 2 года. Номинальная ставка процента по облигации (используемая для расчета годового купонного дохода в процентах от её номинальной стоимости) – 20%, купонный доход выплачивается ежеквартально. Доходность сопоставимых по рискам (также безрисковых для держания и того же срока погашения) государственных облигаций – 18%.

Задача 9. Оценить рыночную стоимость предполагаемой для публичного обращения муниципальной облигации, номинальная стоимость которой равна 200 руб. До погашения облигации остается 3 года. Номинальная ставка процента по облигации (используемая для расчета годового купонного дохода в процентах от её номинальной стоимости) – 15%. Доходность сопоставимых по рискам (также безрисковых для держания и того же срока погашения) государственных облигаций – 17%.

Задача 10. Фирма объявляет о выпуске облигаций номиналом 1000 тыс. руб. с купонной ставкой 12% и сроком погашения 16 лет. По какой цене будут продаваться эти облигации на эффективном рынке капитала, если требуемая доходность инвесторов на облигации с данным уровнем риска составляет 10%?

Задача 11. Фирма выпускает облигации номиналом 1000 тыс. руб., купонной ставкой 11%. Требуемая доходность инвесторов 12%. Рассчитайте сегодняшнюю ценность облигации при сроках погашения облигации: а) 30 лет; б) 15 лет; в) 1 год.

Задача 12. Номинал облигации - 1200 руб., срок до погашения - 3 года, купонная ставка - 15%, выплата купона - 1 раз в год. Необходимо найти внутреннюю стоимость облигации, если приемлемая для инвестора ставка доходности составляет 20% годовых.

Задача 13. Номинал облигации - 1500 руб., срок до погашения - 3 года, купонная ставка - 12%, выплата купона - 2 раза в год. Необходимо найти внутреннюю стоимость облигации, если приемлемая для инвестора ставка доходности составляет 14% годовых.

Задача 14. Условия выпуска облигации: срок 5 лет, купонная доходность - 8%, выплаты полугодовые. Ожидаемая средняя рыночная доходность - 10,5% годовых. определите текущий курс облигации.

Задача 15. Имеется два варианта условий обращения облигаций. Купонные ставки равны 8% и 12%, сроки 5 и 10 лет. Ожидаемая рыночная ставка доходности 10%. Купонный доход накапливается и выплачивается в конце срока обращения вместе с номиналом. Выберете самый дешевый вариант.

Доходность облигации

Задача 16. Имеются две 3-летние облигации. Облигация D с купоном 11% продается по курсу 91,00. Облигация F с купоном 13% продается по номиналу. Какая облигация предпочтительнее?

Задача 17. Купонная 3-летняя облигация А с номиналом 3 тыс. руб. продается по курсу 0,925. Предусмотрена выплата купона 1 раз в год в размере 360 руб. Купонная 3-летняя облигация Б с купоном 13% продается по номиналу. Какая облигация предпочтительнее?

Задача 18. Номинальная стоимость бескупонной облигации 1000 руб. Текущая рыночная стоимость - 695 руб. Срок погашения 4 года. Ставка депозита - 12%. Определить целесообразность приобретения облигации.

Задача 19. Облигация номинальной стоимостью N = 1000 руб. с купонной ставкой c = 15% была куплена в начале года за 700 руб. (по цене ниже номинала). После получения купонного платежа в конце года облигация была продана за 750 руб. Определить доходность операции за год.

Задача 20. Облигация номинальной стоимостью 1000 руб. с купонной ставкой 15% и сроком погашения 10 лет была куплена за 800 руб. Определить доходность облигации методом интерполяции.

Задача 21. Облигация номинальной стоимостью 1500 руб. с купонной ставкой 12% (полугодовое начисление) и сроком погашения 7 лет была куплена за 1000 руб. Определить доходность облигации методом интерполяции.

Задача 22. Бессрочная облигация, приносящая 20% купонный доход, куплена по курсу 95. Определите финансовую эффективность инвестиций при условии, что проценты выплачиваются: а) 1 раз в году, и б) ежеквартально.

Задача 23. Корпорация выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через 5 лет. Курс реализации – 45. Определите доходность облигации на дату погашения.

Задача 24. Облигация, приносящая 10% годовых относительно номинала, куплена по курсу 60, срок до погашения – 2 года. Определите полную доходность для инвестора, если номинал и проценты выплачиваются в конце срока обращения.

Задача 25. Выпущена облигация с нулевым купоном со сроком погашения 10 лет. Курс облигации – 60. Найти полную доходность на дату погашения.

Задача 26. Облигация с доходом 15% годовых от номинала, курсом 80, сроком до погашения 5 лет. Найти полную доходность, если номинал и проценты выплачиваются в конце срока погашения.

Задача 27. Облигация со сроком до погашения 6 лет с процентной ставкой 10% куплена по курсу 95. Найти полную доходность методом интерполяции.

Задача 28. Текущий рыночный курс облигации - 1200 руб., номинал облигации - 1200 руб., срок до погашения - 3 года, купонная ставка - 15%, купонные выплаты ежегодные. Определить полную доходность облигации методом средних и методом интерполяции.

Задача 29. Пятилетняя облигация, проценты по которой выплачиваются раз в году по ставке 8%, куплена по курсу 65. Определите текущую и полную доходность.

Задача 30. Купонная 5-летняя облигация W с номиналом 10 тыс. руб. продается по курсу 89,5. Предусмотрена выплата купона 1 раз в год в размере 900 руб. Купонная 6-летняя облигация V с купоном 11% продается по номиналу. Какая облигация предпочтительнее?

Оценка риска облигаций

Задача 31. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО, текущая котировка которых – 84,1. Облигация имеет срок обращения 6 лет и ставку купона 10% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка доходности равна 12%.

в) Как повлияет на ваше решение информация о том, что рыночная ставка доходности выросла до 14%?

Задача 32. ОАО выпустило 5-летние облигации со ставкой купона 9% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Одновременно были выпущены 10-летние облигации ОАО с точно такими же характеристиками. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 12%.

Задача 33. ОАО выпустило 6-летние облигации со ставкой купона 10% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Одновременно были выпущены 10-летние облигации ОАО со ставкой купона 8% годовых, выплачиваемых раз в год. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 14%.

а) По какой цене были размещены облигации предприятий?

б) Определите дюрации обеих облигаций.

Задача 34. Рассматривается возможность приобретения еврооблигаций ОАО. Дата выпуска – 16.06.2008. Дата погашения – 16.06.2018. Купонная ставка – 10%.Число выплат – 2 раза в год. Требуемая норма доходности (рыночная ставка) – 12% годовых. Сегодня 16.12.2012. Средняя курсовая цена облигации – 102,70.

б) Как изменится цена облигации, если рыночная ставка: а) возрастет на 1,75%; б) упадет на 0,5%.

Задача 35. Начальная цена 5-летней облигации – 100 тыс. руб., купонная ставка 8% годовых (выплачивается раз в квартал), доходность – 12%. Как изменится цена облигации если доходность увеличится до 13%.

Задача 36. Нужно выплатить через три года 200 000 долл. за счет портфеля облигаций. Дюрация этой выплаты составляет 3 года. До­пустим, можно инвестировать средства в облигации двух видов:

1) бескупонные облигации со сроком погашения 2 года (текущий курс - 857,3 долл., номинал - 1000 долл., ставка помеще­ния - 8%);

2) облигации со сроком погашения 4 года (купонная ставка – 10%, номинал - 1000 долл., текущий курс - 1066,2 долл., ставка помещения - 8%).

Задача 37. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО, текущая котировка которых – 75,9. Облигация имеет срок обращения 5 лет и ставку купона 11% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка доходности равна 14,5%.

а) Является ли покупка облигации выгодной операцией для инвестора?

б) Определите дюрацию облигации.

в) Как повлияет на ваше решение информация о том, что рыночная ставка доходности снизилась до 14%?

Задача 38. ОАО выпустило 4-летние облигации со ставкой купона 8% годовых, выплачиваемых раз в квартал. Одновременно были выпущены 8-летние облигации ОАО со ставкой купона 9% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 10%.

а) По какой цене были размещены облигации предприятий?

б) Определите дюрации обеих облигаций.

в) Вскоре после выпуска рыночная ставка выросла до 14%. Стоимость какой облигации изменится больше?

Задача 39. ОАО выпустило 5-летние облигации со ставкой купона 7,5% годовых, выплачиваемых раз в квартал. Одновременно были выпущены 7-летние облигации ОАО со ставкой купона 8% годовых, выплачиваемых раз в полгода. Рыночная ставка на момент эмиссии обеих облигаций составляла 12,5%.

а) По какой цене были размещены облигации предприятий?

б) Определите дюрации обеих облигаций.

в) Вскоре после выпуска рыночная ставка снизилась до 12%. Стоимость какой облигации изменится больше?

Задача 40. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО. Дата выпуска – 20.01.2007. Дата погашения – 20.01.2020. Купонная ставка – 5,5%.Число выплат – 2 раза в год. Требуемая норма доходности (рыночная ставка) – 9,5% годовых. Сегодня 20.01.2013. Средняя курсовая цена облигации – 65,5.

а) Определите дюрацию этой облигации на дату совершения сделки.

б) Как изменится цена облигации, если рыночная ставка: а) возрастет на 2,5%; б) упадет на 1,75%.

Задача 41. Номинал 16-летней облигации – 100 руб., купонная ставка 6,2% годовых (выплачивается раз в год), доходность – 9,75%. Как изменится цена облигации если доходность увеличится до 12,5%. Осуществите анализ с помощью дюрации и выпуклости.

Задача 42. Нужно выплатить через три года 50 000 долл. за счет портфеля облигаций. Дюрация этой выплаты составляет 5 лет. На рынке имеется возможность инвестировать средства в облигации двух видов:

1) бескупонные облигации со сроком погашения 3 года (текущий курс - 40 долл., номинал - 50 долл., ставка помеще­ния - 12%);

2) облигации со сроком погашения 7 лет (купонная ставка – 4,5%, купонный доход выплачивается раз в полгода, номинал - 50 долл., текущий курс - 45 долл., ставка помещения - 12%).

Составьте иммунизированный портфель облигаций. Определите общую стоимость и количество приобретаемых облигаций.

Задача 43. Номинал 10-летней облигации – 5000 руб., купонная ставка 5,3% годовых (выплачивается раз в год), доходность – 10,33%. Как изменится цена облигации если доходность увеличится до 11,83%. Осуществите анализ с помощью дюрации и выпуклости.

Задача 44. Рассматривается возможность приобретения облигаций ОАО, текущая котировка которых – 65,15. Облигация имеет срок обращения 5 лет и ставку купона 4,5% годовых, выплачиваемых раз в квартал. Рыночная ставка доходности равна 9,75%.

а) Является ли покупка облигации выгодной операцией для инвестора?

б) Определите дюрацию облигации.

в) Как повлияет на ваше решение информация о том, что рыночная ставка доходности выросла до 12,25%?

Задача 45. Нужно выплатить через три года 100 000 долл. за счет портфеля облигаций. Дюрация этой выплаты составляет 4 года. На рынке имеется возможность инвестировать средства в облигации двух видов:

1) бескупонные облигации со сроком погашения 2,5 года (текущий курс - 75 долл., номинал - 100 долл., ставка помеще­ния - 10%);

2) облигации со сроком погашения 6 лет (купонная ставка – 6,5%, купонный доход выплачивается раз в квартал, номинал - 100 долл., текущий курс - 85 долл., ставка помещения - 10%).

Составьте иммунизированный портфель облигаций. Определите общую стоимость и количество приобретаемых облигаций.

1. Аньшин В.М. Инвестиционный анализ. - М.: Дело, 2002.

2. Галанов В.А. Рынок ценных бумаг: учебник. - М.: ИНФРА-М, 2007.

3. Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 2007

4. Справочник финансиста в формулах и примерах / А.Л. Зорин, Е.А. Зорина; Под ред. Е.Н. Ивановой, О.С. Илюшиной. - М.: Профессиональное издательство, 2007.

5. Финансовая математика: математическое моделирование финансовых операций: учеб. пособие / Под ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004.

6. Четыркин Е.М. Облигации: теория и таблицы доходности. - М.: Дело, 2005.

7. Четыркин Е.М. Финансовая математика. – М.: Дело, 2011.

Практика формирования инвестиционных портфелей международных компаний свидетельствует, что инвесторам для оптимизации портфеля зачастую недостаточно информации о рыночных ценах на облигации. Так, при отборе в оптимальный инвестиционный портфель конкретных облигаций им необходимо оценивать финансовую эффективность своих решений, что практически невозможно сделать, не рассчитав доходность ценных бумаг, отбираемых в инвестиционный портфель. Расчет доходности облигации, или так называемой инвестиционной нормы, которую облигация будет обеспечивать, когда будет куплена за данную цену, остается, возможно, наиболее важной задачей, касающейся облигаций. Только решив ее, инвестор может определить, какая из нескольких облигаций обеспечит ему наилучшую инвестицию.

В самом общем случае под доходностью любой инвестиции понимается процентная ставка, позволяющая уравнять приведенную стоимость денежных потоков конкретной инвестиции с ценой (стоимостью) инвестиции.

В случае инвестиций в облигации доходность облигаций – это процентная ставка г, удовлетворяющая следующим уравнениям:

1) бескупонные облигации:

Определение доходности бескупонной облигации

Доходность бескупонной облигации – это, в соответствии с вышесказанным, годовая ставка процента, получаемая инвестором, купившим и владеющим данной облигацией до момента ее погашения.

Для определения доходности по бескупонным облигациям, срок погашения которых превышает один год, следует использовать формулу приведенной стоимости облигации

Пример. Рассмотрим бескупонную облигацию со сроком погашения 2 года (n = 2), номинальная стоимость которой 1000 долл. США, а покупная цена 880 долл. Требуемая доходность – 8% годовых.

Ее доходность составит

2) облигации с купонными выплатами:

Расчет свидетельствует о нецелесообразности приобретения инвестором рассматриваемой облигации.

Определение доходности по купонной облигации

Для купонной облигации в отличие от бескупонной различают текущую доходность и внутреннюю ставку дохода, или доходность к погашению.

Текущая доходность расчитывается по формуле

где – текущая доходность; С – купонный доход по облигации (купон); Р – текущая цена облигации.

Примечание. Здесь используется именно текущая цена, а не та цена, которая была уплачена за облигацию инвестором.

При вычислении текущей доходности в расчет принимаются только купонные выплаты. Другие другие источники дохода, поступающего владельцу облигации, не рассматриваются. Не учитывается, например, прирост капитала, получаемый инвестором, приобретающим облигацию с дисконтом и держащим ее до погашения; в то же время не рассматривается и убыток, который терпит инвестор в случае, если он додержал до погашения облигацию, купленную с премией. Временна́я стоимость денежных средств здесь также не принимается в расчет.

Следовательно, текущая доходность представляет собой, образно говоря, фотографию доходности на данный момент времени, которая в следующий момент может измениться в соответствии с изменениями рыночной цены облигации. Показателем текущей доходности целесообразно пользоваться, когда до погашения облигации остается немного времени, так как в этом случае ее цена вряд ли будет испытывать существенные колебания.

Более объективный показатель доходности – доходность к погашению, или внутренняя доходность, так как при ее вычислении учитывается не только купонный доход и цена облигации, но также и период времени, который остается до погашения. Внутреннюю доходность можно рассчитывать по формуле оценки рыночной цены облигации

Облигации служат предметом оживленной торговли, поэтому участникам фондового рынка известны не только номинальная стоимость и купонная ставка процента, но и рыночная цена каждой ценной бумаги. Если считать, что рынок характеризуется состоянием совершенной конкуренции, можно считать, что цена облигации равна ее приведенной стоимости.

Таким образом, покупателю облигации известны вес параметры уравнения цены облигации, кроме ставки дисконтирования r. Следовательно, формулу приведенной стоимости можно использовать для того, чтобы на основании рыночной информации вычислить значение ставки дисконтирования, или внутренней доходности r .

К сожалению, данное уравнение не решается в конечном виде: исчислить доходность можно только с помощью специальной компьютерной программы. Можно воспользоваться также методом подстановки в формулу цены облигации различных значений внутренней доходности с расчетом соответствующих им цен. Операцию повторяют до тех пор, пока значение рассчитанной цепы не совпадет с заданной ценой облигации (рис. 3.8).

Рис. 3.8.

Иногда для принятия финансового решения достаточно определить только приближенный (ориентировочный) уровень доходности облигации. Кстати, он может быть использован в качестве исходного уровня доходности в первом блоке рассмотренного выше алгоритма.

Традиционно используемая формула расчета приближенного уровня доходности облигации имеет вид

где r – внутренняя доходность (доходность к погашению); N – номинальная стоимость облигации; Р – цена облигации; п – количество лет до погашения; С – купонный доход; – средний годовой доход; – средняя стоимость облигации.

В ряде случаев лучшее приближение дает формула Р. Родригеса

Например, при оценке внутренней доходности облигации с пятилетним сроком обращения и 10%-ной купонной ставкой при номинале 1000 долл. США и текущей цене 1059,12 долл. точное решение составит 8,5%; традиционная формула дает значение 8,56%, а формула Р. Родригеса – 8,48%. Эта формула обеспечивает хорошее приближение при условии невысокого уровня купонной ставки (ниже 50% годовых) и близких значений цены облигации и ее номинальной стоимости.

В частности, если цена отличается от номинала более чем в 2 раза, то применение обеих формул расчета приближенных оценок недопустимо. Следует также отметить, что погрешность расчетов по формулам приближенных оценок тем выше, чем больше лет остается до погашения облигации. Если облигация продается со скидкой, рассматриваемые формулы дают заниженное значение доходности облигации, если с премией, то завышенное.

Умение вычислять внутреннюю доходность облигаций настолько важно, что разработаны специальные компьютерные программы, определяющие значения г для любых сочетаний цены облигации, срока до погашения, купонной ставки процента и номинальной стоимости. В настоящее время выпускаются даже карманные калькуляторы, способные выполнять расчеты такого рода.

Пример. Облигация с купонной ставкой 8% и номиналом 1000 долл. США приобретена за 1050 долл. за четыре года до погашения. Принимая во внимание, что купоны погашаются один раз в год, определите внутреннюю ставку доходности.

Решение.

Воспользуемся формулой для расчета приближенного значения внутренней доходности облигации:

Применив метод подстановки, получаем:

Поскольку (1047,20 с 1050), повторим расчет для скорректированного в меньшую сторону значения г, взяв для этого, например г= 0,0655. В этом случае практически совпадает с рыночной (действительной) ценой облигации, что позволяет закончить расчет показателя внутренней доходности на уровне г = 0,0655, или 6,55%.

Процедура повторных расчетов по методу подстановок может быть значительно ускорена, если имеется график зависимости приведенной стоимости облигации от уровня ее внутренней доходности. Он может быть построен по нескольким точкам, координаты которых (пары значений г и приведенной стоимости) несложно определить по специальным таблицам, приводимым в каждом учебном пособии по финансовым вычислениям. Для рассматриваемого нами примера графическая интерпретация расчета уровня внутренней доходности приведена на рис. 3.9.

Рис. 3.9.

Для ускорения процесса расчета внутренней доходности облигации может быть использована также формула линейной интерполяции

где Г[, г 2 – значения соответственно заниженного и завышенного уровней ориентировочной доходности облигаций; Р, Р 2 – расчетные рыночные цены облигации, соответствующие уровням доходности Г] и r 2; Р – фактическая (действительная) цена облигации на фондовом рынке.

Резюмируя вышесказанное, отметим, что доходность к погашению позволяет оценить не только текущий (купонный) доход, но и размер прибыли или убытка, ожидающих капитал инвестора, остающегося владельцем облигации до ее погашения эмитентом. Кроме того, доходность к погашению принимает в расчет временны́е параметры денежных потоков. Соотношение между уровнями купонной ставки, текущей доходности, а также доходности к погашению представлены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Соотношение основных параметров облигации

— , удостоверяющая отношения займа между кредитором — владельцем облигации и должником — эмитентом облигации.

Облигация удостоверяет внесение ее владельцем денежных средств и подтверждает обязательство возместить ему номинальную стоимость облигации в заранее установленный срок с уплатой фиксированного процента.

К основным параметрам облигации относятся: номинальная цена, выкупная цена в случае, если она отличается от номинальной, норма доходности и сроки выплаты процентов. Момент выплаты процентов оговаривается в условиях эмиссии и может производиться раз в год, по полугодиям или поквартально.

Способы выплаты дохода по облигации

В мировой практике используется несколько способов выплаты доходов по облигациям, в их числе:

• установление фиксированного процентного платежа;
• применение ступенчатой процентной ставки;
• использование плавающей ставки процентного дохода;
• индексирование номинальной стоимости облигации;
• реализация облигаций со скидкой (дисконтом) против их нарицательной цены;
• проведение выигрышных займов.

Установление фиксированного процентного платежа является распространенной и наиболее простой формой выплаты дохода по облигациям.

При использовании ступенчатой процентной ставки устанавливается несколько дат, по истечении которых владельцы облигаций могут либо погасить их, либо оставить до наступления следующей даты. В каждый последующий период ставка процентов возрастает.

Ставка процента по облигациям может быть плавающей , т.е. изменяющейся регулярно (каждые полгода и т.п.) в соответствии с динамикой учетной ставки центрального банка или уровнем доходности , размещаемых путем аукционной продажи.

В отдельных странах в качестве антиинфляционной меры практикуют выпуск облигаций с номиналом, индексируемым с учетом роста .

По некоторым облигациям проценты не выплачиваются. Их владельцы получают доход благодаря тому, что покупают эти облигации с дисконтом (скидкой против нарицательной стоимости), а погашают по номиналу.

Доход по облигациям может выплачиваться в форме выигрышей , достающихся отдельным их владельцам по итогам регулярно проводимых тиражей.

Курс облигации

Облигации, являясь объектом купли-продажи на , имеют рыночную цену, которая в момент эмиссии может быть равна номиналу, а также быть ниже или выше его. Рыночные цены существенно различаются между собой, поэтому для достижения их сопоставимости рассчитывается курс облигации . Под курсом облигации понимают покупную цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала. Курс облигации зависит от средней величины ссудного рыночного процента, существующего в данный момент, срока погашения, степени надежности эмитента и ряда других факторов.

Расчет курса производится по формуле:

• Р к — курс облигации;
• Р — рыночная цена;
• N — номинальная цена облигации.

Доходность облигации

Доходность облигации характеризуется рядом параметров, которые зависят от условий, предложенных эмитентом. Так, например, для облигаций, погашаемых в конце срока, на который они выпущены, доходность измеряется:

• купонной доходностью;
• текущей доходностью;
• полной доходностью.

Купонная доходность

Купонная доходность — норма процента, которая указана на ценной бумаге и которую эмитент обязуется уплатить по каждому купону. Платежи по купонам могут производиться раз в квартал, по полугодиям или раз в год.

Например, на облигации указана купонная доходность в 11,75% годовых. Номинал облигации — 1,0 тыс. руб. На каждый год имеется два купона. Это значит, что облигация принесет полугодовую прибыль 58,75 руб. (1,0 . 0,1175 . 0,50), а за год — 117,5 руб.

Текущая доходность

Текущая доходность (CY ) облигации с фиксированной ставкой купона — определяется как отношение периодического платежа к цене приобретения.

Текущая доходность характеризует выплачиваемый годовой процент на вложенный капитал, т.е. на сумму, уплаченную в момент приобретения облигации. Текущая доходность определяется по формуле:

Например, если купонная доходность — 11,75%, а курс облигации — 95,0, то ее текущая доходность составит:

Вместе с тем текущая доходность не учитывает изменения цены облигации за время ее хранения, т.е. другого источника дохода.

Текущая доходность продаваемых облигаций меняется в соответствии с изменениями их цен на рынке. Однако с момента покупки она становится постоянной (зафиксированной) величиной, так как ставка купона остается неизменной. Нетрудно заметить, что текущая доходность облигации, приобретенной с дисконтом, будет выше купонной, а приобретенной с премией — ниже.

Показатель текущей доходности не учитывает курсовую разницу между ценой покупки и погашения. Поэтому он не пригоден для сравнения эффективности операций операций с различными исходными условиями. В качестве меры общей эффективности инвестиций в облигации используется показатель доходности к погашению.

Доходность к погашению

Доходность к погашению (YTM) — это процентная ставка в коэффициенте дисконтирования, которая устанавливает равенство между текущей стоимостью потока платежей по облигации и её рыночной ценой .

Рассмотрим некоторые важнейшие свойства этого показателя. По сути он представляет собой внутреннюю доходность инвестиции (IRR). Однако, реальная доходность облигации к погашению будет равна YTM только при выполнении следующих условий:

Очевидно, что независимо от желаний инвестора второе условие достаточно трудно выполнить на практике.

В таблице приведены результаты расчета доходности к погашению облигации, приобретенной в момент выпуска по номиналу в 1000 с погашением через 20 лет и ставкой купона 8%, выплачиваемого раз в год, при различных ставка реинвестирования.

Зависимость доходности к погашению от ставки реинвестирования

Из приведенных расчетов следует, что между доходностью к погашению и ставкой реинвестирования купонного дохода существует прямая зависимость. С уменьшением будет уменьшаться и величина , с ростом величина будет также расти.

Полная доходность

Полная доходность учитывает все источники дохода. В ряде экономических публикаций показатель полной доходности называют ставкой помещения . Определив ставку помещения в виде годовой ставки сложных или простых процентов, можно судить об эффективности приобретенной ценной бумаги.

Начисление процентов по ставке помещения на цену приобретения дает доход, эквивалентный фактически получаемому по ней доходу за весь период обращения этой облигации до момента ее погашения. Ставка помещения является расчетной величиной и в явном виде на рынке ценных бумаг не выступает.

При определении доходности облигации учитывается цена приобретения (рыночная цена), которая сама зависит от ряда факторов. Покупатель облигации в момент ее приобретения рассчитывает на получение дохода в виде серии твердых выплат в форме фиксированных процентов, которые осуществляются в течение всего срока ее обращения, а также возмещение ее номинальной стоимости к концу этого срока.

Поэтому если ежегодно получаемые по облигациям выплаты будут помещены на банковский депозит или инвестированы каким-либо иным образом и станут приносить ежегодный процентный доход то стоимость облигации будет равна сумме двух слагаемых — современной стоимости ее аннуитетов (серии ежегодных выплат процентных платежей) и современной стоимости ее номинала:

(9.3)

В случае когда облигация предусматривает выплату процентов по полугодиям или поквартально, курсовая стоимость облигации рассчитывается по формулам:

Пример. По облигации номинальной стоимостью 10,0 тыс. руб. в течение 10 лет (срок до ее погашения) будут выплачиваться ежегодно в конце года процентные платежи в сумме 1,0 тыс. руб. (g= 10%), которые могут быть помешены в банк под 11% годовых. Определим цену облигации при разных процентных ставках.

Рыночная цена облигации по формуле (9.3) составит: